Страница 162 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1233. Гамма-излучение лучше всего поглощается свинцом (в 1,5 раза лучше стальной брони и в 22 раза лучше воды). Толщина слоя половинного ослабления $\gamma$-излучения для свинца равна 2 см. Какой толщины нужен слой свинца, чтобы ослабить $\gamma$-излучение в 128 раз?

Дано:

Толщина слоя половинного ослабления для свинца, $d_{1/2} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Кратность ослабления γ-излучения, $k = \frac{I_0}{I} = 128$

Найти:

Толщину слоя свинца, $d - ?$

Решение:

Толщина слоя половинного ослабления ($d_{1/2}$) — это толщина материала, при прохождении через которую интенсивность излучения уменьшается в 2 раза.

Пусть начальная интенсивность излучения равна $I_0$. После прохождения через слой свинца толщиной $d_{1/2}$, интенсивность станет $I_1 = \frac{I_0}{2}$.

После прохождения через второй такой же слой (общая толщина $2 \cdot d_{1/2}$), интенсивность уменьшится еще в 2 раза и станет $I_2 = \frac{I_1}{2} = \frac{I_0/2}{2} = \frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{2^2}$.

Соответственно, после прохождения через $n$ слоев половинного ослабления, интенсивность излучения $I$ станет равной:

$I = \frac{I_0}{2^n}$

Кратность ослабления $k$ показывает, во сколько раз уменьшилась интенсивность, то есть $k = \frac{I_0}{I}$. Из формулы выше следует, что $k = 2^n$.

По условию задачи, излучение нужно ослабить в 128 раз, то есть $k=128$. Найдем необходимое количество слоев половинного ослабления $n$:

$2^n = 128$

Так как $128 = 2^7$, то $n=7$.

Следовательно, для ослабления излучения в 128 раз необходимо 7 слоев половинного ослабления.

Теперь найдем общую толщину свинцового экрана $d$:

$d = n \cdot d_{1/2}$

$d = 7 \cdot 2 \text{ см} = 14 \text{ см}$

Ответ: чтобы ослабить γ-излучение в 128 раз, нужен слой свинца толщиной 14 см.

1234. Средняя поглощённая доза излучения сотрудником, работающим с рентгеновской установкой, равна 7 мкГр за 1 ч. Опасна ли работа сотрудника в течение 200 дней в году по 6 ч в день, если предельно допустимая доза облучения равна 50 мГр в год?

Дано:

Мощность поглощенной дозы, $\dot{D} = 7$ мкГр/ч
Количество рабочих дней в году, $n = 200$
Продолжительность рабочего дня, $t_{д} = 6$ ч
Предельно допустимая доза в год, $D_{ПДД} = 50$ мГр

Перевод единиц дозы в Гр:
$\dot{D} = 7 \times 10^{-6}$ Гр/ч
$D_{ПДД} = 50 \times 10^{-3}$ Гр = $0.05$ Гр

Найти:

Опасна ли работа сотрудника? (Сравнить годовую дозу $D_{год}$ с $D_{ПДД}$)

Решение:

Чтобы определить, опасна ли работа, необходимо рассчитать суммарную поглощенную дозу излучения, которую сотрудник получит за год ($D_{год}$), и сравнить её с предельно допустимой дозой ($D_{ПДД}$).

1. Сначала определим общее время работы сотрудника за год ($t_{год}$). Он работает 200 дней по 6 часов в день.

Общее время работы в год составляет:

$t_{год} = n \cdot t_{д} = 200 \cdot 6 = 1200$ ч

2. Теперь рассчитаем годовую поглощенную дозу, зная мощность дозы (дозу, получаемую за 1 час) и общее время работы.

$D_{год} = \dot{D} \cdot t_{год}$

Подставим числовые значения:

$D_{год} = 7 \frac{\text{мкГр}}{\text{ч}} \cdot 1200 \text{ ч} = 8400$ мкГр

3. Для сравнения полученной дозы с предельно допустимой приведем их к одинаковым единицам измерения. Переведем годовую дозу из микрогреев (мкГр) в миллигреи (мГр). Учтем, что $1 \text{ мГр} = 1000 \text{ мкГр}$.

$D_{год} = \frac{8400 \text{ мкГр}}{1000} = 8.4$ мГр

4. Сравним вычисленную годовую дозу с предельно допустимой дозой.

$D_{год} = 8.4$ мГр

$D_{ПДД} = 50$ мГр

Поскольку $8.4 \text{ мГр} < 50 \text{ мГр}$, полученная сотрудником доза за год не превышает предельно допустимого значения.

Ответ: работа сотрудника не опасна, поскольку годовая поглощенная доза излучения ($8.4$ мГр) меньше предельно допустимой дозы ($50$ мГр).

1235. При облучении углерода $ ^{12}_{6}\text{C} $ протонами образуется изотоп углерода $ ^{13}_{6}\text{C} $. Какая при этом выбрасывается частица?

Решение

Запишем уравнение ядерной реакции, описанной в условии задачи. Исходное ядро углерода-12 ($^{12}_{6}\text{C}$) взаимодействует с налетающей частицей — протоном ($^{1}_{1}\text{p}$). В результате реакции образуется ядро изотопа углерода-13 ($^{13}_{6}\text{C}$) и испускается некоторая неизвестная частица, которую мы обозначим как $^{A}_{Z}\text{X}$, где A — массовое число, а Z — зарядовое число.

Схематически уравнение реакции выглядит следующим образом:

$$^{12}_{6}\text{C} + ^{1}_{1}\text{p} \rightarrow ^{13}_{6}\text{C} + ^{A}_{Z}\text{X}$$

Чтобы определить, какая частица была испущена, необходимо применить законы сохранения массового числа и электрического заряда.

Закон сохранения массового числа

Сумма массовых чисел (верхних индексов) до реакции должна быть равна сумме массовых чисел после реакции.

$$12 + 1 = 13 + A$$

$$13 = 13 + A$$

Из этого уравнения находим массовое число неизвестной частицы:

$$A = 13 - 13 = 0$$

Закон сохранения заряда

Сумма зарядовых чисел (нижних индексов) до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел после реакции.

$$6 + 1 = 6 + Z$$

$$7 = 6 + Z$$

Теперь находим зарядовое число неизвестной частицы:

$$Z = 7 - 6 = 1$$

Таким образом, испущенная частица $^{A}_{Z}\text{X}$ имеет массовое число $A = 0$ и зарядовое число $Z = +1$. Частица с такими характеристиками является позитроном (антиэлектроном), который обозначается как $e^{+}$ или $\beta^{+}$.

Следовательно, полное уравнение ядерной реакции имеет вид:

$$^{12}_{6}\text{C} + ^{1}_{1}\text{p} \rightarrow ^{13}_{6}\text{C} + ^{0}_{1}e^{+}$$

Ответ: позитрон ($e^{+}$).

1236. В результате термоядерной реакции соединения двух протонов образуется дейтрон и нейтрино. Какая ещё появляется частица?

Решение

Для определения неизвестной частицы необходимо записать уравнение ядерной реакции и применить законы сохранения массового числа и электрического заряда.

Запишем уравнение реакции, в которой два протона ($p$ или $_1^1H$) соединяются, образуя дейтрон ($d$ или $_1^2H$), нейтрино ($\nu$) и некоторую неизвестную частицу, которую мы обозначим как $X_Z^A$, где $A$ — массовое число, а $Z$ — зарядовое число.

Уравнение реакции:

$$ _1^1H + _1^1H \rightarrow _1^2H + \nu + _Z^A X $$

Применим закон сохранения массового числа. Сумма массовых чисел (верхних индексов) до реакции должна быть равна сумме массовых чисел после реакции. Массовое число нейтрино равно 0.

$$ 1 + 1 = 2 + 0 + A $$

$$ 2 = 2 + A $$

Отсюда следует, что массовое число неизвестной частицы $A = 0$.

Теперь применим закон сохранения электрического заряда. Сумма зарядовых чисел (нижних индексов) до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел после реакции. Нейтрино — электрически нейтральная частица, ее заряд равен 0.

$$ 1 + 1 = 1 + 0 + Z $$

$$ 2 = 1 + Z $$

Отсюда находим зарядовое число неизвестной частицы $Z = +1$.

Таким образом, искомая частица $X$ имеет массовое число $A=0$ и заряд $Z=+1$. Такой частицей является позитрон — античастица электрона, которая обозначается как $e^+$ или $_1^0e$.

Эта реакция представляет собой один из этапов протон-протонного термоядерного цикла, протекающего в звездах. Один из протонов превращается в нейтрон, испуская позитрон и нейтрино, а затем этот нейтрон объединяется с другим протоном, образуя дейтрон.

Ответ: позитрон ($e^+$).

1237. При бомбардировке изотопа бора $_{5}^{10}\text{B}$ $\alpha$-частицами образуется изотоп азота $_{7}^{13}\text{N}$. Какая при этом выбрасывается частица? Изотоп азота $_{7}^{13}\text{N}$ является радиоактивным, дающим позитронный распад с излучением нейтрино. Написать реакцию.

Дано:

Реакция 1: $_{5}^{10}\textrm{B} + _{2}^{4}\textrm{He} \rightarrow _{7}^{13}\textrm{N} + ? $

Реакция 2: $_{7}^{13}\textrm{N}$ испытывает позитронный распад с излучением нейтрино.

Найти:

1. Неизвестную частицу, выбрасываемую в первой реакции.

2. Уравнение реакции позитронного распада азота-13.

Решение:

Какая при этом выбрасывается частица?

Рассмотрим первую ядерную реакцию: бомбардировку изотопа бора-10 $\alpha$-частицами ($_{2}^{4}\textrm{He}$). Запишем уравнение реакции, обозначив искомую частицу как $_{Z}^{A}\textrm{X}$:

$$_{5}^{10}\textrm{B} + _{2}^{4}\textrm{He} \rightarrow _{7}^{13}\textrm{N} + _{Z}^{A}\textrm{X}$$

Для определения неизвестной частицы воспользуемся законами сохранения массового числа (A) и заряда (Z).

Сумма массовых чисел до реакции должна быть равна сумме массовых чисел после реакции:

$$10 + 4 = 13 + A$$

$$14 = 13 + A$$

$$A = 1$$

Сумма зарядовых чисел до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел после реакции:

$$5 + 2 = 7 + Z$$

$$7 = 7 + Z$$

$$Z = 0$$

Частица, имеющая массовое число $A=1$ и заряд $Z=0$, является нейтроном ($n$).

Ответ: В результате реакции выбрасывается нейтрон ($_{0}^{1}n$).

Написать реакцию.

Вторая часть задачи описывает позитронный распад радиоактивного изотопа азота $_{7}^{13}\textrm{N}$ с излучением нейтрино. Позитронный распад (или $\beta^+$-распад) — это тип радиоактивного распада, при котором протон в ядре превращается в нейтрон, при этом испускаются позитрон ($_{1}^{0}e$) и электронное нейтрино ($\nu_e$).

Запишем схему этого распада, где $_{Z'}^{A'}\textrm{Y}$ — образующийся дочерний изотоп:

$$_{7}^{13}\textrm{N} \rightarrow _{Z'}^{A'}\textrm{Y} + _{1}^{0}e + \nu_e$$

Применим законы сохранения.

Закон сохранения массового числа:

$$13 = A' + 0$$

$$A' = 13$$

Закон сохранения заряда:

$$7 = Z' + 1$$

$$Z' = 6$$

Ядро с зарядовым числом $Z'=6$ является ядром углерода (C). Таким образом, в результате распада образуется изотоп углерода-13 ($_{6}^{13}\textrm{C}$).

Ответ: Реакция позитронного распада изотопа азота $_{7}^{13}\textrm{N}$ выглядит следующим образом:

$$_{7}^{13}\textrm{N} \rightarrow _{6}^{13}\textrm{C} + _{1}^{0}e + \nu_e$$

1238*. В установках для $\gamma$-облучения в сельском хозяйстве используется $\beta$-радиоактивный изотоп цезия $^{\text{137}}_{\text{55}}\text{Cs}$. Написать реакцию $\beta$-распада. Найти максимальную частоту $\gamma$-излучения, если наибольшая энергия $\gamma$-квантов равна $0,66 \text{ МэВ}$. Вычислить релятивистскую скорость $\beta$-частиц, если их энергия $1,18 \text{ МэВ}$.

Написать реакцию β-распада.

При β⁻-распаде один из нейтронов ядра превращается в протон, при этом испускается электрон ($^{0}_{-1}e$, β-частица) и электронное антинейтрино ($\bar{\nu}_e$). В результате зарядовое число Z ядра-родителя увеличивается на единицу, а массовое число A остается неизменным. Для изотопа цезия $^{137}_{55}\text{Cs}$ дочерним ядром является барий $^{137}_{56}\text{Ba}$.

Реакция β-распада записывается следующим образом:

$$^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$$

Гамма-излучение, упомянутое в задаче, возникает потому, что дочернее ядро бария-137 чаще всего образуется в возбужденном (метастабильном) состоянии, которое затем переходит в основное, испуская γ-квант.

Ответ: $^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$.

Найти максимальную частоту γ-излучения.

Дано:

Наибольшая энергия γ-квантов, $E_\gamma = 0.66 \text{ МэВ}$

Постоянная Планка, $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Элементарный заряд, $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в СИ:

$E_\gamma = 0.66 \text{ МэВ} = 0.66 \times 10^6 \text{ эВ} = 0.66 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.057 \times 10^{-13} \text{ Дж}$

Найти:

Максимальная частота γ-излучения, $ν_{max} - ?$

Решение:

Энергия γ-кванта связана с его частотой $ν$ формулой Планка. Для максимальной энергии частота также будет максимальной:

$$E_\gamma = h \nu_{max}$$

Выражаем искомую частоту:

$$\nu_{max} = \frac{E_\gamma}{h}$$

Подставляем значения в системе СИ:

$$\nu_{max} = \frac{1.057 \times 10^{-13} \text{ Дж}}{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}} \approx 0.1595 \times 10^{21} \text{ Гц} \approx 1.59 \times 10^{20} \text{ Гц}$$

Ответ: Максимальная частота γ-излучения составляет примерно $1.59 \times 10^{20} \text{ Гц}$.

Вычислить релятивистскую скорость β-частиц.

Дано:

Энергия β-частиц (электронов), $E_\beta = 1.18 \text{ МэВ}$

Энергия покоя электрона, $E_0 = m_e c^2 \approx 0.511 \text{ МэВ}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Так как данная энергия β-частицы ($1.18 \text{ МэВ}$) значительно превышает ее энергию покоя ($0.511 \text{ МэВ}$), под этой энергией подразумевается кинетическая энергия $E_k$.

Найти:

Релятивистская скорость β-частиц, $v - ?$

Решение:

Релятивистская кинетическая энергия $E_k$ связана с полной энергией частицы $E$ и ее энергией покоя $E_0$ соотношением $E_k = E - E_0$. Полная энергия выражается через Лоренц-фактор $\gamma$ как $E = \gamma E_0$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Следовательно, кинетическая энергия равна:

$$E_k = (\gamma - 1) E_0$$

Сначала найдем Лоренц-фактор, выразив его из формулы выше. Для удобства будем использовать энергии, выраженные в МэВ:

$$\gamma = \frac{E_k}{E_0} + 1$$

$$\gamma = \frac{1.18 \text{ МэВ}}{0.511 \text{ МэВ}} + 1 \approx 2.309 + 1 = 3.309$$

Теперь, зная Лоренц-фактор, можно найти скорость $v$ из его определения:

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \implies \gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2/c^2} \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\gamma^2}$$

Отсюда выражаем скорость:

$$v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$$

Подставляем численное значение $\gamma$:

$$v = c\sqrt{1 - \frac{1}{3.309^2}} = c\sqrt{1 - \frac{1}{10.95}} \approx c\sqrt{1 - 0.0913} = c\sqrt{0.9087} \approx 0.953c$$

Численное значение скорости в м/с:

$$v \approx 0.953 \times (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.86 \times 10^8 \text{ м/с}$$

Ответ: Релятивистская скорость β-частиц равна примерно $2.86 \times 10^8 \text{ м/с}$ (что составляет около $95.3\%$ от скорости света).

1239. Найти частоту $\gamma$-излучения, образующегося при термоядерной реакции:

$_{1}^{1}\text{H} + _{1}^{3}\text{H} \to _{2}^{4}\text{He} + \gamma$

если $\alpha$-частица приобретает энергию 19,7 МэВ.

Дано:

Реакция: ${}_1^1H + {}_1^3H \rightarrow {}_2^4He + \gamma$
Кинетическая энергия α-частицы $E_{k\alpha} = 19.7 \text{ МэВ}$
Масса атома водорода ${}_1^1H$: $m_H = 1.007825 \text{ а.е.м.}$
Масса атома трития ${}_1^3H$: $m_T = 3.016049 \text{ а.е.м.}$
Масса атома гелия ${}_2^4He$: $m_{He} = 4.002603 \text{ а.е.м.}$
Постоянная Планка $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м.: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$
$1 \text{ эВ} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж}$

$E_{k\alpha} = 19.7 \text{ МэВ} = 19.7 \times 10^6 \text{ эВ} = 19.7 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 3.156 \times 10^{-12} \text{ Дж}$

Найти:

Частоту γ-излучения $ν$.

Решение:

Энергетический выход ядерной реакции $Q$ определяется дефектом масс $\Delta m$ — разностью масс покоя исходных частиц и продуктов реакции. Масса γ-кванта равна нулю.

$\Delta m = (m_H + m_T) - m_{He}$

Подставим табличные значения масс в атомных единицах массы (а.е.м.):

$\Delta m = (1.007825 + 3.016049) - 4.002603 = 4.023874 - 4.002603 = 0.021271 \text{ а.е.м.}$

Энергетический выход реакции $Q$ связан с дефектом масс соотношением Эйнштейна $Q = \Delta m c^2$. Используя энергетический эквивалент 1 а.е.м., равный $931.5 \text{ МэВ}$, найдем $Q$:

$Q = \Delta m \times 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} = 0.021271 \times 931.5 \text{ МэВ} \approx 19.813 \text{ МэВ}$

Согласно закону сохранения энергии, энергетический выход реакции $Q$ распределяется между кинетической энергией α-частицы $E_{k\alpha}$ и энергией γ-кванта $E_\gamma$. Кинетической энергией исходных частиц в термоядерных реакциях обычно пренебрегают по сравнению с энергией реакции.

$Q = E_{k\alpha} + E_\gamma$

Отсюда можем найти энергию γ-кванта, зная из условия энергию α-частицы:

$E_\gamma = Q - E_{k\alpha} = 19.813 \text{ МэВ} - 19.7 \text{ МэВ} = 0.113 \text{ МэВ}$

Энергия фотона (γ-кванта) связана с его частотой $ν$ формулой Планка:

$E_\gamma = h\nu$

Следовательно, искомая частота равна:

$\nu = \frac{E_\gamma}{h}$

Перед вычислением переведем энергию $E_\gamma$ в систему СИ (Джоули):

$E_\gamma = 0.113 \text{ МэВ} = 0.113 \times 10^6 \text{ эВ} = 0.113 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.810 \times 10^{-14} \text{ Дж}$

Теперь вычислим частоту:

$\nu = \frac{1.810 \times 10^{-14} \text{ Дж}}{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}} \approx 0.273 \times 10^{20} \text{ Гц} = 2.73 \times 10^{19} \text{ Гц}$

Ответ: частота γ-излучения составляет примерно $2.73 \times 10^{19} \text{ Гц}$.

1240. Найти наименьшую энергию $\gamma$-кванта, необходимую для осуществления следующей реакции:

$_1^2 \text{H} + \gamma \rightarrow {}_1^1 \text{H} + {}_0^1 n.$

Дано:

Ядерная реакция: $ _{1}^{2}\text{H} + \gamma \rightarrow _{1}^{1}\text{H} + _{0}^{1}\text{n} $

Для расчетов используются справочные значения масс:

Масса атома дейтерия $ m(_{1}^{2}\text{H}) = 2.014102 \text{ а.е.м.} $

Масса атома водорода $ m(_{1}^{1}\text{H}) = 1.007825 \text{ а.е.м.} $

Масса нейтрона $ m_{n} = 1.008665 \text{ а.е.м.} $

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $ 1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ} $

Найти:

Наименьшую энергию $\gamma$-кванта $E_{\gamma, min}$.

Решение:

Данная реакция представляет собой фоторасщепление ядра дейтерия ($_{1}^{2}\text{H}$) на протон ($_{1}^{1}\text{H}$) и нейтрон ($_{0}^{1}\text{n}$). Наименьшая энергия $\gamma$-кванта, необходимая для осуществления этой реакции (пороговая энергия), равна энергии, которую нужно затратить на разделение ядра на составляющие его нуклоны. Эта энергия по определению является энергией связи ядра $E_{св}$.

Согласно соотношению эквивалентности массы и энергии Эйнштейна, энергия связи равна произведению дефекта масс $\Delta m$ на квадрат скорости света $c^2$:

$ E_{\gamma, min} = E_{св} = \Delta m \cdot c^2 $

Дефект масс $\Delta m$ — это разница между суммой масс нуклонов, образующих ядро, и массой самого ядра. В данном случае, это разница между суммой масс продуктов реакции (протона и нейтрона) и массой исходного ядра дейтерия.

$ \Delta m = (m(_{1}^{1}\text{H}) + m_{n}) - m(_{1}^{2}\text{H}) $

В расчетах можно использовать массы нейтральных атомов водорода и дейтерия, так как массы электронов в этом случае взаимно сокращаются, что упрощает вычисления.

Для задач ядерной физики удобнее и точнее проводить вычисления, используя атомные единицы массы (а.е.м.) и мегаэлектронвольты (МэВ), так как это позволяет избежать погрешностей округления при переводе в систему СИ.

Вычислим дефект масс в а.е.м.:

$ \Delta m = (1.007825 \text{ а.е.м.} + 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 2.014102 \text{ а.е.м.} = 2.016490 \text{ а.е.м.} - 2.014102 \text{ а.е.м.} = 0.002388 \text{ а.е.м.} $

Теперь найдем энергию, используя энергетический эквивалент 1 а.е.м.:

$ E_{\gamma, min} = 0.002388 \text{ а.е.м.} \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 2.224422 \text{ МэВ} $

Округляя до тысячных, получаем $2.224 \text{ МэВ}$.

Ответ: наименьшая энергия $\gamma$-кванта, необходимая для осуществления реакции, составляет $E_{\gamma, min} \approx 2.224 \text{ МэВ}$.