Страница 155 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1172. При облучении атом водорода перешёл из первого энергетического состояния в третье. При возвращении в исходное состояние он сначала перешёл из третьего во второе, а затем из второго в первое. Сравнить энергии фотонов, поглощённых и излученных атомом.

Решение

Обозначим энергию атома водорода на первом, втором и третьем стационарных энергетических уровнях как $E_1$, $E_2$ и $E_3$ соответственно. Согласно модели атома Бора, для этих уровней выполняется соотношение $E_1 < E_2 < E_3$.

Переходы атома между энергетическими уровнями сопровождаются поглощением или излучением фотонов. Энергия фотона в точности равна разности энергий тех уровней, между которыми совершается переход.

1. Процесс поглощения.
При облучении атом переходит из первого состояния с энергией $E_1$ в третье состояние с энергией $E_3$. Для этого он поглощает один фотон. Энергия этого поглощенного фотона, $E_{погл}$, определяется разностью энергий конечного и начального состояний:
$E_{погл} = E_3 - E_1$

2. Процесс излучения.
Возвращение атома в исходное состояние происходит каскадно, в два этапа, и на каждом этапе излучается фотон.
- Сначала атом переходит с третьего уровня на второй ($E_3 \rightarrow E_2$). При этом излучается фотон с энергией $E_{изл1}$:
$E_{изл1} = E_3 - E_2$
- Затем атом переходит со второго уровня на первый ($E_2 \rightarrow E_1$). При этом излучается второй фотон с энергией $E_{изл2}$:
$E_{изл2} = E_2 - E_1$

3. Сравнение энергий.
Суммарная энергия, излучённая атомом при возвращении в основное состояние, равна сумме энергий двух испущенных фотонов:
$E_{изл\_общ} = E_{изл1} + E_{изл2}$
Подставим в это равенство выражения для $E_{изл1}$ и $E_{изл2}$:
$E_{изл\_общ} = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1)$
Упростим выражение, раскрыв скобки:
$E_{изл\_общ} = E_3 - E_2 + E_2 - E_1 = E_3 - E_1$

Теперь сравним энергию поглощенного фотона $E_{погл}$ и суммарную энергию излучённых фотонов $E_{изл\_общ}$. Мы видим, что оба выражения равны $E_3 - E_1$. Следовательно:
$E_{погл} = E_{изл\_общ}$
Этот результат является прямым следствием закона сохранения энергии: энергия, которую система (атом) получила, должна быть равна энергии, которую система отдала при возвращении в исходное состояние.

Ответ: энергия поглощенного фотона равна сумме энергий двух излучённых фотонов.

1173. При переходе атома водорода из четвёртого энергетического состояния во второе излучаются фотоны с энергией 2,55 эВ (зелёная линия водородного спектра). Определить длину волны этой линии спектра.

Дано:

Энергия фотона $E = 2,55 \text{ эВ}$
Постоянная Планка $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Элементарный заряд $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:
$E = 2,55 \text{ эВ} = 2,55 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 4,085 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Найти:

Длину волны $\lambda$.

Решение:

Энергия фотона $E$ связана с его длиной волны $\lambda$ формулой Планка-Эйнштейна. Энергия фотона прямо пропорциональна его частоте $\nu$ и обратно пропорциональна длине волны:

$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света в вакууме.

Из этой формулы выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{E}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и выполним расчет:

$\lambda = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{4,085 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} = \frac{19,878 \cdot 10^{-26}}{4,085 \cdot 10^{-19}} \text{ м} \approx 4,866 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Для удобства переведем результат в нанометры (нм), зная, что $1 \text{ м} = 10^9 \text{ нм}$:

$\lambda \approx 4,866 \cdot 10^{-7} \cdot 10^9 \text{ нм} \approx 486,6 \text{ нм}$

Округлим результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью заданного значения энергии (2,55 эВ):

$\lambda \approx 487 \text{ нм}$

Ответ: $\lambda \approx 487 \text{ нм}$.

1174. При облучении паров ртути электронами энергия атома ртути увеличивается на 4,9 эВ. Какова длина волны излучения, которое испускают атомы ртути при переходе в невозбуждённое состояние?

Дано:

Найти:

Длину волны излучения $\lambda$.

Решение:

Когда атом ртути облучается электронами, он поглощает энергию и переходит из основного (невозбуждённого) состояния в возбуждённое. По условию, энергия атома увеличивается на величину $\Delta E$.

При обратном переходе из возбуждённого состояния в основное, атом испускает фотон. Согласно второму постулату Бора, энергия этого фотона $E_{ф}$ в точности равна энергии, которую атом поглотил для перехода в возбуждённое состояние:

$E_{ф} = \Delta E$

Энергия фотона связана с его частотой $\nu$ и длиной волны $\lambda$ формулой Планка:

$E_{ф} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света в вакууме.

Приравнивая два выражения для энергии, получаем:

$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$

Из этой формулы мы можем выразить искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$\lambda = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})}{4.9 \text{ эВ} \cdot 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ}}$

$\lambda \approx \frac{19.89 \times 10^{-26} \text{ Дж} \cdot \text{м}}{7.8498 \times 10^{-19} \text{ Дж}} \approx 2.534 \times 10^{-7} \text{ м}$

Этот результат соответствует ультрафиолетовой части спектра. Часто такие длины волн выражают в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda \approx 2.534 \times 10^{-7} \text{ м} = 253.4 \text{ нм}$

Ответ: длина волны излучения, которое испускают атомы ртути при переходе в невозбуждённое состояние, составляет приблизительно $2.53 \times 10^{-7}$ м (или 253 нм).

1175. Для ионизации атома азота необходима энергия 14,53 эВ. Найти длину волны излучения, которое вызовет ионизацию.

Дано:

Энергия ионизации атома азота $E_{ион} = 14,53 \text{ эВ}$.

Найти:

Длину волны излучения $\lambda$.

Решение:

Ионизация атома происходит, когда энергия поглощенного фотона ($E_{ф}$) равна или превышает энергию ионизации ($E_{ион}$). Мы ищем максимальную длину волны излучения, которое способно вызвать ионизацию, что соответствует минимально необходимой энергии фотона, равной энергии ионизации.

Энергия фотона связана с длиной волны излучения $\lambda$ формулой Планка:

$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка ($h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$), а $c$ — скорость света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$).

Приравниваем энергию фотона к энергии ионизации: $E_{ф} = E_{ион}$.

$E_{ион} = \frac{hc}{\lambda}$

Из этой формулы выражаем искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{hc}{E_{ион}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2,3248 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}$

$\lambda = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{2,3248 \cdot 10^{-18}} \text{ м} \approx 0,85556 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Переведем результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$), чтобы получить более наглядное значение:

$\lambda \approx 85,556 \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 85,6 \text{ нм}$

Таким образом, ионизацию вызовет излучение с длиной волны $\lambda \le 85,6 \text{ нм}$. В ответе указывается пороговое значение.

Ответ: $\lambda \approx 85,6 \text{ нм}$.

1176. Для однократной ионизации атомов неона требуется энергия $21,6 \text{ эВ}$, для двукратной — $41 \text{ эВ}$, для трёхкратной — $64 \text{ эВ}$. Какую степень ионизации можно получить, облучая неон рентгеновскими лучами, наименьшая длина волны которых $25 \text{ нм}$?

Дано:

Энергия для однократной ионизации атома неона $E_1 = 21,6 \text{ эВ}$

Энергия для двукратной ионизации атома неона $E_2 = 41 \text{ эВ}$

Энергия для трёхкратной ионизации атома неона $E_3 = 64 \text{ эВ}$

Наименьшая длина волны рентгеновских лучей $\lambda_{min} = 25 \text{ нм}$

Справочные данные:

Постоянная Планка $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Элементарный заряд $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

Максимальную степень ионизации неона $k$.

Решение:

Ионизация атома возможна, если энергия поглощаемого фотона не меньше энергии, необходимой для ионизации. Рентгеновское излучение представляет собой поток фотонов. Наименьшая длина волны в спектре излучения соответствует фотонам с наибольшей энергией. Вычислим максимальную энергию фотона $E_{max}$ по формуле Планка:

$E_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}}$

Подставим значения в систему СИ:

$E_{max} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{25 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 7,96 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Для удобства сравнения с данными энергиями ионизации переведём полученное значение в электрон-вольты (эВ), разделив на величину элементарного заряда $e$:

$E_{max} (\text{эВ}) = \frac{E_{max} (\text{Дж})}{e} = \frac{7,96 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 49,7 \text{ эВ}$

Теперь сравним максимальную энергию фотона с энергиями, необходимыми для ионизации атомов неона до различных степеней:

• Для однократной ионизации требуется $E_1 = 21,6 \text{ эВ}$. Поскольку $49,7 \text{ эВ} > 21,6 \text{ эВ}$, однократная ионизация возможна.
• Для двукратной ионизации требуется $E_2 = 41 \text{ эВ}$. Поскольку $49,7 \text{ эВ} > 41 \text{ эВ}$, двукратная ионизация также возможна.
• Для трёхкратной ионизации требуется $E_3 = 64 \text{ эВ}$. Поскольку $49,7 \text{ эВ} < 64 \text{ эВ}$, энергии фотона недостаточно для трёхкратной ионизации.

Таким образом, наибольшая степень ионизации, которую можно получить при облучении неона данными рентгеновскими лучами, — это двукратная ионизация.

Ответ: двукратная ионизация.

1177. Во сколько раз изменится энергия атома водорода при переходе атома из первого энергетического состояния в третье; при переходе из четвёртого энергетического состояния во второе?

Энергия электрона в атоме водорода на n-ом энергетическом уровне описывается формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$

где $E_0$ — энергия ионизации атома водорода из основного состояния (постоянная Ридберга, примерно равная $13,6$ эВ), а $n$ — главное квантовое число ($n = 1, 2, 3, \ldots$). Энергия является отрицательной, так как это энергия связи электрона в атоме (работа, которую нужно совершить, чтобы удалить электрон из атома).

Чтобы определить, во сколько раз изменится энергия, мы найдем отношение конечной энергии к начальной.

при переходе атома из первого энергетического состояния в третье

Дано:
Начальное энергетическое состояние: $n_1 = 1$
Конечное энергетическое состояние: $n_2 = 3$

Найти:
Отношение энергий $\frac{E_3}{E_1}$

Решение:
Энергия атома в начальном (основном) состоянии, когда $n_1=1$: $E_1 = -\frac{E_0}{1^2} = -E_0$

Энергия атома в конечном (возбужденном) состоянии, когда $n_2=3$: $E_3 = -\frac{E_0}{3^2} = -\frac{E_0}{9}$

Теперь найдем отношение конечной энергии $E_3$ к начальной $E_1$: $\frac{E_3}{E_1} = \frac{-E_0/9}{-E_0} = \frac{1}{9}$

Поскольку $E_3 > E_1$ (так как $-\frac{E_0}{9} > -E_0$), энергия атома увеличивается. Для такого перехода атом должен поглотить энергию. Модуль энергии при этом уменьшается в 9 раз: $|E_3| = \frac{|E_1|}{9}$.

Ответ: конечное значение энергии составит $\frac{1}{9}$ от начального. Это означает, что энергия атома увеличится (станет менее отрицательной).

при переходе из четвёртого энергетического состояния во второе

Дано:
Начальное энергетическое состояние: $n_1 = 4$
Конечное энергетическое состояние: $n_2 = 2$

Найти:
Отношение энергий $\frac{E_2}{E_4}$

Решение:
Энергия атома в начальном (возбужденном) состоянии, когда $n_1=4$: $E_4 = -\frac{E_0}{4^2} = -\frac{E_0}{16}$

Энергия атома в конечном (возбужденном) состоянии, когда $n_2=2$: $E_2 = -\frac{E_0}{2^2} = -\frac{E_0}{4}$

Найдем отношение конечной энергии $E_2$ к начальной $E_4$: $\frac{E_2}{E_4} = \frac{-E_0/4}{-E_0/16} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{1} = 4$

Поскольку $E_2 < E_4$ (так как $-\frac{E_0}{4} < -\frac{E_0}{16}$), энергия атома уменьшается. При таком переходе атом излучает энергию. Модуль энергии при этом увеличивается в 4 раза: $|E_2| = 4|E_4|$.

Ответ: конечное значение энергии составит 4 начальных значения. Это означает, что энергия атома уменьшится (станет более отрицательной).

1178. Во сколько раз длина волны излучения атома водорода при переходе из третьего энергетического состояния во второе больше длины волны излучения, обусловленного переходом из второго состояния в первое?

Дано:

Переход 1: с начального энергетического уровня $n_1=3$ на конечный уровень $k_1=2$.
Переход 2: с начального энергетического уровня $n_2=2$ на конечный уровень $k_2=1$.

Найти:

Отношение длин волн излучения $\frac{\lambda_{3 \to 2}}{\lambda_{2 \to 1}}$.

Решение:

Для определения длины волны излучения при переходе электрона в атоме водорода с одного энергетического уровня на другой используется обобщенная формула Бальмера (формула Ридберга):

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2} \right)$

где $R$ — постоянная Ридберга, $n$ — номер начального энергетического уровня, $k$ — номер конечного энергетического уровня ($n > k$).

Сначала найдем выражение для длины волны $\lambda_{3 \to 2}$ для перехода из третьего состояния ($n=3$) во второе ($k=2$):

$\frac{1}{\lambda_{3 \to 2}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$

Отсюда, $\lambda_{3 \to 2} = \frac{36}{5R}$.

Далее найдем выражение для длины волны $\lambda_{2 \to 1}$ для перехода из второго состояния ($n=2$) в первое ($k=1$):

$\frac{1}{\lambda_{2 \to 1}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{4-1}{4} \right) = \frac{3R}{4}$

Отсюда, $\lambda_{2 \to 1} = \frac{4}{3R}$.

Теперь найдем искомое отношение длин волн $\frac{\lambda_{3 \to 2}}{\lambda_{2 \to 1}}$:

$\frac{\lambda_{3 \to 2}}{\lambda_{2 \to 1}} = \frac{\frac{36}{5R}}{\frac{4}{3R}} = \frac{36}{5R} \cdot \frac{3R}{4}$

Постоянная Ридберга $R$ сокращается:

$\frac{\lambda_{3 \to 2}}{\lambda_{2 \to 1}} = \frac{36 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 4 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 3}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$

Ответ: Длина волны излучения при переходе из третьего энергетического состояния во второе в 5,4 раза больше длины волны излучения, обусловленного переходом из второго состояния в первое.

1179. В 1814 г. И. Фраунгофер обнаружил четыре линии поглощения водорода в видимой части спектра Солнца. Наибольшая длина волны в спектре поглощения была 656 нм. Найти длины волн в спектре поглощения, соответствующие остальным линиям.

Дано:

Найти:

Решение:

Линии поглощения водорода в видимой части спектра относятся к серии Бальмера. Эта серия описывает переходы электронов между вторым энергетическим уровнем ($n_1=2$) и более высокими уровнями ($n_2=3, 4, 5, ...$).

Длины волн для этих переходов описываются обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$\frac{1}{\lambda_n} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)$, где $R$ – постоянная Ридберга, а $n = 3, 4, 5, 6, ...$

Наибольшая длина волны соответствует переходу с наименьшей энергией, то есть переходу между ближайшими уровнями для этой серии: с $n=3$ на $n=2$.

Следовательно, данная длина волны $\lambda_{max} = 656 \text{ нм}$ соответствует переходу при $n=3$ (эту линию называют $H_{\alpha}$):

$\frac{1}{\lambda_3} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \frac{5}{36}$ (1)

В задаче говорится о четырех линиях, значит, нам нужно найти длины волн для следующих трех переходов: $n=4, n=5$ и $n=6$.

Для второй линии (переход с $n=4$, линия $H_{\beta}$):

$\frac{1}{\lambda_4} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \frac{3}{16}$ (2)

Для третьей линии (переход с $n=5$, линия $H_{\gamma}$):

$\frac{1}{\lambda_5} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = R \frac{21}{100}$ (3)

Для четвертой линии (переход с $n=6$, линия $H_{\delta}$):

$\frac{1}{\lambda_6} = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{36} \right) = R \frac{8}{36} = R \frac{2}{9}$ (4)

Чтобы найти неизвестные длины волн, можно составить пропорции, разделив уравнения (2), (3) и (4) на уравнение (1), чтобы исключить постоянную Ридберга $R$.

Найдем $\lambda_4$:

$\frac{1/\lambda_4}{1/\lambda_3} = \frac{\lambda_3}{\lambda_4} = \frac{R \cdot 3/16}{R \cdot 5/36} = \frac{3}{16} \cdot \frac{36}{5} = \frac{27}{20}$

$\lambda_4 = \lambda_3 \cdot \frac{20}{27} = 656 \text{ нм} \cdot \frac{20}{27} \approx 485.9 \text{ нм} \approx 486 \text{ нм}$

Найдем $\lambda_5$:

$\frac{\lambda_3}{\lambda_5} = \frac{R \cdot 21/100}{R \cdot 5/36} = \frac{21}{100} \cdot \frac{36}{5} = \frac{189}{125}$

$\lambda_5 = \lambda_3 \cdot \frac{125}{189} = 656 \text{ нм} \cdot \frac{125}{189} \approx 434.1 \text{ нм} \approx 434 \text{ нм}$

Найдем $\lambda_6$:

$\frac{\lambda_3}{\lambda_6} = \frac{R \cdot 2/9}{R \cdot 5/36} = \frac{2}{9} \cdot \frac{36}{5} = \frac{8}{5}$

$\lambda_6 = \lambda_3 \cdot \frac{5}{8} = 656 \text{ нм} \cdot \frac{5}{8} = 410 \text{ нм}$

Ответ: длины волн в спектре поглощения, соответствующие остальным трем линиям, равны примерно $486$ нм, $434$ нм и $410$ нм.