Страница 149 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1129. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его кинетическая энергия стала в 10 раз больше его энергии покоя? Начальную скорость электрона считать равной нулю.

Дано:

Найти:

Ускоряющую разность потенциалов $U$.

Решение:

Работа $A$, совершаемая электрическим полем при прохождении электроном ускоряющей разности потенциалов $U$, полностью переходит в его кинетическую энергию $E_k$, так как начальная скорость электрона равна нулю ($v_0 = 0$, следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$).

Согласно теореме о кинетической энергии: $A = \Delta E_k = E_k - E_{k0} = E_k$

Работа электростатического поля вычисляется по формуле: $A = eU$ где $e$ – заряд электрона, $U$ – разность потенциалов.

Приравнивая два выражения, получаем: $eU = E_k$

По условию задачи, кинетическая энергия электрона должна стать в 10 раз больше его энергии покоя $E_0$: $E_k = 10 E_0$

Энергия покоя $E_0$ определяется знаменитой формулой Эйнштейна: $E_0 = m_0 c^2$ где $m_0$ – масса покоя электрона, $c$ – скорость света в вакууме.

Объединим формулы: $eU = 10 m_0 c^2$

Отсюда выражаем искомую ускоряющую разность потенциалов $U$: $U = \frac{10 m_0 c^2}{e}$

Подставим числовые значения констант в систему СИ и произведем вычисления: $U = \frac{10 \cdot (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}$ $U = \frac{10 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}$ $U = \frac{81.99 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 51.18 \cdot 10^4 \text{ В}$ $U \approx 5.12 \cdot 10^6 \text{ В}$

Также можно решить задачу, используя значение энергии покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах (МэВ). Энергия покоя электрона $E_0 \approx 0.511$ МэВ. Тогда необходимая кинетическая энергия: $E_k = 10 \cdot E_0 = 10 \cdot 0.511 \text{ МэВ} = 5.11 \text{ МэВ}$

Кинетическая энергия, выраженная в электрон-вольтах, численно равна ускоряющей разности потенциалов в вольтах. Следовательно, для сообщения электрону энергии 5.11 МэВ требуется разность потенциалов 5.11 МВ. $U = 5.11 \cdot 10^6 \text{ В} = 5.11 \text{ МВ}$

Ответ: ускоряющая разность потенциалов должна быть равна $5.11 \cdot 10^6 \text{ В}$ или $5.11 \text{ МВ}$.

1130. Найти кинетическую энергию электрона, который движется с такой скоростью, что его масса увеличивается в 2 раза.

Дано:

$m = 2m_0$
$m_0$ (масса покоя электрона) $\approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
$c$ (скорость света в вакууме) $\approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$E_k$

Решение:

Согласно специальной теории относительности, кинетическая энергия $E_k$ частицы представляет собой разность между ее полной релятивистской энергией $E$ и энергией покоя $E_0$.

$E_k = E - E_0$

Полная энергия $E$ связана с релятивистской массой $m$ и скоростью света $c$ формулой Эйнштейна:

$E = mc^2$

Аналогично, энергия покоя $E_0$ связана с массой покоя $m_0$:

$E_0 = m_0c^2$

Следовательно, выражение для кинетической энергии можно записать в виде:

$E_k = mc^2 - m_0c^2 = (m - m_0)c^2$

Из условия задачи известно, что релятивистская масса электрона в два раза превышает его массу покоя:

$m = 2m_0$

Подставим это соотношение в формулу для кинетической энергии:

$E_k = (2m_0 - m_0)c^2 = m_0c^2$

Таким образом, искомая кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя. Произведем вычисления, используя табличные значения массы покоя электрона и скорости света в системе СИ:

$E_k = (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж}$

$E_k = 81.99 \cdot 10^{-15} \text{ Дж} \approx 8.2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Стоит отметить, что энергия покоя электрона $m_0c^2$ является фундаментальной физической константой, и ее значение часто выражают в мегаэлектронвольтах (МэВ). Оно составляет примерно $0.511$ МэВ.

Ответ: $E_k \approx 8.2 \cdot 10^{-14}$ Дж.

1131. Найти импульс протона, движущегося со скоростью $0.8c$.

Дано:

Скорость протона $v = 0.8c$
Масса покоя протона $m_0 \approx 1.672 \times 10^{-27}$ кг
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

Найти:

Импульс протона $p$

Решение:

Поскольку скорость протона является существенной долей скорости света, для нахождения его импульса необходимо использовать формулу релятивистского импульса:

$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим в формулу значение скорости протона $v = 0.8c$:

$p = \frac{m_0 (0.8c)}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}} = \frac{0.8 m_0 c}{\sqrt{1 - \frac{0.64c^2}{c^2}}} = \frac{0.8 m_0 c}{\sqrt{1 - 0.64}}$

$p = \frac{0.8 m_0 c}{\sqrt{0.36}} = \frac{0.8 m_0 c}{0.6} = \frac{8}{6} m_0 c = \frac{4}{3} m_0 c$

Теперь подставим числовые значения массы покоя протона и скорости света:

$p = \frac{4}{3} \cdot (1.672 \times 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})$

$p = 4 \cdot 1.672 \times 10^{-27} \cdot 10^8 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 6.688 \times 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Округлим результат до трех значащих цифр:

$p \approx 6.69 \times 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: $p \approx 6.69 \times 10^{-19}$ кг⋅м/с.