Страница 144 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1087. Две когерентные световые волны приходят в некоторую точку пространства с разностью хода 2,25 мкм. Каков результат интерференции в этой точке, если свет:

а) красный $(\lambda = 750 \text{ нм})$

б) зелёный $(\lambda = 500 \text{ нм})$?

Дано:

Разность хода, $\Delta d = 2,25 \text{ мкм}$
а) Длина волны красного света, $\lambda_к = 750 \text{ нм}$
б) Длина волны зелёного света, $\lambda_з = 500 \text{ нм}$

Найти:

Результат интерференции для каждого случая.

Решение:

Результат интерференции когерентных волн зависит от соотношения между разностью хода $\Delta d$ и длиной волны $\lambda$.

Условие максимума интерференции (усиление света) выполняется, если разность хода равна целому числу длин волн:

$\Delta d = k \cdot \lambda$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Условие минимума интерференции (ослабление света) выполняется, если разность хода равна полуцелому числу длин волн (или нечетному числу полуволн):

$\Delta d = (2k + 1) \frac{\lambda}{2}$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Определим, какое из условий выполняется для каждого случая.

а) красный свет ($\lambda_к = 750$ нм)

Вычислим, сколько длин волн укладывается в разности хода:

$\frac{\Delta d}{\lambda_к} = \frac{2,25 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{0,75 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = 3$

Поскольку отношение является целым числом ($k=3$), в данной точке выполняется условие максимума интерференции.

Ответ: для красного света будет наблюдаться усиление (максимум интерференции).

б) зелёный свет ($\lambda_з = 500$ нм)

Вычислим, сколько длин волн укладывается в разности хода:

$\frac{\Delta d}{\lambda_з} = \frac{2,25 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = 4,5$

Поскольку отношение является полуцелым числом, в данной точке выполняется условие минимума интерференции. В разности хода укладывается нечетное число полуволн: $\Delta d = 4,5 \lambda_з = 9 \cdot \frac{\lambda_з}{2}$. Условие минимума $\Delta d = (2k + 1) \frac{\lambda_з}{2}$ выполняется при $k=4$.

Ответ: для зелёного света будет наблюдаться ослабление (минимум интерференции).

1088. Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$ освещают экран $AB$, плоскость которого параллельна направлению $S_1S_2$ (рис. 121). Доказать, что на экране в точке $O$, лежащей на перпендикуляре, опущенном на экран из середины отрезка $S_1S_2$, соединяющего источники, будет максимум освещённости.

Дано:

Два когерентных источника света $S_1$ и $S_2$.
Экран $AB$, плоскость которого параллельна отрезку, соединяющему источники, то есть $AB \parallel S_1S_2$.
Точка $O$ на экране лежит на перпендикуляре, опущенном из середины отрезка $S_1S_2$ на экран.

Найти:

Доказать, что в точке $O$ будет максимум освещенности.

Решение:

Результат сложения двух когерентных волн (интерференции) в некоторой точке пространства определяется разностью хода волн, пришедших в эту точку от источников. Условие, при котором наблюдается максимум освещенности (конструктивная интерференция), задается формулой:
$\Delta d = k \lambda$
где $\Delta d$ — оптическая разность хода волн, $\lambda$ — длина волны, а $k$ — целое число ($k = 0, \pm1, \pm2, \dots$).

Рассмотрим геометрию задачи. Пусть $d_1$ — это расстояние от источника $S_1$ до точки $O$ на экране, а $d_2$ — расстояние от источника $S_2$ до той же точки $O$. Тогда разность хода для точки $O$ равна $\Delta d = |d_2 - d_1|$.

Обозначим середину отрезка $S_1S_2$ как точку $M$. Согласно условию, точка $O$ находится на перпендикуляре, восстановленном из точки $M$ к плоскости экрана. Отрезок $MO$ является этим перпендикуляром. Поскольку плоскость экрана $AB$ параллельна прямой $S_1S_2$, то отрезок $MO$ также перпендикулярен и отрезку $S_1S_2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle S_1MO$ и $\triangle S_2MO$. Оба треугольника являются прямоугольными, так как $\angle S_1MO = \angle S_2MO = 90^\circ$.

В этих треугольниках:
1. Катет $MO$ является общим.
2. Катеты $S_1M$ и $S_2M$ равны, поскольку $M$ — середина отрезка $S_1S_2$ ($S_1M = S_2M$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle S_1MO$ и $\triangle S_2MO$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз:
$S_1O = S_2O$
то есть, $d_1 = d_2$.

Теперь мы можем вычислить разность хода для точки $O$:
$\Delta d = d_2 - d_1 = 0$.

Полученное значение разности хода $\Delta d = 0$ удовлетворяет условию максимума интерференции $\Delta d = k \lambda$ при $k=0$. Этот максимум называется центральным или максимумом нулевого порядка.

Таким образом, в точке $O$ волны от источников $S_1$ и $S_2$ приходят в одинаковой фазе, усиливая друг друга, что и создает максимум освещенности.

Ответ: В точке $O$, лежащей на перпендикуляре к экрану, проведенном из середины отрезка $S_1S_2$, расстояния от источников до этой точки равны ($d_1 = d_2$). Следовательно, разность хода лучей равна нулю ($\Delta d = 0$), что соответствует условию главного интерференционного максимума ($k=0$). Поэтому в точке $O$ будет максимум освещенности.

1089. Экран $AB$ освещён когерентными монохроматическими источниками света $S_1$ и $S_2$ (см. рис. 121). Усиление или ослабление будет на экране в точке $C$, если:

а) от источника $S_2$ свет приходит позже на 2,5 периода;

б) от источника $S_2$ приходит с запозданием по фазе на $3\pi$;

в) расстояние $S_2C$ больше расстояния $S_1C$ на 1,5 длины волны?

Рис. 121

Результат наложения (интерференции) двух когерентных световых волн в некоторой точке экрана зависит от разности фаз $Δφ$ или, что эквивалентно, от оптической разности хода $Δd$ этих волн в данной точке.

Усиление света (конструктивная интерференция или интерференционный максимум) наблюдается в том случае, если разность хода волн равна целому числу длин волн ($λ$), а разность фаз — четному числу $π$.
Условие максимума: $Δd = kλ$ или $Δφ = 2kπ$, где $k$ — целое число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Ослабление света (деструктивная интерференция или интерференционный минимум) наблюдается, если разность хода равна нечетному числу полуволн ($λ/2$), а разность фаз — нечетному числу $π$.
Условие минимума: $Δd = (k + \frac{1}{2})λ$ или $Δφ = (2k+1)π$, где $k$ — целое число ($k = 0, 1, 2, ...$).

а) от источника S₂ свет приходит позже на 2,5 периода

Временная задержка прихода волны $Δt$ связана с разностью фаз $Δφ$ соотношением $Δφ = 2π \frac{Δt}{T}$, где $T$ — период колебаний. По условию, задержка составляет $Δt = 2,5T$.
Найдем разность фаз:
$Δφ = 2π \frac{2,5T}{T} = 5π$.
Поскольку разность фаз $5π$ является нечетным числом $π$ (соответствует условию минимума при $k=2$), в точке C будет наблюдаться ослабление света.

Ответ: в точке C будет ослабление.

б) от источника S₂ приходит с запозданием по фазе на 3π

По условию, разность фаз волн в точке C составляет $Δφ = 3π$.
Так как $3π$ является нечетным числом $π$ (соответствует условию минимума при $k=1$), в точке C будет наблюдаться ослабление света.

Ответ: в точке C будет ослабление.

в) расстояние S₂C больше расстояния S₁C на 1,5 длины волны

Разность хода волн от источников до точки C составляет $Δd = S_2C - S_1C = 1,5λ$.
Это значение можно представить в виде $Δd = (1 + \frac{1}{2})λ$.
Разность хода равна нечетному числу полуволн, что соответствует условию интерференционного минимума (при $k=1$). Следовательно, в точке C будет наблюдаться ослабление света.

Ответ: в точке C будет ослабление.

1090. Расстояние $S_2C$ (см. рис. 121) больше расстояния $S_1C$ на 900 нм. Что будет в точке C, если источники имеют одинаковую интенсивность и излучают свет с частотой $5 \cdot 10^{14}\text{ Гц}$?

Рис. 121

Дано:

Найти:

Что будет наблюдаться в точке C (усиление или ослабление света)?

Решение:

В точке C будет наблюдаться интерференция света от двух когерентных источников S₁ и S₂. Результат интерференции (усиление или ослабление света) зависит от разности хода лучей $Δd$ и длины волны света $λ$.

Условие максимума (усиления) интенсивности света:

$Δd = kλ$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Условие минимума (ослабления) интенсивности света:

$Δd = (2k + 1)\frac{λ}{2}$, где $k = 0, 1, 2, ...$

Сначала найдем длину волны света, зная его частоту $ν$ и скорость $c$:

$λ = \frac{c}{ν}$

Подставим числовые значения:

$λ = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}} = 0.6 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 600 \text{ нм}$

Теперь определим, какому условию удовлетворяет разность хода $Δd = 900 \text{ нм}$. Для этого найдем, сколько длин волн укладывается в разности хода:

$\frac{Δd}{λ} = \frac{900 \text{ нм}}{600 \text{ нм}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, разность хода составляет полторы длины волны:

$Δd = 1.5λ = \frac{3}{2}λ$

Это выражение соответствует условию интерференционного минимума $Δd = (2k+1)\frac{λ}{2}$. В нашем случае $k=1$, так как:

$(2 \cdot 1 + 1)\frac{λ}{2} = \frac{3}{2}λ$

Следовательно, в точке C волны от источников S₁ и S₂ придут в противофазе и будут гасить друг друга.

Ответ: В точке C будет наблюдаться интерференционный минимум, то есть ослабление света.

1091. Два когерентных источника $S_1$ и $S_2$ (см. рис. 121) излучают монохроматический свет с длиной волны $600 \text{ нм}$. Определить, на каком расстоянии от точки $O$ на экране будет первый максимум освещённости, если $OD = 4 \text{ м}$ и $S_1S_2 = 1 \text{ мм}$.

Рис. 121

Дано:

Длина волны света, $\lambda = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
Расстояние от источников до экрана, $L = OD = 4 \text{ м}$
Расстояние между источниками, $d = S_1S_2 = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Порядок максимума, $k = 1$

Найти:

Расстояние от точки O до первого максимума освещенности, $x_1$

Решение:

Эта задача описывает явление интерференции света от двух когерентных источников (опыт Юнга). Максимумы освещенности на экране наблюдаются в точках, для которых разность хода лучей от источников $S_1$ и $S_2$ равна целому числу длин волн.

Условие максимума интерференции:

$\Delta r = k \lambda$

где $\Delta r$ — разность хода лучей, $\lambda$ — длина волны, $k$ — порядок максимума ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$).

Центральный максимум ($k=0$) находится в точке O. Первый максимум соответствует $k=1$.

Для малых углов, когда расстояние до экрана $L$ значительно больше расстояния между источниками $d$ ($L \gg d$) и расстояния от центра до максимума $x$ ($L \gg x$), разность хода лучей можно выразить через геометрические параметры установки:

$\Delta r \approx \frac{x \cdot d}{L}$

Приравнивая два выражения для разности хода, получаем условие для нахождения координаты $k$-го максимума:

$\frac{x_k \cdot d}{L} = k \lambda$

Отсюда выразим координату $x_k$ (расстояние от центрального максимума до $k$-го максимума):

$x_k = \frac{k \lambda L}{d}$

Для нахождения расстояния до первого максимума подставляем $k=1$:

$x_1 = \frac{1 \cdot \lambda L}{d} = \frac{\lambda L}{d}$

Подставим числовые значения, предварительно переведенные в систему СИ:

$x_1 = \frac{6 \cdot 10^{-7} \text{ м} \cdot 4 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{24 \cdot 10^{-7}}{10^{-3}} \text{ м} = 24 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$x_1 = 24 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2.4 \text{ мм}$

Ответ: первый максимум освещенности будет на расстоянии 2.4 мм от точки O.

1092. Как изменяется интерференционная картина на экране $AB$ (см. рис. 121), если:

а) не изменяя расстояния между источниками света, удалять их от экрана;

б) не изменяя расстояния до экрана, сближать источники света;

в) источники света будут испускать свет с меньшей длиной волны?

Рис. 121

Решение

Интерференционная картина, наблюдаемая на экране, представляет собой чередование светлых (максимумы) и темных (минимумы) полос. Характер этой картины, а именно ширина и расположение полос, зависит от нескольких параметров: длины волны света ($\lambda$), расстояния между когерентными источниками света S₁ и S₂ ($d$), и расстояния от источников до экрана ($L$).

Ширина интерференционной полосы (расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами) $\Delta x$ определяется по формуле:

$\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$

Анализируя эту формулу, мы можем определить, как изменится интерференционная картина в каждом из предложенных случаев.

а) не изменяя расстояния между источниками света, удалять их от экрана;

В этом случае расстояние между источниками $d$ остается постоянным, а расстояние от источников до экрана $L$ увеличивается. Длина волны света $\lambda$ также не изменяется. Из формулы $\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$ видно, что ширина полосы $\Delta x$ прямо пропорциональна расстоянию $L$. Следовательно, при увеличении $L$ ширина интерференционных полос также увеличится.

Ответ: Интерференционные полосы станут шире, и расстояние между ними увеличится. Картина "растянется".

б) не изменяя расстояния до экрана, сближать источники света;

Здесь расстояние до экрана $L$ и длина волны $\lambda$ постоянны, а расстояние между источниками $d$ уменьшается. Из формулы $\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$ следует, что ширина полосы $\Delta x$ обратно пропорциональна расстоянию $d$. Таким образом, при уменьшении $d$ ширина интерференционных полос $\Delta x$ будет увеличиваться.

Ответ: Интерференционные полосы станут шире, и расстояние между ними увеличится. Картина "растянется".

в) источники света будут испускать свет с меньшей длиной волны?

В данном условии расстояния $L$ и $d$ остаются неизменными, а длина волны света $\lambda$ уменьшается. Формула $\Delta x = \frac{\lambda L}{d}$ показывает, что ширина полосы $\Delta x$ прямо пропорциональна длине волны $\lambda$. Следовательно, при уменьшении длины волны $\lambda$ ширина интерференционных полос $\Delta x$ также уменьшится.

Ответ: Интерференционные полосы станут уже, и расстояние между ними уменьшится. Картина "сожмется", станет более плотной.