Страница 142 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1070. Определить оптическую силу рассеивающей линзы, если известно, что предмет, помещенный перед ней на расстоянии 40 см, даёт мнимое изображение, уменьшенное в 4 раза.

Дано:

Тип линзы: рассеивающая
Расстояние от предмета до линзы: $d = 40$ см
Изображение уменьшено в: $k = 4$ раза

$d = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

Оптическая сила линзы: $D$

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ связана с фокусным расстоянием $F$ соотношением $D = 1/F$. Для нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой тонкой линзы: $$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $$ где $d$ — расстояние от линзы до предмета, а $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Для рассеивающей линзы изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное. Расстояние до мнимого изображения $f$ принимается отрицательным.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ можно выразить через отношение расстояний до изображения и предмета: $$ \Gamma = -\frac{f}{d} $$ Поскольку изображение уменьшено в 4 раза и является прямым (для рассеивающей линзы), увеличение $\Gamma = 1/4$.

Из формулы увеличения найдем расстояние до изображения $f$: $$ \frac{1}{4} = -\frac{f}{d} \implies f = -\frac{d}{4} $$ Знак "минус" подтверждает, что изображение является мнимым.

Подставим выражение для $f$ в формулу тонкой линзы, чтобы найти оптическую силу $D$: $$ D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{-d/4} $$ $$ D = \frac{1}{d} - \frac{4}{d} = -\frac{3}{d} $$

Теперь подставим числовое значение $d$, выраженное в системе СИ: $$ D = -\frac{3}{0.4 \text{ м}} = -7.5 \text{ м}^{-1} = -7.5 \text{ дптр} $$ Оптическая сила получилась отрицательной, что соответствует рассеивающей линзе.

Ответ: $-7.5$ дптр.

1071. Предмет находится на расстоянии $4F$ от линзы. Во сколько раз его изображение на экране меньше самого предмета?

Дано:

Расстояние от предмета до линзы: $d = 4F$
Фокусное расстояние линзы: $F$
Так как изображение получается на экране, оно является действительным, следовательно, линза является собирающей.

Найти:

Отношение размера предмета $H$ к размеру изображения $h$: $k = \frac{H}{h}$ — ?

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу тонкой линзы и формулу линейного увеличения.

Формула тонкой линзы для собирающей линзы, дающей действительное изображение, имеет вид:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $F$ — фокусное расстояние линзы, $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Подставим в эту формулу известное нам расстояние до предмета $d = 4F$, чтобы найти расстояние до изображения $f$.

$\frac{1}{F} = \frac{1}{4F} + \frac{1}{f}$

Теперь выразим из этого уравнения $\frac{1}{f}$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{4F}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{f} = \frac{4}{4F} - \frac{1}{4F} = \frac{3}{4F}$

Отсюда находим расстояние от линзы до изображения:

$f = \frac{4F}{3}$

Далее, воспользуемся формулой для линейного увеличения линзы, которое обозначается буквой $\Gamma$. Увеличение равно отношению размера изображения $h$ к размеру предмета $H$, а также отношению расстояния до изображения $f$ к расстоянию до предмета $d$.

$\Gamma = \frac{h}{H} = \frac{f}{d}$

В задаче требуется найти, во сколько раз изображение меньше предмета, то есть нам нужно найти величину, обратную увеличению: $k = \frac{H}{h}$.

$k = \frac{H}{h} = \frac{d}{f}$

Подставим в полученное выражение значения $d = 4F$ и $f = \frac{4F}{3}$:

$k = \frac{4F}{\frac{4F}{3}} = 4F \cdot \frac{3}{4F} = 3$

Таким образом, изображение на экране в 3 раза меньше самого предмета.

Ответ: изображение на экране в 3 раза меньше самого предмета.

1072. Предмет находится перед рассеивающей линзой на расстоянии $mF$ (где $F$ — её фокусное расстояние). На каком расстоянии от линзы получится мнимое изображение и во сколько раз оно будет меньше самого предмета?

Дано:

Тип линзы: рассеивающая
Расстояние от предмета до линзы: $d = mF$
Модуль фокусного расстояния линзы: $F$

Найти:

1. Расстояние от линзы до изображения: $|f|$
2. Во сколько раз изображение меньше предмета: $k$

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой линзы: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F_{линзы}} $$ где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, и $F_{линзы}$ — фокусное расстояние линзы. Согласно принятому правилу знаков, расстояние до действительного предмета $d$ положительно ($d = mF$), а фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно ($F_{линзы} = -F$). Расстояние до мнимого изображения $f$ также должно получиться отрицательным.

На каком расстоянии от линзы получится мнимое изображение

Подставим известные значения в формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{mF} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} $$ Выразим из этого уравнения величину $\frac{1}{f}$: $$ \frac{1}{f} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{mF} $$ Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $mF$: $$ \frac{1}{f} = -\left( \frac{m}{mF} + \frac{1}{mF} \right) = -\frac{m+1}{mF} $$ Отсюда находим координату изображения $f$: $$ f = -\frac{mF}{m+1} $$ Знак "минус" подтверждает, что изображение мнимое и находится с той же стороны от линзы, что и предмет. Расстояние от линзы до изображения — это модуль этой величины: $$ |f| = \frac{mF}{m+1} $$

Ответ: мнимое изображение получится на расстоянии $\frac{mF}{m+1}$ от линзы.

во сколько раз оно будет меньше самого предмета

Уменьшение изображения — это величина $k$, обратная модулю линейного увеличения $\Gamma$. Линейное увеличение определяется формулой: $$ \Gamma = \frac{h}{H} = \frac{f}{d} $$ где $h$ — размер изображения, а $H$ — размер предмета. Вопрос "во сколько раз изображение меньше предмета" означает, что нам нужно найти отношение $\frac{H}{|h|} = \frac{1}{|\Gamma|}$.

Подставим найденные значения для $d$ и $f$ в формулу для увеличения: $$ \Gamma = \frac{f}{d} = \frac{-\frac{mF}{m+1}}{mF} = -\frac{mF}{m+1} \cdot \frac{1}{mF} = -\frac{1}{m+1} $$ Модуль линейного увеличения равен: $$ |\Gamma| = \frac{1}{m+1} $$ Следовательно, изображение будет меньше предмета в $k$ раз: $$ k = \frac{1}{|\Gamma|} = m+1 $$

Ответ: изображение будет меньше самого предмета в $m+1$ раз.

1073. Расстояние от предмета до экрана 90 см. Где надо поместить между ними линзу с фокусным расстоянием 20 см, чтобы получить на экране отчётливое изображение предмета?

Дано:

Расстояние от предмета до экрана $L = 90$ см
Фокусное расстояние линзы $F = 20$ см

Перевод в систему СИ:
$L = 0.9$ м
$F = 0.2$ м

Найти:

$d$ — расстояние от предмета до линзы.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы. Чтобы на экране получилось отчётливое изображение, предмет, линза и экран должны быть расположены так, чтобы выполнялось соотношение:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения (экрана).

Из условия задачи известно, что общее расстояние от предмета до экрана $L$ составляет 90 см. Это расстояние равно сумме расстояния от предмета до линзы и от линзы до экрана:

$L = d + f$

Из этого соотношения выразим расстояние $f$:

$f = L - d = 90 - d$ (расчеты будем вести в сантиметрах)

Теперь подставим это выражение для $f$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{L - d}$

Подставим числовые значения $F=20$ см и $L=90$ см:

$\frac{1}{20} = \frac{1}{d} + \frac{1}{90 - d}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $d(90 - d)$:

$\frac{1}{20} = \frac{(90 - d) + d}{d(90 - d)}$

$\frac{1}{20} = \frac{90}{90d - d^2}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$1 \cdot (90d - d^2) = 20 \cdot 90$

$90d - d^2 = 1800$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$d^2 - 90d + 1800 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1800 = 8100 - 7200 = 900$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что существует два положения линзы, при которых на экране будет чёткое изображение.

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \frac{-(-90) + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{90 + 30}{2} = \frac{120}{2} = 60$ см.

$d_2 = \frac{-(-90) - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{90 - 30}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Оба решения физически осмысленны:

1. Если линзу поместить на расстоянии $d_1 = 60$ см от предмета, то расстояние до экрана будет $f_1 = 90 - 60 = 30$ см.

2. Если линзу поместить на расстоянии $d_2 = 30$ см от предмета, то расстояние до экрана будет $f_2 = 90 - 30 = 60$ см.

Ответ: чтобы получить на экране отчётливое изображение предмета, линзу необходимо поместить на расстоянии 30 см или 60 см от предмета.

1074. Расстояние от предмета до экрана равно 3 м. Какой оптической силы надо взять линзу и где следует её поместить, чтобы получить изображение предмета, увеличенное в 5 раз?

Дано:

Расстояние от предмета до экрана $L = 3 \text{ м}$
Увеличение $\Gamma = 5$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Оптическую силу линзы $D$
Расстояние от предмета до линзы $d$

Решение:

Поскольку изображение должно быть получено на экране, оно является действительным. Действительное изображение можно получить с помощью собирающей линзы.

Обозначим расстояние от предмета до линзы как $d$, а расстояние от линзы до экрана (изображения) как $f$. Сумма этих расстояний равна заданному расстоянию от предмета до экрана $L$:
$d + f = L = 3 \text{ м}$

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется как отношение расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы:
$\Gamma = \frac{f}{d}$

По условию $\Gamma = 5$, следовательно:
$\frac{f}{d} = 5 \implies f = 5d$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $d + f = 3$
2) $f = 5d$

Подставим второе уравнение в первое:
$d + 5d = 3$
$6d = 3$
$d = \frac{3}{6} = 0.5 \text{ м}$

Теперь найдем расстояние от линзы до экрана $f$:
$f = 5d = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ м}$

Проверим: $d + f = 0.5 \text{ м} + 2.5 \text{ м} = 3 \text{ м}$, что соответствует условию задачи.
Таким образом, линзу следует поместить на расстоянии 0,5 м от предмета.

Для нахождения оптической силы линзы $D$ воспользуемся формулой тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
где $F$ — фокусное расстояние линзы.

Оптическая сила $D$ связана с фокусным расстоянием соотношением $D = \frac{1}{F}$. Следовательно:
$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

Подставим найденные значения $d$ и $f$:
$D = \frac{1}{0.5} + \frac{1}{2.5} = 2 + 0.4 = 2.4 \text{ дптр}$

Ответ: для получения увеличенного в 5 раз изображения необходимо взять собирающую линзу с оптической силой $2.4 \text{ дптр}$ и поместить её на расстоянии $0.5 \text{ м}$ от предмета.

1075. Каков ход лучей света 1 после преломления в лин-зах (рис. 117)? Каков ход лучей света 2 до преломления в линзах?

Рис. 117

Для решения этой задачи воспользуемся основными правилами хода лучей в тонких линзах. Главная оптическая ось — это горизонтальная линия, проходящая через центр линзы. Фокус линзы обозначается буквой F.

а) На рисунке а) изображена собирающая линза (обозначается стрелками на концах, направленными наружу).

Для луча 1: луч света, проходящий через передний фокус собирающей линзы (точка F слева от линзы), после преломления в линзе распространяется параллельно главной оптической оси.

Для луча 2: нам дан преломленный луч 2', который проходит через задний фокус линзы (точка F справа от линзы). Согласно правилам, луч, который после преломления в собирающей линзе проходит через ее задний фокус, до преломления был параллелен главной оптической оси.

Ответ: луч 1 после преломления пойдет параллельно главной оптической оси. Луч 2 до преломления шел параллельно главной оптической оси.

б) На рисунке б) изображена рассеивающая линза (обозначается стрелками на концах, направленными внутрь).

Для луча 1: луч света, направленный на задний фокус рассеивающей линзы (точка F справа от линзы), после преломления в линзе распространяется параллельно главной оптической оси.

Для луча 2: нам дан преломленный луч 2'. Если его продолжить в обратном направлении, то это продолжение пройдет через передний (мнимый) фокус линзы (точка F слева от линзы). Согласно правилам, если продолжение преломленного луча проходит через передний фокус рассеивающей линзы, то падающий на линзу луч был параллелен главной оптической оси.

Ответ: луч 1 после преломления пойдет параллельно главной оптической оси. Луч 2 до преломления шел параллельно главной оптической оси.

1076. На рисунке 118 показаны положение линзы, главной оптической оси, светящейся точки $S$ и её изображения $S'$. Найти построением положения главных фокусов линзы.

Рис. 118

Для определения положения главных фокусов линзы, зная положение светящейся точки $S$ на главной оптической оси и её изображения $S'$, необходимо выполнить геометрическое построение, основанное на свойствах хода лучей через линзу.

Построение основано на том факте, что пучок параллельных лучей, падающих на линзу, после преломления собирается в одной точке, лежащей в фокальной плоскости. И наоборот, лучи, вышедшие из одной точки в фокальной плоскости, после преломления в линзе становятся параллельными. Для построения мы используем так называемый "характерный" луч, проходящий через оптический центр линзы, так как такой луч не меняет своего направления.

1. Построение заднего главного фокуса $F'$

1. Выберем на плоскости линзы произвольную точку $A$ (не на главной оптической оси) и проведем через нее падающий луч из источника $S$. Получим луч $SA$.
2. Поскольку $S'$ является изображением точки $S$, то луч $SA$ после преломления в линзе пойдет по прямой, проходящей через точку $S'$. Проведем преломленный луч $AS'$.
3. Теперь через оптический центр линзы $O$ проведем вспомогательный луч, параллельный падающему лучу $SA$. Согласно свойствам линзы, этот луч проходит через нее без преломления.
4. Падающие лучи $SA$ и вспомогательный луч были параллельны, следовательно, после преломления они должны пересечься в одной точке, лежащей в задней фокальной плоскости. Найдем точку пересечения преломленного луча $AS'$ и вспомогательного луча. Обозначим эту точку $P$.
5. Опустим из точки $P$ перпендикуляр на главную оптическую ось. Точка, в которой перпендикуляр пересекает ось, и является задним главным фокусом $F'$.

2. Построение переднего главного фокуса $F$

1. Используем ту же пару сопряженных лучей: падающий $SA$ и преломленный $AS'$.
2. Через оптический центр линзы $O$ проведем вспомогательный луч, параллельный преломленному лучу $AS'$. Этот луч проходит через линзу без изменения направления.
3. Лучи, которые после преломления в линзе становятся параллельными (в нашем случае это луч $AS'$ и вспомогательный луч), должны были выйти из одной точки, лежащей в передней фокальной плоскости.
4. Найдем точку пересечения падающего луча $SA$ и вспомогательного луча. Обозначим эту точку пересечения $Q$.
5. Опустим из точки $Q$ перпендикуляр на главную оптическую ось. Основание этого перпендикуляра и есть передний главный фокус $F$.

Результат построений показан на рисунке ниже. Синим цветом показано построение заднего фокуса $F'$, а красным — переднего фокуса $F$.

Ответ: Положения главных фокусов $F$ и $F'$ определяются с помощью графических построений, как показано на рисунке.