Номер 1073, страница 142 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1073. Расстояние от предмета до экрана 90 см. Где надо поместить между ними линзу с фокусным расстоянием 20 см, чтобы получить на экране отчётливое изображение предмета?

Дано:

Расстояние от предмета до экрана $L = 90$ см
Фокусное расстояние линзы $F = 20$ см

Перевод в систему СИ:
$L = 0.9$ м
$F = 0.2$ м

Найти:

$d$ — расстояние от предмета до линзы.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы. Чтобы на экране получилось отчётливое изображение, предмет, линза и экран должны быть расположены так, чтобы выполнялось соотношение:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения (экрана).

Из условия задачи известно, что общее расстояние от предмета до экрана $L$ составляет 90 см. Это расстояние равно сумме расстояния от предмета до линзы и от линзы до экрана:

$L = d + f$

Из этого соотношения выразим расстояние $f$:

$f = L - d = 90 - d$ (расчеты будем вести в сантиметрах)

Теперь подставим это выражение для $f$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{L - d}$

Подставим числовые значения $F=20$ см и $L=90$ см:

$\frac{1}{20} = \frac{1}{d} + \frac{1}{90 - d}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $d(90 - d)$:

$\frac{1}{20} = \frac{(90 - d) + d}{d(90 - d)}$

$\frac{1}{20} = \frac{90}{90d - d^2}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$1 \cdot (90d - d^2) = 20 \cdot 90$

$90d - d^2 = 1800$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$d^2 - 90d + 1800 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1800 = 8100 - 7200 = 900$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что существует два положения линзы, при которых на экране будет чёткое изображение.

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \frac{-(-90) + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{90 + 30}{2} = \frac{120}{2} = 60$ см.

$d_2 = \frac{-(-90) - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{90 - 30}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Оба решения физически осмысленны:

1. Если линзу поместить на расстоянии $d_1 = 60$ см от предмета, то расстояние до экрана будет $f_1 = 90 - 60 = 30$ см.

2. Если линзу поместить на расстоянии $d_2 = 30$ см от предмета, то расстояние до экрана будет $f_2 = 90 - 30 = 60$ см.

Ответ: чтобы получить на экране отчётливое изображение предмета, линзу необходимо поместить на расстоянии 30 см или 60 см от предмета.