Номер 1069, страница 141 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1069. На каком расстоянии перед рассеивающей линзой с оптической силой –3 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось посередине между линзой и её мнимым фокусом?

Дано:

Оптическая сила рассеивающей линзы $D = -3$ дптр.
Расстояние от линзы до изображения $|f|$ равно половине модуля фокусного расстояния $|F|$: $|f| = \frac{|F|}{2}$.

Найти:

Расстояние от предмета до линзы $d$.

Решение:

Формула тонкой линзы связывает оптическую силу $D$, расстояние от предмета до линзы $d$ и расстояние от линзы до изображения $f$: $$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$$ Для рассеивающей линзы оптическая сила $D$ и фокусное расстояние $F$ являются отрицательными величинами. Изображение, которое дает рассеивающая линза, всегда мнимое, поэтому расстояние до него $f$ в формуле также принимается со знаком минус.

Сначала найдем фокусное расстояние линзы $F$. Оно связано с оптической силой соотношением: $$F = \frac{1}{D}$$ Подставив значение $D$, получим: $$F = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \text{ м}$$ Модуль фокусного расстояния равен $|F| = \frac{1}{3}$ м.

Далее определим расстояние до изображения $f$. По условию задачи, мнимое изображение находится посередине между линзой и её мнимым фокусом. Это означает, что расстояние от линзы до изображения по модулю равно половине модуля фокусного расстояния: $$|f| = \frac{|F|}{2} = \frac{1/3 \text{ м}}{2} = \frac{1}{6} \text{ м}$$ Поскольку изображение мнимое (как и фокус рассеивающей линзы), его координата в формуле тонкой линзы будет отрицательной. Таким образом, $f = -\frac{1}{6}$ м.

Теперь, зная $D$ и $f$, мы можем найти искомое расстояние до предмета $d$ из формулы тонкой линзы. Для этого выразим из формулы величину $\frac{1}{d}$: $$\frac{1}{d} = D - \frac{1}{f}$$ Подставим числовые значения: $$\frac{1}{d} = -3 \text{ дптр} - \frac{1}{-1/6 \text{ м}} = -3 - (-6) = -3 + 6 = 3 \text{ м}^{-1}$$ Отсюда находим расстояние $d$: $$d = \frac{1}{3} \text{ м}$$ Это расстояние можно также выразить в сантиметрах: $d = \frac{1}{3} \text{ м} \approx 33.3 \text{ см}$.

Ответ: предмет надо поместить на расстоянии $\frac{1}{3}$ м (или примерно 33,3 см) перед рассеивающей линзой.