Номер 1065, страница 141 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1065. Предмет расположен в 25 см от собирающей линзы с радиусами кривизны поверхностей 20 см. Определить показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, если действительное изображение предмета получилось на расстоянии 1 м от неё.

Дано:

Расстояние от предмета до линзы $d = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$
Радиус кривизны поверхностей линзы $R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
Расстояние от линзы до изображения $f = 1 \text{ м}$

Найти:

Показатель преломления стекла $n$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами оптики: формулой тонкой линзы и формулой изготовителя линзы (формулой шлифовщика).

1. Сначала найдем фокусное расстояние линзы $F$, используя формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
где $d$ – расстояние от предмета до линзы, а $f$ – расстояние от линзы до изображения. Так как изображение действительное, перед $1/f$ ставится знак «+».

Подставим известные значения в систему СИ:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{0.25 \text{ м}} + \frac{1}{1 \text{ м}} = 4 \text{ м}^{-1} + 1 \text{ м}^{-1} = 5 \text{ м}^{-1}$
Отсюда фокусное расстояние линзы:
$F = \frac{1}{5} \text{ м} = 0.2 \text{ м}$

2. Теперь воспользуемся формулой изготовителя линзы, чтобы найти показатель преломления $n$:
$\frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$
В условии сказано, что линза собирающая и радиусы кривизны ее поверхностей равны. Это означает, что линза двояковыпуклая. Согласно правилу знаков, для двояковыпуклой линзы радиус первой (по ходу луча) поверхности $R_1$ положителен, а радиус второй поверхности $R_2$ отрицателен. Таким образом, $R_1 = R = 0.2 \text{ м}$ и $R_2 = -R = -0.2 \text{ м}$.

Подставим эти значения в формулу. Обратите внимание, что в формуле часто используется разность, но с учетом знака $R_2$ мы получим сумму:
$\frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = (n - 1) \frac{2}{R}$

Выразим из этой формулы показатель преломления $n$:
$n - 1 = \frac{R}{2F}$
$n = 1 + \frac{R}{2F}$

Подставим численные значения $F$ и $R$:
$n = 1 + \frac{0.2 \text{ м}}{2 \cdot 0.2 \text{ м}} = 1 + \frac{0.2}{0.4} = 1 + 0.5 = 1.5$

Ответ: показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, равен 1.5.