Номер 1061, страница 140 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1061. Каковы радиусы кривизны поверхностей выпукло-вогнутой собирающей линзы с оптической силой 5 дптр, если один из них больше другого в 2 раза?

Дано:

Оптическая сила линзы, $D = 5$ дптр

Тип линзы: выпукло-вогнутая, собирающая

Соотношение радиусов: $|R_2| = 2|R_1|$

Показатель преломления материала линзы (стекло), $n = 1.5$ (стандартное значение)

Показатель преломления окружающей среды (воздух), $n_0 = 1$

Найти:

$R_1$ — ?

$R_2$ — ?

Решение:

Воспользуемся формулой для оптической силы тонкой линзы (формула линзмейкера):

$D = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$

Здесь $D$ — оптическая сила, $n$ — показатель преломления материала линзы относительно окружающей среды, $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны поверхностей.

Применим правило знаков: свет распространяется слева направо; радиус кривизны считается положительным, если центр кривизны поверхности лежит справа от нее (по ходу луча).

Линза является выпукло-вогнутой и собирающей (положительный мениск). У такой линзы обе сферические поверхности обращены кривизной в одну сторону. Чтобы линза была собирающей ($D > 0$), выпуклая поверхность (на которую свет падает первой) должна иметь меньший радиус кривизны, чем вогнутая. Если обе поверхности обращены вправо, то, согласно правилу знаков, оба радиуса $R_1$ и $R_2$ положительны. Для того чтобы линза была собирающей, должно выполняться условие $R_1 < R_2$.

По условию задачи, один радиус в 2 раза больше другого. Исходя из нашего вывода ($R_1 < R_2$), мы можем записать:

$R_2 = 2R_1$

Подставим это соотношение в формулу линзмейкера:

$D = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{2R_1} \right)$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{1}{R_1} - \frac{1}{2R_1} = \frac{2 - 1}{2R_1} = \frac{1}{2R_1}$

Теперь формула принимает вид:

$D = \frac{n - 1}{2R_1}$

Выразим отсюда меньший радиус $R_1$:

$R_1 = \frac{n - 1}{2D}$

Подставим числовые значения:

$R_1 = \frac{1.5 - 1}{2 \cdot 5 \text{ м}^{-1}} = \frac{0.5}{10 \text{ м}^{-1}} = 0.05 \text{ м}$

Теперь найдем второй, больший радиус $R_2$:

$R_2 = 2R_1 = 2 \cdot 0.05 \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Таким образом, радиусы кривизны поверхностей линзы равны 0.05 м (5 см) и 0.1 м (10 см).

Ответ: радиусы кривизны поверхностей линзы равны 0.05 м и 0.1 м.