Номер 1057, страница 140 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1057. При каком наименьшем значении преломляющего угла A стеклянной призмы BAC (рис. 115) луч SM будет претерпевать полное отражение?

Рис. 115

Дано

Найти:

Наименьший преломляющий угол $A_{min}$

Решение

1. Рассмотрим падение луча $SM$ на грань $AB$ призмы. Так как луч падает перпендикулярно этой грани, угол падения $\alpha_1 = 0^\circ$. Согласно закону преломления света Снеллиуса:

$n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \beta_1$

где $\beta_1$ — угол преломления. Поскольку $\sin 0^\circ = 0$, то и $\sin \beta_1 = 0$, следовательно, $\beta_1 = 0^\circ$. Это означает, что луч света входит в призму, не изменяя своего направления, и распространяется перпендикулярно грани $AB$.

2. Рассмотрим геометрию призмы. Призма $BAC$ — это прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $B$. Так как луч $NM$ внутри призмы перпендикулярен катету $AB$, а основание $BC$ также перпендикулярно катету $AB$, то луч $NM$ параллелен основанию $BC$ ($NM \parallel BC$).

3. Луч $NM$ падает на грань $AC$ в точке $M$. Найдем угол падения $\alpha_2$ на эту грань. Угол падения — это угол между лучом $NM$ и перпендикуляром (нормалью), восстановленным к грани $AC$ в точке $M$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Так как $\angle B = 90^\circ$, то $\angle A + \angle C = 90^\circ$. Из-за того, что $NM \parallel BC$, угол между лучом $NM$ и гранью $AC$ равен углу $\angle C$ (как соответственные углы при параллельных прямых $NM$, $BC$ и секущей $AC$, если продлить $NM$). Нормаль к грани $AC$ образует с этой гранью угол $90^\circ$. Следовательно, угол падения $\alpha_2$ и угол $\angle C$ в сумме дают $90^\circ$:

$\alpha_2 + \angle C = 90^\circ$

Из соотношения углов в треугольнике $ABC$ выразим $\angle C = 90^\circ - \angle A$. Подставим это в предыдущее уравнение:

$\alpha_2 + (90^\circ - \angle A) = 90^\circ$

$\alpha_2 = \angle A$

Таким образом, угол падения луча на грань $AC$ равен преломляющему углу призмы $A$.

4. Условием полного внутреннего отражения является то, что угол падения луча на границу раздела двух сред должен быть больше или равен предельному (критическому) углу полного отражения $\alpha_{пр}$:

$\alpha_2 \ge \alpha_{пр}$

Предельный угол определяется соотношением:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{n_1}{n_2}$

где $n_2$ — показатель преломления среды, из которой идет луч (стекло), а $n_1$ — показатель преломления среды, в которую он должен выйти (воздух).

5. Нас интересует наименьшее значение угла $A$, при котором будет наблюдаться полное отражение. Это соответствует предельному случаю, когда угол падения равен критическому углу:

$A_{min} = \alpha_2 = \alpha_{пр}$

Следовательно:

$\sin A_{min} = \sin \alpha_{пр} = \frac{n_1}{n_2}$

Подставим числовые значения:

$\sin A_{min} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$

Отсюда находим наименьший угол $A$:

$A_{min} = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 41.8^\circ$

Ответ: Наименьший преломляющий угол призмы, при котором луч будет претерпевать полное отражение, равен $A_{min} = \arcsin(2/3) \approx 41.8^\circ$.