Номер 1051, страница 139 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1051. Найти смещение $a$ луча света, проходящего через прозрачную пластину с параллельными гранями, в воздухе, если угол падения луча равен $\alpha$, угол преломления $\gamma$, а толщина пластины $d$. Может ли луч, пройдя через пластину с параллельными гранями, сместиться так, чтобы расстояние между ним и его первоначальным направлением было больше толщины пластины?

Дано:

Прозрачная пластина с параллельными гранями
Угол падения луча: $α$
Угол преломления луча: $γ$
Толщина пластины: $d$

Найти:

Смещение луча $a$;
Проверить, возможно ли условие $a > d$.

Решение:

Найти смещение a луча света, проходящего через прозрачную пластину с параллельными гранями, в воздухе, если угол падения луча равен α, угол преломления γ, а толщина пластины d.

Когда луч света проходит через плоскопараллельную пластину, он преломляется на обеих границах раздела сред. В результате вышедший из пластины луч оказывается параллелен падающему лучу, но смещен относительно его первоначального направления. Это смещение $a$ и нужно найти.

Рассмотрим геометрический путь луча. Пусть луч падает на первую грань пластины в точке $A$ и выходит из второй грани в точке $B$. Путь луча внутри пластины — это отрезок $AB$. Толщина пластины $d$ — это перпендикулярное расстояние между гранями. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $AB$ (гипотенуза), перпендикуляром к граням длиной $d$ (катет) и углом преломления $γ$ между ними. Из этого треугольника можно выразить длину пути луча внутри пластины: $cos(γ) = \frac{d}{AB}$ Следовательно, $AB = \frac{d}{cos(γ)}$.

Смещение $a$ — это катет в другом прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является отрезок $AB$. Угол, противолежащий катету $a$, равен разности между углом падения и углом преломления, то есть $(α - γ)$. Тогда по определению синуса: $sin(α - γ) = \frac{a}{AB}$ Отсюда $a = AB \cdot sin(α - γ)$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для $AB$ в эту формулу: $a = \frac{d}{cos(γ)} \cdot sin(α - γ)$

Ответ: Смещение луча света равно $a = d \frac{sin(α - γ)}{cos(γ)}$.

Может ли луч, пройдя через пластину с параллельными гранями, сместиться так, чтобы расстояние между ним и его первоначальным направлением было больше толщины пластины?

Для ответа на этот вопрос необходимо проверить, может ли выполняться неравенство $a > d$. Используем полученную ранее формулу для смещения $a$: $d \frac{sin(α - γ)}{cos(γ)} > d$

Так как толщина пластины $d$ является положительной величиной, мы можем разделить обе части неравенства на $d$, не меняя его знака: $\frac{sin(α - γ)}{cos(γ)} > 1$

При прохождении света из оптически менее плотной среды (воздух) в более плотную (пластина) угол преломления $γ$ всегда меньше угла падения $α$. Оба угла находятся в диапазоне от $0°$ до $90°$, поэтому $cos(γ)$ всегда положителен. Умножим обе части неравенства на $cos(γ)$: $sin(α - γ) > cos(γ)$

Воспользуемся формулой приведения $cos(γ) = sin(90° - γ)$. Неравенство примет вид: $sin(α - γ) > sin(90° - γ)$

На интервале от $0°$ до $90°$ функция $y = sin(x)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, из неравенства для синусов следует неравенство для их аргументов: $α - γ > 90° - γ$

Прибавив $γ$ к обеим частям неравенства, получаем: $α > 90°$

Полученное условие физически невыполнимо, поскольку угол падения по определению не может превышать $90°$. Предельный случай $α \to 90°$ (скользящее падение) соответствует максимальному смещению, которое стремится к $d$. Таким образом, смещение луча никогда не может быть больше толщины пластины.

Ответ: Нет, смещение луча, прошедшего через пластину с параллельными гранями, не может быть больше толщины пластины ($a < d$).