Номер 1044, страница 138 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1044. Найти угол падения луча на поверхность воды, если известно, что он больше угла преломления на $10^\circ$.

Дано:

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)
$n_2 = 1.33$ (показатель преломления воды)
$\alpha - \beta = 10^\circ$, где $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

Найти:

$\alpha$ — ?

Решение:

Для решения данной задачи мы будем использовать закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса (или Снелля). Он связывает углы падения и преломления с показателями преломления двух сред:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Здесь $n_1$ — показатель преломления первой среды (в данном случае, воздух, $n_1 \approx 1$), а $n_2$ — показатель преломления второй среды (вода, $n_2 \approx 1.33$). Угол $\alpha$ — это угол падения, а $\beta$ — угол преломления.

Из условия задачи нам известно, что угол падения на $10^\circ$ больше угла преломления:

$\alpha = \beta + 10^\circ$

Подставим это соотношение в закон Снеллиуса, чтобы исключить одну из неизвестных. Удобнее выразить $\alpha$ и подставить его в формулу:

$n_1 \sin(\beta + 10^\circ) = n_2 \sin \beta$

Теперь подставим числовые значения показателей преломления:

$1 \cdot \sin(\beta + 10^\circ) = 1.33 \sin \beta$

Для дальнейшего решения воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

$\sin \beta \cos 10^\circ + \cos \beta \sin 10^\circ = 1.33 \sin \beta$

Сгруппируем члены, содержащие $\sin \beta$:

$\cos \beta \sin 10^\circ = 1.33 \sin \beta - \sin \beta \cos 10^\circ$

$\cos \beta \sin 10^\circ = \sin \beta (1.33 - \cos 10^\circ)$

Чтобы найти угол $\beta$, преобразуем уравнение. Разделим обе части на $\cos \beta$ (это допустимо, так как $\beta$ не может быть $90^\circ$, иначе преломления не будет), чтобы получить тангенс угла $\beta$:

$\sin 10^\circ = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} (1.33 - \cos 10^\circ)$

$\sin 10^\circ = \tan \beta (1.33 - \cos 10^\circ)$

Отсюда выражаем $\tan \beta$:

$\tan \beta = \frac{\sin 10^\circ}{1.33 - \cos 10^\circ}$

Используем табличные или калькуляторные значения для $\sin 10^\circ$ и $\cos 10^\circ$: $\sin 10^\circ \approx 0.1736$
$\cos 10^\circ \approx 0.9848$

Подставляем эти значения в формулу:

$\tan \beta \approx \frac{0.1736}{1.33 - 0.9848} = \frac{0.1736}{0.3452} \approx 0.5029$

Теперь найдем сам угол преломления $\beta$, вычислив арктангенс от полученного значения:

$\beta = \arctan(0.5029) \approx 26.7^\circ$

Наконец, находим искомый угол падения $\alpha$, который на $10^\circ$ больше:

$\alpha = \beta + 10^\circ \approx 26.7^\circ + 10^\circ = 36.7^\circ$

Ответ: угол падения луча на поверхность воды составляет приблизительно $36.7^\circ$.