Страница 138 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1037. Водолазу, находящемуся под водой, солнечные лучи кажутся падающими под углом $60^\circ$ к поверхности воды. Какова угловая высота солнца над горизонтом?

Дано:

Угол, под которым лучи кажутся падающими к поверхности воды, $\beta' = 60^\circ$
Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$
Показатель преломления воды, $n_2 \approx 1.33$

Найти:

Угловая высота солнца над горизонтом, $\alpha'=?$

Решение:

Это явление описывается законом преломления света (законом Снеллиуса). Солнечный луч, переходя из одной среды (воздух) в другую (вода), изменяет свое направление. Важно помнить, что все углы в законе преломления отсчитываются от нормали (перпендикуляра), проведенной к поверхности раздела сред в точке падения луча.

В задаче дан угол, под которым водолаз видит лучи, относительно поверхности воды. Обозначим этот угол $\beta' = 60^\circ$. Угол преломления $\beta$, который используется в формуле, — это угол между преломленным лучом и нормалью. Он связан с углом $\beta'$ следующим соотношением:

$\beta = 90^\circ - \beta'$

Найдем угол преломления $\beta$:

$\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Запишем закон Снеллиуса:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Здесь $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления воздуха и воды соответственно, $\alpha$ — угол падения (угол между падающим лучом и нормалью в воздухе), $\beta$ — угол преломления (угол между преломленным лучом и нормалью в воде).

Из этой формулы мы можем найти угол падения $\alpha$. Выразим $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{n_2}{n_1} \sin \beta$

Подставим известные значения:

$\sin \alpha = \frac{1.33}{1} \cdot \sin(30^\circ) = 1.33 \cdot 0.5 = 0.665$

Теперь найдем сам угол падения $\alpha$:

$\alpha = \arcsin(0.665) \approx 41.7^\circ$

Искомая угловая высота солнца над горизонтом ($\alpha'$) — это угол между падающим лучом и поверхностью воды (горизонтом). Этот угол является дополнением угла падения $\alpha$ до $90^\circ$:

$\alpha' = 90^\circ - \alpha$

Вычислим $\alpha'$:

$\alpha' = 90^\circ - 41.7^\circ = 48.3^\circ$

Ответ: угловая высота солнца над горизонтом составляет примерно $48.3^\circ$.

1038. Луч света падает на поверхность воды под углом $40^\circ$. Под каким углом должен упасть луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления оказался таким же?

Дано:

Угол падения луча на поверхность воды: $\alpha_1 = 40^\circ$
Показатель преломления воздуха (среда, из которой падает луч): $n_1 \approx 1.0$
Показатель преломления воды (справочное значение): $n_2 \approx 1.33$
Показатель преломления стекла (справочное значение): $n_3 \approx 1.5$
Угол преломления в воде $\gamma_1$ равен углу преломления в стекле $\gamma_2$. Обозначим этот угол как $\gamma$.

Найти:

Угол падения луча на поверхность стекла: $\alpha_2$

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса. Он связывает углы падения и преломления с показателями преломления двух сред:

$n_a \sin\alpha = n_b \sin\gamma$

где $n_a$ и $n_b$ — абсолютные показатели преломления первой и второй сред соответственно, $\alpha$ — угол падения, $\gamma$ — угол преломления.

Сначала рассмотрим преломление луча на границе воздух-вода. Запишем для этого случая закон Снеллиуса:

$n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\gamma$

Из этого уравнения можно выразить синус угла преломления $\gamma$:

$\sin\gamma = \frac{n_1 \sin\alpha_1}{n_2}$

Теперь рассмотрим второй случай: преломление луча на границе воздух-стекло. По условию, угол преломления $\gamma$ здесь тот же самый. Искомый угол падения обозначим как $\alpha_2$. Закон Снеллиуса для этого случая будет выглядеть так:

$n_1 \sin\alpha_2 = n_3 \sin\gamma$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $\sin\gamma$, которое мы получили из первого случая:

$n_1 \sin\alpha_2 = n_3 \left( \frac{n_1 \sin\alpha_1}{n_2} \right)$

Мы можем сократить $n_1$ (показатель преломления воздуха) в обеих частях уравнения:

$\sin\alpha_2 = \frac{n_3}{n_2} \sin\alpha_1$

Теперь подставим известные числовые значения в полученную формулу. Значение $\sin 40^\circ \approx 0.6428$.

$\sin\alpha_2 = \frac{1.5}{1.33} \cdot \sin 40^\circ \approx 1.1278 \cdot 0.6428 \approx 0.7250$

Чтобы найти сам угол $\alpha_2$, вычислим арксинус от полученного значения:

$\alpha_2 = \arcsin(0.7250) \approx 46.5^\circ$

Ответ: чтобы угол преломления оказался таким же, луч должен упасть на поверхность стекла под углом примерно $46.5^\circ$.

1039. В каких случаях угол падения равен углу преломления?

Решение

Соотношение между углом падения и углом преломления света на границе раздела двух сред определяется законом преломления света (законом Снеллиуса):

$$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$$

где $n_1$ и $n_2$ — абсолютные показатели преломления первой и второй сред соответственно, $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления. Углы отсчитываются от перпендикуляра (нормали), восстановленного в точке падения луча к границе раздела сред.

Нам необходимо рассмотреть случаи, когда угол падения равен углу преломления, то есть $\alpha = \beta$.

Подставим это равенство в закон Снеллиуса:

$$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \alpha$$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$n_1 \sin \alpha - n_2 \sin \alpha = 0$$

Вынесем $\sin \alpha$ за скобки:

$$(n_1 - n_2) \sin \alpha = 0$$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Проанализируем оба возможных случая.

Случай 1: Равенство показателей преломления сред

Равенство $(n_1 - n_2) \sin \alpha = 0$ выполняется, если первый множитель равен нулю:

$$n_1 - n_2 = 0 \implies n_1 = n_2$$

Это означает, что свет переходит из одной среды в другую с таким же показателем преломления. В этом случае среды являются оптически однородными по отношению друг к другу, и луч света проходит через границу раздела, не изменяя своего направления, то есть не преломляясь. При этом равенство $\alpha = \beta$ будет выполняться для любого угла падения.

Ответ: Угол падения равен углу преломления, если свет распространяется через границу раздела двух сред с одинаковыми показателями преломления ($n_1 = n_2$).

Случай 2: Падение луча по нормали

Равенство $(n_1 - n_2) \sin \alpha = 0$ также выполняется, если второй множитель равен нулю:

$$\sin \alpha = 0$$

Это условие истинно при $\alpha = 0^\circ$. Угол падения, равный нулю, означает, что луч света падает на границу раздела двух сред перпендикулярно (по нормали). Подставив $\alpha = 0^\circ$ в закон Снеллиуса, получим:

$$n_1 \sin(0^\circ) = n_2 \sin \beta$$

$$n_1 \cdot 0 = n_2 \sin \beta$$

$$0 = n_2 \sin \beta$$

Так как показатель преломления любой среды $n_2$ не равен нулю (для прозрачных сред $n \ge 1$), то для выполнения равенства необходимо, чтобы $\sin \beta = 0$, что соответствует углу преломления $\beta = 0^\circ$. Таким образом, $\alpha = \beta = 0^\circ$.

Ответ: Угол падения равен углу преломления (оба равны нулю), если луч света падает перпендикулярно границе раздела двух сред.

1040. Луч света переходит из воды в стекло. Угол падения равен $35^{\circ}$. Найти угол преломления.

Дано:

Первая среда - вода

Вторая среда - стекло

Угол падения $\alpha = 35^\circ$

Показатель преломления воды $n_1 \approx 1.33$ (справочное значение)

Показатель преломления стекла $n_2 \approx 1.5$ (справочное значение)

Найти:

Угол преломления $\beta$

Решение:

Для нахождения угла преломления воспользуемся законом преломления света, также известным как закон Снеллиуса. Закон связывает углы падения и преломления с показателями преломления двух сред.

Формула закона Снеллиуса:

$$ n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta) $$

где $n_1$ — показатель преломления первой среды (воды), $n_2$ — показатель преломления второй среды (стекла), $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — искомый угол преломления.

Чтобы найти угол преломления $\beta$, выразим из формулы $\sin(\beta)$:

$$ \sin(\beta) = \frac{n_1 \sin(\alpha)}{n_2} $$

Теперь подставим числовые значения в полученное выражение. Значение синуса угла $35^\circ$ составляет приблизительно $0.5736$.

$$ \sin(\beta) = \frac{1.33 \cdot \sin(35^\circ)}{1.5} \approx \frac{1.33 \cdot 0.5736}{1.5} $$

Проведем вычисления:

$$ \sin(\beta) \approx \frac{0.762888}{1.5} \approx 0.5086 $$

Чтобы найти сам угол $\beta$, необходимо вычислить арксинус от полученного значения:

$$ \beta = \arcsin(0.5086) $$

$$ \beta \approx 30.57^\circ $$

Округлим результат до десятых долей градуса.

$$ \beta \approx 30.6^\circ $$

Ответ: угол преломления равен примерно $30.6^\circ$.

1041. Вода налита в аквариум прямоугольной формы. Угол падения луча света на стеклянную стенку 78,1°. Найти угол преломления луча в воде при выходе из стекла. Зависит ли ответ задачи от:
а) толщины стенок;
б) показателя преломления данного сорта стекла?

Дано:

Угол падения луча света на границу воздух-стекло: $\alpha = 78,1^\circ$
Показатель преломления воздуха (начальная среда): $n_1 \approx 1,00$
Показатель преломления воды (конечная среда): $n_3 \approx 1,33$ (справочное значение)
Стенки аквариума имеют форму плоскопараллельной пластины.

Найти:

Угол преломления луча в воде: $\gamma$
Зависимость ответа от: а) толщины стенок; б) показателя преломления стекла.

Решение:

Луч света проходит последовательно через три среды: воздух (среда 1), стекло (среда 2) и воду (среда 3). Преломление происходит на двух границах раздела: воздух-стекло и стекло-вода.

1. Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для первой границы (воздух-стекло):
$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$
Здесь $n_1$ - показатель преломления воздуха, $n_2$ - показатель преломления стекла, $\alpha$ - угол падения, $\beta$ - угол преломления в стекле.

2. Запишем закон преломления для второй границы (стекло-вода). Поскольку аквариум прямоугольный, его стенки представляют собой плоскопараллельную пластину. Это значит, что нормали к обеим поверхностям стенки параллельны. Следовательно, угол падения луча на вторую границу равен углу преломления на первой границе, то есть $\beta$. Обозначим искомый угол преломления в воде как $\gamma$. Тогда:
$n_2 \sin \beta = n_3 \sin \gamma$
Здесь $n_3$ - показатель преломления воды.

3. Объединим оба уравнения, так как левая часть второго уравнения ($n_2 \sin \beta$) равна правой части первого уравнения:

$n_1 \sin \alpha = n_3 \sin \gamma$

Из этого соотношения видно, что конечный угол преломления $\gamma$ определяется только показателями преломления начальной ($n_1$) и конечной ($n_3$) сред и начальным углом падения $\alpha$. Характеристики промежуточного слоя (показатель преломления стекла $n_2$ и его толщина) в итоговое уравнение не входят.

Выразим из формулы $\sin \gamma$ и проведем вычисления:

$\sin \gamma = \frac{n_1 \sin \alpha}{n_3}$

Подставляя значения, получаем:

$\sin \gamma = \frac{1,00 \cdot \sin(78,1^\circ)}{1,33} \approx \frac{0,9785}{1,33} \approx 0,7357$

$\gamma = \arcsin(0,7357) \approx 47,4^\circ$

Ответ: Угол преломления луча в воде при выходе из стекла составляет примерно $47,4^\circ$.

а) толщины стенок

Как было показано при выводе итоговой формулы $n_1 \sin \alpha = n_3 \sin \gamma$, толщина стеклянной стенки не влияет на конечный угол преломления луча. Толщина плоскопараллельной пластины влияет только на величину бокового смещения луча, но не на его направление после выхода из пластины.

Ответ: Нет, ответ задачи не зависит от толщины стенок.

б) показателя преломления данного сорта стекла

Из итоговой формулы $n_1 \sin \alpha = n_3 \sin \gamma$ видно, что показатель преломления стекла $n_2$ сократился при объединении уравнений для двух границ. Это означает, что для любой плоскопараллельной пластины, находящейся между двумя другими средами, итоговый угол преломления не зависит от оптических свойств материала этой пластины.

Ответ: Нет, ответ задачи не зависит от показателя преломления данного сорта стекла.

1042. Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения?

Дано:

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)
$n_2 = 1.5$ (показатель преломления стекла)
$\beta = \frac{\alpha}{2}$ (где $\alpha$ – угол падения, а $\beta$ – угол преломления).

Найти:

$\alpha$ - ?

Решение:

Для решения задачи используется закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса: $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$ Согласно условию задачи, угол преломления $\beta$ в два раза меньше угла падения $\alpha$, что можно записать как $\beta = \frac{\alpha}{2}$. Подставим это соотношение в закон Снеллиуса: $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin \alpha = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. $n_1 \cdot 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = n_2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ Если угол падения не равен нулю ($\alpha \neq 0$), то и $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0$. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$: $2 n_1 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = n_2$ Отсюда выражаем $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$: $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{n_2}{2n_1}$ Подставим числовые значения показателей преломления: $n_1 = 1$ для воздуха и $n_2 = 1.5$ для стекла. $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1.5}{2 \cdot 1} = 0.75$ Найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$, взяв арккосинус от полученного значения: $\frac{\alpha}{2} = \arccos(0.75) \approx 41.41^\circ$ Следовательно, искомый угол падения $\alpha$ равен: $\alpha = 2 \cdot \arccos(0.75) \approx 2 \cdot 41.41^\circ \approx 82.82^\circ$

Ответ: угол падения должен быть равен примерно $82.8^\circ$.

1043. Под каким углом должен упасть луч на стекло, чтобы преломлённый луч оказался перпендикулярным к отражённому?

Дано:

Луч света падает из первой среды (воздух) во вторую (стекло).
Показатель преломления воздуха: $n_1 \approx 1$.
Показатель преломления стекла: $n_2 \approx 1.5$ (стандартное значение, так как в условии не указано иное).
Условие: преломленный луч перпендикулярен отраженному лучу.

Найти:

Угол падения $\alpha$.

Решение:

При падении луча света на границу раздела двух сред происходит его отражение и преломление. Обозначим угол падения как $\alpha$, угол отражения как $\alpha'$, и угол преломления как $\beta$. Все углы отсчитываются от нормали (перпендикуляра), восстановленной в точке падения луча к границе раздела сред.

Согласно закону отражения света, угол отражения равен углу падения:
$\alpha' = \alpha$

По условию задачи, отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу. Это значит, что угол между ними составляет $90^\circ$. Так как отраженный и преломленный лучи лежат по разные стороны от нормали, то сумма угла отражения и угла преломления составляет $90^\circ$.
$\alpha' + \beta = 90^\circ$

Учитывая, что $\alpha' = \alpha$, мы можем переписать это соотношение как:
$\alpha + \beta = 90^\circ$
Из этого выражения найдем угол преломления:
$\beta = 90^\circ - \alpha$

Далее воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):
$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Подставим в это уравнение выражение для угла $\beta$:
$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin(90^\circ - \alpha)$

Применим тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$:
$n_1 \sin\alpha = n_2 \cos\alpha$

Чтобы найти угол $\alpha$, разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$ и на $n_1$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{n_2}{n_1}$
Поскольку $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем:
$\tan\alpha = \frac{n_2}{n_1}$

Это выражение известно как закон Брюстера, а угол $\alpha$ — угол Брюстера. Теперь мы можем подставить числовые значения и вычислить искомый угол.
$\tan\alpha = \frac{1.5}{1} = 1.5$

Угол падения $\alpha$ найдем, взяв арктангенс от этого значения:
$\alpha = \arctan(1.5) \approx 56.3^\circ$

Ответ: луч должен упасть на стекло под углом, тангенс которого равен относительному показателю преломления стекла (в данном случае, просто показателю преломления стекла, так как луч идет из воздуха). Этот угол называется углом Брюстера и для стекла с показателем преломления $1.5$ он составляет примерно $56.3^\circ$.

1044. Найти угол падения луча на поверхность воды, если известно, что он больше угла преломления на $10^\circ$.

Дано:

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)
$n_2 = 1.33$ (показатель преломления воды)
$\alpha - \beta = 10^\circ$, где $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

Найти:

$\alpha$ — ?

Решение:

Для решения данной задачи мы будем использовать закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса (или Снелля). Он связывает углы падения и преломления с показателями преломления двух сред:

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Здесь $n_1$ — показатель преломления первой среды (в данном случае, воздух, $n_1 \approx 1$), а $n_2$ — показатель преломления второй среды (вода, $n_2 \approx 1.33$). Угол $\alpha$ — это угол падения, а $\beta$ — угол преломления.

Из условия задачи нам известно, что угол падения на $10^\circ$ больше угла преломления:

$\alpha = \beta + 10^\circ$

Подставим это соотношение в закон Снеллиуса, чтобы исключить одну из неизвестных. Удобнее выразить $\alpha$ и подставить его в формулу:

$n_1 \sin(\beta + 10^\circ) = n_2 \sin \beta$

Теперь подставим числовые значения показателей преломления:

$1 \cdot \sin(\beta + 10^\circ) = 1.33 \sin \beta$

Для дальнейшего решения воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

$\sin \beta \cos 10^\circ + \cos \beta \sin 10^\circ = 1.33 \sin \beta$

Сгруппируем члены, содержащие $\sin \beta$:

$\cos \beta \sin 10^\circ = 1.33 \sin \beta - \sin \beta \cos 10^\circ$

$\cos \beta \sin 10^\circ = \sin \beta (1.33 - \cos 10^\circ)$

Чтобы найти угол $\beta$, преобразуем уравнение. Разделим обе части на $\cos \beta$ (это допустимо, так как $\beta$ не может быть $90^\circ$, иначе преломления не будет), чтобы получить тангенс угла $\beta$:

$\sin 10^\circ = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} (1.33 - \cos 10^\circ)$

$\sin 10^\circ = \tan \beta (1.33 - \cos 10^\circ)$

Отсюда выражаем $\tan \beta$:

$\tan \beta = \frac{\sin 10^\circ}{1.33 - \cos 10^\circ}$

Используем табличные или калькуляторные значения для $\sin 10^\circ$ и $\cos 10^\circ$: $\sin 10^\circ \approx 0.1736$
$\cos 10^\circ \approx 0.9848$

Подставляем эти значения в формулу:

$\tan \beta \approx \frac{0.1736}{1.33 - 0.9848} = \frac{0.1736}{0.3452} \approx 0.5029$

Теперь найдем сам угол преломления $\beta$, вычислив арктангенс от полученного значения:

$\beta = \arctan(0.5029) \approx 26.7^\circ$

Наконец, находим искомый угол падения $\alpha$, который на $10^\circ$ больше:

$\alpha = \beta + 10^\circ \approx 26.7^\circ + 10^\circ = 36.7^\circ$

Ответ: угол падения луча на поверхность воды составляет приблизительно $36.7^\circ$.

1045. Возьмите неглубокую чайную чашку, поставьте на стол и положите на её дно монету. После этого отойдите от стола так, чтобы край чашки закрывал монету. Теперь, не меняя положения головы, попросите товарища налить в чашку воды. Монета станет снова видна. Сделайте чертёж, объясните явление.

Объяснение явления и чертёж

Наблюдаемое явление — это преломление света на границе двух сред: воды и воздуха. Когда чашка пуста, свет от монеты распространяется прямолинейно. Если наблюдатель находится в положении, когда край чашки заслоняет монету, это означает, что прямая линия между глазом и монетой перекрыта. Когда в чашку наливают воду, световые лучи от монеты, прежде чем попасть в глаз, проходят из воды в воздух. Вода является оптически более плотной средой, чем воздух (её показатель преломления $n_{воды} \approx 1,33$ больше, чем показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1,0$).

При переходе из оптически более плотной среды в менее плотную луч света преломляется, то есть изменяет свое направление. Согласно закону преломления, $n_{воды} \cdot \sin \alpha = n_{воздуха} \cdot \sin \beta$, где $\alpha$ — угол падения, а $\beta$ — угол преломления. Так как $n_{воды} > n_{воздуха}$, то угол преломления $\beta$ будет больше угла падения $\alpha$. Это означает, что луч света, выходя из воды, отклоняется от перпендикуляра к поверхности. Этот излом траектории позволяет лучу света «обогнуть» край чашки и попасть в глаз наблюдателя. Нашему мозгу кажется, что лучи света пришли по прямой, поэтому мы видим мнимое изображение монеты, расположенное выше её реального положения. Кажется, что дно чашки «поднялось», и монета стала видна.

На чертеже необходимо показать поперечное сечение чашки, глаз наблюдателя и монету в двух ситуациях:

1. Чашка без воды: Прямой луч, идущий от монеты к глазу, перекрывается краем чашки. Монета не видна.
2. Чашка с водой: Луч света от монеты (точка М) доходит до поверхности воды, преломляется на границе вода-воздух (угол преломления больше угла падения) и попадает в глаз наблюдателя, пройдя над краем чашки. Мнимое изображение монеты (точка М') находится на продолжении преломленного луча (если его мысленно провести в обратном направлении в воду) и располагается выше реальной монеты М.

Ответ: Явление объясняется преломлением света на границе вода-воздух. Свет от монеты, выходя из воды (оптически более плотной среды) в воздух (менее плотную среду), преломляется и отклоняется таким образом, что «огибает» край чашки и попадает в глаз наблюдателя. Из-за этого наблюдатель видит мнимое изображение монеты, которое кажется расположенным выше, чем реальная монета.

1046. На дне пустого сосуда (рис. 111) лежит зеркало. Как будет изменяться ход отражённого луча по мере заполнения сосуда водой?

Ход отражённого луча будет изменяться по мере заполнения сосуда водой из-за явления преломления света. Рассмотрим процесс поэтапно.

1. В пустом сосуде

Когда сосуд пуст, световой луч распространяется в однородной среде (воздухе). Он падает на зеркало и отражается от него. Согласно закону отражения света, угол падения $α$ равен углу отражения $β$. Ход луча представляет собой простое отражение от зеркальной поверхности.

2. При заполнении сосуда водой

Когда в сосуде появляется вода, луч света, прежде чем отразиться, проходит через границу двух сред: воздух-вода. Это приводит к следующим эффектам:

• Преломление на входе в воду. При переходе из воздуха в воду (из оптически менее плотной среды в более плотную) луч света преломляется, то есть изменяет свое направление. Он отклоняется ближе к перпендикуляру (нормали), проведённому к поверхности воды. Угол преломления $γ$ будет меньше угла падения $α$, что описывается законом преломления Снеллиуса: $n_{воздуха} \cdot \sin{α} = n_{воды} \cdot \sin{γ}$.
• Отражение от зеркала. Преломлённый луч падает на зеркало под новым, меньшим углом $γ$ к нормали и отражается от него под таким же углом $γ$. Из-за преломления точка отражения луча на зеркале смещается по сравнению с первоначальным положением.
• Преломление на выходе из воды. После отражения луч движется вверх и выходит из воды в воздух. При переходе из воды в воздух (из оптически более плотной среды в менее плотную) он снова преломляется, но на этот раз отклоняется от нормали. По принципу обратимости световых лучей, угол, под которым луч выйдет в воздух, будет снова равен первоначальному углу падения $α$.

Вывод об изменении хода луча

В результате двух преломлений и одного отражения, итоговый отражённый луч, вышедший из воды, будет параллелен тому направлению, которое он имел бы в пустом сосуде. Однако из-за прохождения через слой воды его путь будет смещён в сторону. Величина этого бокового смещения прямо зависит от толщины слоя воды. Следовательно, по мере заполнения сосуда водой (увеличения её уровня) боковое смещение отражённого луча будет увеличиваться.

Ответ: По мере заполнения сосуда водой направление отражённого луча, выходящего из воды, не изменится (он будет параллелен отражённому лучу в пустом сосуде), но сам луч будет испытывать боковое смещение. Величина этого смещения будет увеличиваться с повышением уровня воды в сосуде.

1047. Мальчик старается попасть палкой в предмет, находящийся на дне ручья глубиной 40 см. На каком расстоянии от предмета палка попадёт в дно ручья, если мальчик, точно прицелившись, двигает палку под углом $45^\circ$ к поверхности воды?

Дано:

Глубина ручья: $h = 40 \text{ см}$
Угол, под которым мальчик двигает палку к поверхности воды: $\phi = 45^\circ$
Показатель преломления воды: $n_2 = 1.33$
Показатель преломления воздуха: $n_1 = 1$

$h = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$x$ — расстояние от предмета до места попадания палки.

Решение:

Данная задача описывает оптическое явление преломления света на границе двух сред: воды и воздуха. Мальчик видит предмет не в его истинном положении, а в кажущемся (мнимом), которое формируется из-за преломления световых лучей, идущих от предмета к глазу наблюдателя. Он целится палкой вдоль линии видимости, то есть вдоль преломленного луча. Однако палка, в отличие от света, не преломляется и движется в воде по прямой.

Угол, под которым мальчик направляет палку к поверхности воды, составляет $45^\circ$. В оптике расчеты ведутся с использованием углов по отношению к нормали (перпендикуляру к поверхности). Угол преломления $\beta$ (угол между преломленным лучом в воздухе и нормалью) будет равен:
$\beta = 90^\circ - \phi = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Для нахождения угла падения луча в воде $\alpha$ (угол между лучом и нормалью под водой) воспользуемся законом преломления света (законом Снеллиуса):
$n_2 \sin\alpha = n_1 \sin\beta$

Выразим и найдем синус угла падения $\alpha$:
$\sin\alpha = \frac{n_1 \sin\beta}{n_2} = \frac{1 \cdot \sin(45^\circ)}{1.33} \approx \frac{0.7071}{1.33} \approx 0.5317$

Теперь рассмотрим геометрию. Пусть палка входит в воду в некоторой точке на поверхности. Горизонтальное смещение точки, в которую палка попадет в дно, относительно точки входа в воду, равно $L_1$. Из прямоугольного треугольника с катетом $h$ и противолежащим углом $\beta$ получаем:
$\tan\beta = \frac{L_1}{h} \Rightarrow L_1 = h \cdot \tan\beta$

Горизонтальное смещение реального положения предмета относительно точки выхода луча света из воды равно $L_2$. Из прямоугольного треугольника с катетом $h$ и противолежащим углом $\alpha$ получаем:
$\tan\alpha = \frac{L_2}{h} \Rightarrow L_2 = h \cdot \tan\alpha$

Искомое расстояние $x$ (расстояние между предметом и местом удара палки) равно разности этих горизонтальных смещений:
$x = L_1 - L_2 = h \cdot \tan\beta - h \cdot \tan\alpha = h(\tan\beta - \tan\alpha)$

Найдем тангенс угла $\alpha$. Зная синус, найдем косинус через основное тригонометрическое тождество:
$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0.5317)^2} = \sqrt{1 - 0.2827} = \sqrt{0.7173} \approx 0.8469$
Теперь найдем тангенс:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \approx \frac{0.5317}{0.8469} \approx 0.6278$

Тангенс угла $\beta$ равен:
$\tan\beta = \tan(45^\circ) = 1$

Подставим все значения в формулу для $x$:
$x = 0.4 \text{ м} \cdot (1 - 0.6278) = 0.4 \text{ м} \cdot 0.3722 \approx 0.14888 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры и округлим:
$x \approx 14.9 \text{ см}$

Ответ: палка попадёт в дно ручья на расстоянии примерно 14.9 см от предмета.