Страница 133 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

992. Можно ли выбрать такую систему отсчёта, в которой индукция магнитного поля электронного пучка была бы равна нулю?

Да, такую систему отсчёта выбрать можно.

Электронный пучок представляет собой совокупность электрических зарядов (электронов), движущихся в одном направлении. В лабораторной системе отсчёта это упорядоченное движение зарядов эквивалентно электрическому току. Согласно законам электродинамики, любой электрический ток создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. Например, для длинного прямолинейного пучка индукция магнитного поля на расстоянии $r$ от него определяется по формуле: $$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$ где $I$ — сила тока, создаваемая пучком, а $\mu_0$ — магнитная постоянная. Пока ток $I$ не равен нулю, магнитное поле $B$ также будет существовать.

Чтобы индукция магнитного поля стала равной нулю, необходимо, чтобы исчезла причина его возникновения — электрический ток. Электрический ток — это направленное движение зарядов. Если мы перейдём в систему отсчёта, которая движется с той же скоростью и в том же направлении, что и электроны в пучке, то в этой новой системе отсчёта электроны будут покоиться.

Покоящиеся заряды не создают электрический ток ($I=0$), следовательно, в такой системе отсчёта они не будут создавать и магнитное поле ($B=0$). В этой системе отсчёта будет наблюдаться только электростатическое поле, создаваемое совокупностью неподвижных электронов.

Этот факт является одним из ключевых положений специальной теории относительности, которая утверждает, что электрическое и магнитное поля являются компонентами единого электромагнитного поля. Их значения зависят от выбора системы отсчёта наблюдателя.

Ответ: Да, можно. Для этого необходимо выбрать систему отсчёта, которая движется со скоростью электронного пучка. В этой системе отсчёта электроны будут неподвижны, а значит, не будут создавать электрический ток и, следовательно, магнитное поле.

993. Система отсчёта (см. условие предыдущей задачи) движется со скоростью, большей скорости движения электронов в пучке. Что можно сказать о направлении линий индукции поля?

Решение

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть электромагнитное поле электронного пучка в двух системах отсчёта: в лабораторной системе отсчёта (S), где пучок движется, и в новой системе отсчёта (S'), которая движется быстрее электронов в пучке.

Пусть в лабораторной системе отсчёта S электроны движутся со скоростью $\vec{v}_e$. Для определённости выберем направление движения электронов за положительное направление оси X. Таким образом, скорость электронов $\vec{v}_e$. Движение отрицательно заряженных электронов эквивалентно электрическому току $\vec{I}$, направленному в противоположную сторону, то есть против оси X. Этот ток создаёт вокруг себя магнитное поле. Линии индукции этого поля представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных пучку. Направление линий определяется по правилу правой руки: если большой палец направить по направлению тока (против движения электронов), то согнутые пальцы укажут направление линий магнитной индукции. В условии предыдущей задачи, как правило, предполагается, что электронный пучок в целом электрически нейтрален, так как отрицательный заряд электронов компенсируется положительным зарядом ионов, которые в лабораторной системе отсчёта S покоятся.

Теперь перейдём в новую систему отсчёта S', которая движется вдоль той же оси X со скоростью $\vec{v}_{S'}$. По условию, скорость этой системы отсчёта больше скорости электронов: $v_{S'} > v_e$. В этой новой системе отсчёта S' будут двигаться как электроны, так и положительные ионы.

1. Движение электронов в системе S'.
Скорость электронов относительно системы S' находится по закону сложения скоростей: $\vec{v}'_e = \vec{v}_e - \vec{v}_{S'}$. Поскольку $v_{S'} > v_e$ и обе скорости направлены вдоль оси X, вектор $\vec{v}'_e$ будет направлен против оси X. Ток $\vec{I}'_e$, создаваемый этими электронами (которые имеют отрицательный заряд), будет направлен противоположно их движению, то есть вдоль оси X.

2. Движение положительных ионов в системе S'.
В системе S ионы покоились ($\vec{v}_{ion} = 0$). Относительно системы S' они будут двигаться со скоростью $\vec{v}'_{ion} = 0 - \vec{v}_{S'} = -\vec{v}_{S'}$. Это означает, что положительные ионы движутся против оси X. Ток $\vec{I}'_{ion}$, создаваемый движением положительных ионов, будет сонаправлен с их скоростью, то есть также направлен против оси X.

Таким образом, в системе отсчёта S' существуют два тока, направленные в противоположные стороны: ток электронов $\vec{I}'_e$ и ток ионов $\vec{I}'_{ion}$. Чтобы определить направление результирующего магнитного поля, нужно найти направление результирующего тока $\vec{I}'_{net}$, которое совпадёт с направлением большего из двух токов.

Сравним величины токов. В нерелятивистском приближении сила тока пропорциональна скорости носителей заряда (при условии, что линейная плотность заряда одинакова).

• Величина тока, создаваемого ионами, пропорциональна их скорости: $I'_{ion} \propto v'_{ion} = v_{S'}$.
• Величина тока, создаваемого электронами, пропорциональна их скорости: $I'_e \propto v'_{e} = |v_e - v_{S'}| = v_{S'} - v_e$.

Так как по условию $v_e > 0$, то $v_{S'} > v_{S'} - v_e$. Следовательно, $I'_{ion} > I'_e$.

Это означает, что результирующий ток в движущейся системе отсчёта S' будет определяться током ионов и будет направлен так же, как $\vec{I}'_{ion}$, то есть против оси X.

Сравнивая направление тока в обеих системах отсчёта, мы видим:

• В исходной системе S ток $\vec{I}$ был направлен против оси X (противоположно движению электронов).
• В новой системе S' результирующий ток $\vec{I}'_{net}$ также направлен против оси X.

Направление линий индукции магнитного поля определяется направлением тока, который его создаёт. Поскольку направление результирующего тока в новой системе отсчёта совпадает с направлением тока в исходной системе, то и направление линий магнитной индукции останется без изменений.

Ответ: Направление линий индукции поля не изменится. Они будут направлены так же, как и в системе отсчёта, связанной с покоящимися положительными ионами пучка.

994. Можно ли выбрать такую систему отсчёта, в которой магнитная индукция поля прямого проводника с током была бы равна нулю? Что можно сказать о направлении линий индукции, если система отсчёта движется со скоростью, большей скорости упорядоченного движения электронов в проводнике?

Можно ли выбрать такую систему отсчёта, в которой магнитная индукция поля прямого проводника с током была бы равна нулю?

Нет, выбрать такую систему отсчёта невозможно. По своей природе магнитное поле порождается движущимися электрическими зарядами (электрическим током). В металлическом проводнике с током существуют два типа заряженных частиц: отрицательно заряженные электроны проводимости, которые движутся упорядоченно, и положительно заряженные ионы кристаллической решётки, которые в системе отсчёта, связанной с проводником, неподвижны.

Электрический ток в проводнике представляет собой относительное движение электронов и ионов. Чтобы магнитная индукция стала равной нулю, необходимо, чтобы в выбранной системе отсчёта прекратилось всякое движение зарядов, то есть чтобы суммарный ток был равен нулю. Однако невозможно найти такую инерциальную систему отсчёта, в которой и электроны, и ионы решётки были бы одновременно неподвижны. Если мы перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с электронами (где они покоятся), то в этой системе ионы кристаллической решётки будут двигаться в противоположном направлении. Это движение положительных зарядов само по себе создаёт электрический ток и, следовательно, магнитное поле.

Таким образом, пока в проводнике существует ток (то есть относительное движение зарядов), в любой инерциальной системе отсчёта будет существовать ненулевой электрический ток и, как следствие, ненулевое магнитное поле.

Ответ: Нет, невозможно, так как невозможно выбрать систему отсчёта, в которой одновременно покоились бы и электроны, и ионы кристаллической решётки, а значит, всегда будет существовать электрический ток, создающий магнитное поле.

Что можно сказать о направлении линий индукции, если система отсчёта движется со скоростью, большей скорости упорядоченного движения электронов в проводнике?

Направление линий магнитной индукции определяется направлением суммарного электрического тока в данной системе отсчёта (согласно правилу буравчика или правилу правой руки). Рассмотрим, как изменится ток при переходе в новую систему отсчёта.

Пусть в лабораторной системе отсчёта (К) по прямому проводнику течёт ток в определённом направлении. По определению, направление тока совпадает с направлением движения положительных зарядов. Значит, электроны движутся в сторону, противоположную направлению тока, со скоростью упорядоченного движения $v_e$. Положительные ионы решётки в системе К покоятся.

Теперь перейдём в систему отсчёта (К'), которая движется со скоростью $V$ ($V > v_e$) вдоль проводника. Возможны два случая направления движения К':

1. Система К' движется в направлении, противоположном движению электронов (то есть в направлении тока). В этой системе К' ионы решётки будут двигаться назад (в направлении, противоположном току), создавая ток в этом же "обратном" направлении. Электроны также будут двигаться назад, но с большей скоростью, создавая ток в "прямом" направлении (так как заряд электронов отрицателен). Расчёты (как нерелятивистские, так и строгие релятивистские) показывают, что суммарный ток, создаваемый движением ионов и электронов, будет направлен в ту же сторону, что и исходный ток в лабораторной системе отсчёта К.

2. Система К' движется в том же направлении, что и электроны. Так как скорость системы К' больше скорости электронов ($V > v_e$), то в этой системе отсчёта электроны будут двигаться в обратную для себя сторону (то есть в направлении тока). Ионы решётки будут двигаться в направлении тока. Таким образом, в системе К' мы имеем поток положительных ионов в направлении тока (создаёт ток в направлении тока) и поток отрицательных электронов также в направлении тока (создаёт ток в направлении, противоположном току). И в этом случае расчёты показывают, что результирующий ток сохранит своё первоначальное направление.

Следовательно, независимо от направления и скорости движения системы отсчёта вдоль проводника, направление результирующего электрического тока не изменяется. Изменяется лишь его величина, а также появляется электрическое поле, которого не было в лабораторной системе отсчёта. Поскольку направление тока сохраняется, то и направление линий магнитной индукции вокруг проводника остаётся прежним.

Ответ: Направление линий индукции не изменится. Оно останется таким же, как и в системе отсчёта, связанной с проводником.

995. Почему при приёме радиопередач на средних и длинных волнах с приближением грозы появляются помехи?

Помехи при приеме радиопередач во время грозы возникают из-за физической природы молнии. Молния представляет собой гигантский искровой разряд в атмосфере. Этот разряд является очень мощным и кратковременным импульсом электрического тока, протекающего между грозовыми облаками или между облаком и землей.

Согласно фундаментальным принципам электродинамики, любой переменный электрический ток (или ускоренно движущиеся заряды) является источником электромагнитных волн. Импульс тока в канале молнии является именно таким быстропеременным током, поэтому каждая вспышка молнии генерирует мощный электромагнитный импульс. По сути, молния работает как гигантская природная антенна.

Этот электромагнитный импульс не является монохроматической волной (волной одной частоты), а имеет очень широкий спектр частот. Однако энергия этого излучения распределена по спектру неравномерно. Наибольшая мощность излучения от молнии приходится на низкочастотную область, которая как раз и включает в себя диапазоны длинных (ДВ) и средних (СВ) волн. С ростом частоты (и уменьшением длины волны) интенсивность электромагнитного излучения от молнии быстро спадает.

Когда радиоприемник настроен на станцию, вещающую на средних или длинных волнах, его антенна улавливает не только полезный сигнал от передающей станции, но и мощные электромагнитные волны от близких разрядов молнии. Эти волны, называемые атмосферными помехами (атмосфериками), накладываются на сигнал радиостанции. В результате в динамике радиоприемника слышны характерные щелчки, треск и шум, которые и являются проявлением этих помех. На более высоких частотах, например, в FM-диапазоне (ультракороткие волны), помехи от грозы почти не ощущаются, так как мощность излучения молнии в этом диапазоне значительно ниже.

Ответ: Молния является мощным источником электромагнитных волн широкого спектра. Наибольшая интенсивность этих волн приходится на диапазоны длинных и средних волн. Радиоприемник улавливает эти волны от молнии вместе с сигналом радиостанции, что и создает помехи в виде треска и шума.

996. Каков период колебаний в открытом колебательном контуре, излучающем радиоволны с длиной волны 300 м?

Дано:

Длина радиоволны, $\lambda = 300$ м

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Период колебаний, $T$

Решение:

Период колебаний в открытом колебательном контуре совпадает с периодом излучаемой им электромагнитной волны. Длина волны ($\lambda$), период колебаний ($T$) и скорость распространения волны ($c$) связаны соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Из этой формулы выразим искомый период колебаний $T$:

$T = \frac{\lambda}{c}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем вычисления:

$T = \frac{300 \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{3 \cdot 10^2}{3 \cdot 10^8} \text{ с} = 1 \cdot 10^{2-8} \text{ с} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Это значение также можно записать как 1 микросекунда (1 мкс).

Ответ: период колебаний в контуре равен $10^{-6}$ с.

997. Радиостанция ведёт передачу на частоте 75 МГц (УКВ). Найти длину волны.

Дано:

Найти:

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$ связана с ее частотой $\nu$ и скоростью распространения $c$ (в данном случае, это скорость света, так как радиоволны являются электромагнитными) следующей формулой:

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

Подставим известные значения в формулу. Все данные уже представлены в системе СИ.

$\lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{75 \cdot 10^6 \text{ Гц}}$

Для удобства вычислений можно представить числитель как $300 \cdot 10^6$. Тогда степени десяти сократятся:

$\lambda = \frac{300 \cdot 10^6 \text{ м/с}}{75 \cdot 10^6 \text{ с}^{-1}} = \frac{300}{75} \text{ м} = 4 \text{ м}$

Ответ: 4 м.

998. В радиоприёмнике один из коротковолновых диапазонов может принимать передачи, длина волны которых 24–26 м. Найти частотный диапазон.

Дано:

Диапазон длин волн: от $\lambda_1 = 24$ м до $\lambda_2 = 26$ м.
Скорость распространения радиоволн (скорость света в вакууме): $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Частотный диапазон $\nu$.

Решение:

Связь между длиной волны $\lambda$, частотой $\nu$ и скоростью распространения электромагнитной волны $c$ описывается фундаментальной формулой:

$c = \lambda \cdot \nu$

Из этой формулы мы можем выразить частоту:

$\nu = \frac{c}{\lambda}$

Как видно из формулы, частота обратно пропорциональна длине волны. Это означает, что большей длине волны соответствует меньшая частота, а меньшей длине волны — большая частота.

Следовательно, для нахождения частотного диапазона необходимо рассчитать частоты, соответствующие крайним значениям заданного диапазона длин волн.

Минимальная частота диапазона ($\nu_{min}$) будет соответствовать максимальной длине волны ($\lambda_{max} = 26$ м):

$\nu_{min} = \frac{c}{\lambda_{max}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{26 \text{ м}} \approx 11538461,5$ Гц.

Максимальная частота диапазона ($\nu_{max}$) будет соответствовать минимальной длине волны ($\lambda_{min} = 24$ м):

$\nu_{max} = \frac{c}{\lambda_{min}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{24 \text{ м}} = 12500000$ Гц.

Для удобства переведем полученные значения в мегагерцы (МГц), зная, что $1$ МГц $= 10^6$ Гц.

$\nu_{min} \approx \frac{11538461,5}{10^6} \approx 11,54$ МГц.

$\nu_{max} = \frac{12500000}{10^6} = 12,5$ МГц.

Таким образом, искомый частотный диапазон простирается от 11,54 МГц до 12,5 МГц.

Ответ: частотный диапазон составляет примерно 11,54–12,5 МГц.

999. Ручной настройкой радиоприёмника мы изменяем рабочую площадь пластин воздушного конденсатора переменной ёмкости в приёмном колебательном контуре. Как изменяется рабочая площадь пластин при переходе на приём станции, ведущей передачу на более длинных волнах?

Решение

Приём радиосигнала основан на явлении резонанса, при котором собственная частота колебаний в колебательном контуре радиоприёмника совпадает с частотой принимаемой радиоволны.

Связь между длиной волны $\lambda$, частотой $f$ и скоростью света $c$ выражается формулой: $\lambda = \frac{c}{f}$ Из этой формулы следует, что более длинным волнам ($\lambda$ увеличивается) соответствует более низкая частота ($f$ уменьшается).

Собственная частота колебаний в LC-контуре (колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора ёмкостью $C$) определяется по формуле Томсона для периода $T$: $T = 2\pi\sqrt{LC}$ Частота $f$ является величиной, обратной периоду: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Чтобы настроиться на станцию с большей длиной волны, необходимо уменьшить собственную частоту колебательного контура. Из формулы для частоты видно, что для уменьшения $f$ нужно увеличить произведение $LC$. Поскольку индуктивность катушки $L$ в процессе настройки обычно остаётся постоянной, необходимо увеличивать ёмкость конденсатора $C$.

Ёмкость плоского воздушного конденсатора рассчитывается по формуле: $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$ где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами (для воздуха $\varepsilon \approx 1$), $d$ — расстояние между пластинами, а $S$ — рабочая площадь пластин (площадь их взаимного перекрытия).

В конденсаторе переменной ёмкости настройка осуществляется именно изменением рабочей площади $S$. Так как ёмкость $C$ прямо пропорциональна площади $S$, для увеличения ёмкости необходимо увеличивать рабочую площадь пластин.

Таким образом, для перехода на приём более длинных волн необходимо увеличить ёмкость конденсатора в колебательном контуре, что достигается увеличением рабочей площади его пластин.

Ответ: При переходе на приём станции, ведущей передачу на более длинных волнах, рабочая площадь пластин конденсатора увеличивается.

1000. Катушка приёмного контура радиоприёмника имеет индуктивность 1 мкГн. Какова ёмкость конденсатора, если идёт приём станции, работающей на длине волны 1000 м?

Дано:

Индуктивность катушки $L = 1$ мкГн
Длина волны $\lambda = 1000$ м
Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

В системе СИ:
$L = 1 \cdot 10^{-6}$ Гн

Найти:

Ёмкость конденсатора $C$

Решение:

Радиоприёмник настраивается на частоту радиостанции, когда частота собственных колебаний его приёмного контура (LC-контура) совпадает с частотой волны. Это явление называется резонансом. При резонансе периоды колебаний также равны.

Период $T$ электромагнитной волны определяется её длиной $\lambda$ и скоростью света $c$ по формуле: $T = \frac{\lambda}{c}$

Период собственных колебаний в LC-контуре описывается формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$

Приравнивая два этих выражения для периода, получаем условие для настройки на нужную волну: $2\pi\sqrt{LC} = \frac{\lambda}{c}$

Для того чтобы найти ёмкость $C$, возведём обе части равенства в квадрат: $(2\pi\sqrt{LC})^2 = \left(\frac{\lambda}{c}\right)^2$

$4\pi^2LC = \frac{\lambda^2}{c^2}$

Из последнего выражения найдём ёмкость $C$: $C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2Lc^2}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу: $C = \frac{(1000 \text{ м})^2}{4\pi^2 \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}$

$C = \frac{10^6}{4\pi^2 \cdot 10^{-6} \cdot 9 \cdot 10^{16}} = \frac{10^6}{36\pi^2 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{36\pi^2 \cdot 10^4} \text{ Ф}$

Для вычисления используем приближённое значение $\pi^2 \approx 9.87$: $C \approx \frac{1}{36 \cdot 9.87 \cdot 10^4} \text{ Ф} \approx \frac{1}{355.3 \cdot 10^4} \text{ Ф} \approx 2.814 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$

Этот результат можно представить в более удобных единицах, например, в нанофарадах (1 нФ = $10^{-9}$ Ф): $C \approx 281.4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 281.4 \text{ нФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора должна быть приблизительно $2.81 \cdot 10^{-7}$ Ф (или 281 нФ).