Страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

949. Заряд $q$ на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени $t$ в соответствии с уравнением $q = 10^{-6}\cos 10^{4}\pi t$. Записать уравнение зависимости силы тока от времени $i = i(t)$. Найти период и частоту колебаний в контуре, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока.

Дано:

Уравнение изменения заряда со временем: $q = 10^{-6}\cos(10^4\pi t)$

Найти:

$i(t)$ — уравнение зависимости силы тока от времени

$T$ — период колебаний

$\nu$ — частота колебаний

$q_m$ — амплитуда колебаний заряда

$I_m$ — амплитуда колебаний силы тока

Решение:

Общий вид уравнения колебаний заряда в контуре: $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $q_m$ — амплитуда колебаний заряда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая общее уравнение с данным в условии $q(t) = 10^{-6}\cos(10^4\pi t)$, находим:

• амплитуду колебаний заряда $q_m = 10^{-6}$ Кл;
• циклическую частоту $\omega = 10^4\pi$ рад/с;
• начальную фазу $\phi_0 = 0$.

Уравнение зависимости силы тока от времени $i = i(t)$

Сила тока $i$ является первой производной заряда $q$ по времени $t$: $i(t) = q'(t)$.

Найдем производную от заданного уравнения заряда:

$i(t) = \frac{d}{dt}(10^{-6}\cos(10^4\pi t)) = 10^{-6} \cdot (-\sin(10^4\pi t)) \cdot (10^4\pi)$

$i(t) = -10^{-6} \cdot 10^4\pi \cdot \sin(10^4\pi t) = -10^{-2}\pi \sin(10^4\pi t)$

Чтобы выразить уравнение тока через косинус, как и заряд, используем формулу приведения $\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$ или $-\sin(x) = \cos(x + \frac{\pi}{2})$:

$i(t) = 10^{-2}\pi \cos(10^4\pi t + \frac{\pi}{2})$

Таким образом, колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $i(t) = -10^{-2}\pi \sin(10^4\pi t)$ (в Амперах) или $i(t) = 10^{-2}\pi \cos(10^4\pi t + \frac{\pi}{2})$ (в Амперах).

Период и частота колебаний в контуре

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим значение $\omega = 10^4\pi$ рад/с:

$T = \frac{2\pi}{10^4\pi} = 2 \cdot 10^{-4}$ с = 0,2 мс.

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.

$\nu = \frac{1}{2 \cdot 10^{-4}} = 0,5 \cdot 10^4$ Гц = 5000 Гц = 5 кГц.

Также частоту можно найти из формулы $\omega = 2\pi\nu$, откуда $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10^4\pi}{2\pi} = 5000$ Гц.

Ответ: Период колебаний $T = 2 \cdot 10^{-4}$ с, частота колебаний $\nu = 5000$ Гц.

Амплитуда колебаний заряда

Амплитуда колебаний заряда $q_m$ — это максимальное значение заряда, которое определяется коэффициентом перед функцией косинуса в уравнении $q(t)$.

Из уравнения $q = 10^{-6}\cos(10^4\pi t)$ следует, что $q_m = 10^{-6}$ Кл = 1 мкКл.

Ответ: Амплитуда колебаний заряда $q_m = 10^{-6}$ Кл.

Амплитуда колебаний силы тока

Амплитуда колебаний силы тока $I_m$ — это максимальное значение силы тока. Его можно найти из уравнения для $i(t) = -10^{-2}\pi \sin(10^4\pi t)$. Амплитудное значение — это коэффициент перед синусом (по модулю).

$I_m = 10^{-2}\pi$ А.

Также амплитуду тока можно вычислить по формуле $I_m = q_m \cdot \omega$.

$I_m = 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^4\pi \text{ рад/с} = 10^{-2}\pi$ А.

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$I_m \approx 3,14 \cdot 10^{-2}$ А = 31,4 мА.

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 10^{-2}\pi$ А $\approx 0,0314$ А.

950. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 1 мкФ и катушки индуктивностью 4 Гн. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе 100 мкКл. Написать уравнения $q = q(t)$, $i = i(t)$, $u = u(t)$. Найти амплитуду колебаний силы тока и напряжения.

Дано:

Ёмкость конденсатора $C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
Индуктивность катушки $L = 4 \text{ Гн}$
Амплитуда заряда $q_m = 100 \text{ мкКл} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-4} \text{ Кл}$

Найти:

1. Уравнения $q(t)$, $i(t)$, $u(t)$.
2. Амплитуду силы тока $I_m$ и напряжения $U_m$.

Решение:

Вначале определим циклическую (угловую) частоту свободных электромагнитных колебаний в контуре по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим данные из условия задачи:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{4 \text{ Гн} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 10^{-6} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 500 \text{ рад/с}$

Теперь можем приступить к нахождению уравнений и амплитуд.

Написать уравнения q = q(t), i = i(t), u = u(t)

Колебания заряда в контуре описываются гармоническим законом. Предположим, что в начальный момент времени $t=0$ заряд на конденсаторе был максимальным, следовательно, начальная фаза колебаний $\phi_0 = 0$. Уравнение изменения заряда со временем имеет вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

Подставив числовые значения, получаем:

$q(t) = 10^{-4} \cos(500t) \text{ (Кл)}$

Напряжение на конденсаторе в любой момент времени связано с зарядом соотношением $u = q/C$. Таким образом, уравнение для напряжения:

$u(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{q_m}{C} \cos(\omega t)$

Подставляя значения, получаем:

$u(t) = \frac{10^{-4} \text{ Кл}}{1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \cos(500t) = 100 \cos(500t) \text{ (В)}$

Сила тока в контуре — это первая производная от заряда по времени, $i(t) = q'(t)$.

$i(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos(\omega t)) = -q_m \omega \sin(\omega t)$

Подставляя значения, получаем:

$i(t) = -10^{-4} \text{ Кл} \cdot 500 \text{ рад/с} \cdot \sin(500t) = -0.05 \sin(500t) \text{ (А)}$

Это уравнение показывает, что колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на $\pi/2$. Его можно также записать через косинус, используя формулу приведения $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \pi/2)$:

$i(t) = 0.05 \cos(500t + \frac{\pi}{2}) \text{ (А)}$

Ответ: $q(t) = 10^{-4} \cos(500t)$ (Кл), $i(t) = -0.05 \sin(500t)$ (А), $u(t) = 100 \cos(500t)$ (В).

Найти амплитуду колебаний силы тока и напряжения

Амплитуда — это максимальное значение колеблющейся величины (коэффициент перед синусом или косинусом).

Амплитуда напряжения $U_m$ определяется из уравнения для $u(t)$ или по формуле:

$U_m = \frac{q_m}{C} = \frac{10^{-4} \text{ Кл}}{10^{-6} \text{ Ф}} = 100 \text{ В}$

Амплитуда силы тока $I_m$ определяется из уравнения для $i(t)$ или по формуле:

$I_m = q_m \omega = 10^{-4} \text{ Кл} \cdot 500 \text{ рад/с} = 0.05 \text{ А}$

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 0.05 \text{ А}$, амплитуда колебаний напряжения $U_m = 100 \text{ В}$.

951. Ёмкость конденсатора колебательного контура 0,4 мкФ, частота собственных колебаний 50 кГц, амплитуда колебаний заряда 8 мкКл. Написать уравнения $q = q(t)$, $u = u(t)$, $i = i(t)$. Найти амплитуду колебаний напряжения, амплитуду колебаний силы тока и индуктивность катушки.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 0,4$ мкФ

Частота собственных колебаний, $\nu = 50$ кГц

Амплитуда колебаний заряда, $q_m = 8$ мкКл

$C = 0,4 \cdot 10^{-6}$ Ф
$\nu = 50 \cdot 10^{3}$ Гц
$q_m = 8 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

Амплитуду колебаний напряжения $U_m$, амплитуду колебаний силы тока $I_m$, индуктивность катушки $L$, уравнения $q = q(t)$, $u = u(t)$, $i = i(t)$.

Решение:

Вначале найдем циклическую (круговую) частоту колебаний $\omega$:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 10^5\pi$ рад/с.

Амплитуда колебаний напряжения

Амплитуда напряжения $U_m$ на конденсаторе связана с амплитудой заряда $q_m$ и ёмкостью $C$ формулой $q_m = C \cdot U_m$. Отсюда выразим $U_m$:

$U_m = \frac{q_m}{C} = \frac{8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 20$ В.

Ответ: Амплитуда колебаний напряжения $U_m = 20$ В.

Амплитуда колебаний силы тока

Сила тока $i$ является первой производной от заряда $q$ по времени: $i(t) = q'(t)$.

Если колебания заряда происходят по закону $q(t) = q_m \cos(\omega t)$, то сила тока изменяется по закону $i(t) = (q_m \cos(\omega t))' = -q_m \omega \sin(\omega t)$.

Амплитуда силы тока $I_m$ — это максимальное значение модуля силы тока:

$I_m = q_m \omega = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^5\pi \text{ рад/с} = 0,8\pi \text{ А} \approx 2,51$ А.

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 0,8\pi$ А.

Индуктивность катушки

Для определения индуктивности $L$ воспользуемся формулой Томсона для циклической частоты собственных колебаний в LC-контуре:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим индуктивность $L$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies L = \frac{1}{\omega^2 C}$

$L = \frac{1}{(10^5\pi)^2 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^{10}\pi^2 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0,4\pi^2 \cdot 10^4} = \frac{1}{4000\pi^2}$ Гн.

Приближенное значение: $L \approx \frac{1}{4000 \cdot 9,87} \approx 2,53 \cdot 10^{-5}$ Гн = 25,3 мкГн.

Ответ: Индуктивность катушки $L = \frac{1}{4000\pi^2}$ Гн (что примерно равно 25,3 мкГн).

Уравнения $q = q(t)$, $u = u(t)$, $i = i(t)$

Запишем уравнения колебаний, приняв, что начальная фаза равна нулю (в момент $t=0$ заряд на конденсаторе максимален).

1. Уравнение колебаний заряда:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

Подставляя числовые значения (в СИ):

$q(t) = 8 \cdot 10^{-6} \cos(10^5\pi t)$

2. Уравнение колебаний напряжения. Напряжение на конденсаторе изменяется синфазно с зарядом: $u(t) = q(t)/C = U_m \cos(\omega t)$.

$u(t) = 20 \cos(10^5\pi t)$

3. Уравнение колебаний силы тока. Сила тока опережает заряд по фазе на $\pi/2$. Так как $i(t) = q'(t)$, то:

$i(t) = -q_m \omega \sin(\omega t) = -I_m \sin(\omega t)$

$i(t) = -0,8\pi \sin(10^5\pi t)$

Ответ: Уравнения колебаний (все величины в СИ):

$q(t) = 8 \cdot 10^{-6} \cos(10^5\pi t)$

$u(t) = 20 \cos(10^5\pi t)$

$i(t) = -0,8\pi \sin(10^5\pi t)$

952. Через какое время (в долях периода $ \frac{t}{T} $) на конденсаторе колебательного контура впервые будет заряд, равный половине амплитудного значения?

Дано:

Заряд на конденсаторе: $q = \frac{1}{2} q_{max}$, где $q_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение заряда.

Найти:

$\frac{t}{T}$ — время, выраженное в долях периода.

Решение:

Колебания заряда на конденсаторе в идеальном колебательном контуре описываются гармоническим законом. Если в начальный момент времени ($t=0$) заряд на конденсаторе был максимальным ($q=q_{max}$), то зависимость заряда от времени имеет вид:

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$

где $q_{max}$ — амплитуда колебаний заряда, $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Согласно условию задачи, нужно найти момент времени $t$, когда заряд на конденсаторе впервые станет равен половине амплитудного значения:

$q(t) = \frac{1}{2} q_{max}$

Подставим это условие в уравнение колебаний:

$\frac{1}{2} q_{max} = q_{max} \cos(\omega t)$

Сократив $q_{max}$, получим:

$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}$

Мы ищем первый момент времени, когда это произойдет, поэтому нам нужно найти наименьшее положительное значение аргумента, при котором его косинус равен $\frac{1}{2}$. Это значение равно $\frac{\pi}{3}$.

$\omega t = \frac{\pi}{3}$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3}$

Теперь выразим искомую величину $\frac{t}{T}$:

$\frac{t}{T} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{6}$

Таким образом, впервые заряд на конденсаторе станет равен половине амплитудного значения через время, равное $\frac{1}{6}$ периода.

Ответ: $\frac{t}{T} = \frac{1}{6}$.

953. Амплитуда колебаний напряжения в контуре 100 В, частота колебаний 5 МГц. Через какое время напряжение впервые будет 71 В?

Дано:

Амплитуда напряжения, $U_m = 100$ В

Частота колебаний, $f = 5$ МГц

Мгновенное значение напряжения, $u = 71$ В

Перевод в систему СИ:

$f = 5 \text{ МГц} = 5 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Найти:

Время $t$, через которое напряжение впервые достигнет значения $u$.

Решение:

Колебания напряжения в колебательном контуре являются гармоническими. Зависимость мгновенного значения напряжения $u$ от времени $t$ можно описать уравнением: $u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$ или $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $U_m$ — амплитуда напряжения, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Чтобы найти наименьшее время, за которое напряжение достигнет заданного значения, будем считать, что колебания начинаются из состояния равновесия, то есть при $t=0$ напряжение $u=0$. Это соответствует уравнению с синусом и нулевой начальной фазой ($\phi_0=0$): $u(t) = U_m \sin(\omega t)$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ следующим соотношением: $\omega = 2\pi f$ Подставим в эту формулу значение частоты из условия задачи: $\omega = 2\pi \cdot 5 \cdot 10^6 \text{ рад/с} = 10\pi \cdot 10^6 \text{ рад/с} = \pi \cdot 10^7 \text{ рад/с}$

Теперь подставим известные значения в уравнение для мгновенного напряжения: $71 = 100 \sin(\omega t)$

Из этого уравнения выразим синус фазы колебаний $\omega t$: $\sin(\omega t) = \frac{71}{100} = 0.71$

Следует заметить, что значение $0.71$ очень близко к теоретическому значению $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$. В физических задачах часто используются величины, которые упрощают расчеты. Предположим, что имеется в виду именно это значение, которое соответствует фазе $\frac{\pi}{4}$. $\sin(\omega t) \approx \frac{\sqrt{2}}{2}$

Мы ищем наименьшее положительное время $t$, поэтому нас интересует наименьший положительный угол (фаза), синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$ радиан. $\omega t = \frac{\pi}{4}$

Выразим время $t$: $t = \frac{\pi}{4\omega}$ Подставим ранее вычисленное значение циклической частоты $\omega$: $t = \frac{\pi}{4 \cdot (\pi \cdot 10^7)} = \frac{1}{4 \cdot 10^7} = 0.25 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Полученное значение времени можно также выразить в микросекундах (мкс) или наносекундах (нс): $t = 0.025 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 0.025 \text{ мкс}$

Ответ: $t = 0.25 \cdot 10^{-7} \text{ с}$ (или $0.025$ мкс).

954. При каком значении напряжения на конденсаторе колебательного контура (в долях амплитудного значения $ \frac{u}{U_m} $) и через какое время (в долях периода $ \frac{t}{T} $) энергия электрического поля впервые будет в 3 раза больше энергии магнитного поля?

Дано:

Найти:

Решение:

При каком значении напряжения на конденсаторе колебательного контура (в долях амплитудного значения $\frac{u}{U_m}$)

Полная энергия $W_{полн}$ в идеальном колебательном контуре сохраняется и в любой момент времени равна сумме энергии электрического поля конденсатора $W_Э$ и энергии магнитного поля катушки $W_М$:

$W_{полн} = W_Э + W_М$

Энергия электрического поля конденсатора определяется его емкостью $C$ и мгновенным напряжением $u$: $W_Э = \frac{C u^2}{2}$. Полная энергия контура равна максимальному значению энергии электрического поля: $W_{полн} = W_{Э,макс} = \frac{C U_m^2}{2}$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения.

Используя условие задачи $W_Э = 3 W_М$, выразим полную энергию через энергию электрического поля. Из условия следует, что $W_М = \frac{W_Э}{3}$. Подставим это в закон сохранения энергии:

$W_{полн} = W_Э + \frac{W_Э}{3} = \frac{4}{3} W_Э$

Теперь приравняем два выражения для полной энергии:

$\frac{C U_m^2}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{C u^2}{2}$

Сократив общие множители, получим:

$U_m^2 = \frac{4}{3} u^2$

Выразим отношение квадратов напряжений:

$\frac{u^2}{U_m^2} = \frac{3}{4}$

Извлекая квадратный корень, находим искомое отношение (значение напряжения, поэтому берем положительный корень):

$\frac{u}{U_m} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{u}{U_m} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

и через какое время (в долях периода $\frac{t}{T}$) энергия электрического поля впервые будет в 3 раза больше энергии магнитного поля?

Изменение напряжения на конденсаторе в процессе свободных колебаний происходит по гармоническому закону. Предположим, что в начальный момент времени $t=0$ конденсатор был полностью заряжен, то есть напряжение на нем было максимальным ($u=U_m$). В этом случае зависимость напряжения от времени описывается функцией косинуса:

$u(t) = U_m \cos(\omega t)$

где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ — циклическая частота колебаний, а $T$ — их период.

Мы уже выяснили, что условие $W_Э = 3 W_М$ выполняется, когда мгновенное напряжение составляет $u = U_m \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение для напряжения:

$U_m \frac{\sqrt{3}}{2} = U_m \cos(\omega t)$

Отсюда получаем:

$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Нам необходимо найти, когда это условие выполнится впервые, то есть найти наименьшее положительное значение времени $t$. Это соответствует наименьшей положительной фазе $\omega t$, для которой косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из тригонометрии известно, что это значение равно $\frac{\pi}{6}$.

$\omega t = \frac{\pi}{6}$

Заменим циклическую частоту ее выражением через период:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$

Теперь выразим искомое отношение $\frac{t}{T}$:

$\frac{t}{T} = \frac{\pi/6}{2\pi} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{t}{T} = \frac{1}{12}$.

955. Найти период $T$ и частоту $v$ колебаний в контуре, состоящем из конденсатора ёмкостью $C = 800 \text{ пФ}$ и катушки индуктивностью $L = 2 \text{ мкГн}$. Во сколько раз изменится период колебаний, если в конденсатор ввести диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 9$?

Дано:

Ёмкость конденсатора $C = 800 \text{ пФ}$

Индуктивность катушки $L = 2 \text{ мкГн}$

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика $\varepsilon = 9$

Перевод в систему СИ:

$C = 800 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 8 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

$L = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Найти:

$T$, $\nu$, $\frac{T'}{T}$

Решение:

1. Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Подставим числовые значения из данных задачи:

$T = 2\pi\sqrt{2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 8 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{16 \cdot 10^{-16} \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 4 \cdot 10^{-8} \text{ с} = 8\pi \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение периода, приняв $\pi \approx 3.1416$:

$T \approx 8 \cdot 3.1416 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 25.13 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 2.51 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Переведем в микросекунды: $2.51 \cdot 10^{-7} \text{ с} = 0.251 \text{ мкс}$.

2. Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду $T$:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим значение периода:

$\nu = \frac{1}{8\pi \cdot 10^{-8} \text{ с}} \approx \frac{1}{2.51 \cdot 10^{-7} \text{ с}} \approx 0.398 \cdot 10^7 \text{ Гц} = 3.98 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Переведем в мегагерцы: $3.98 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 3.98 \text{ МГц}$.

3. Теперь рассмотрим, как изменится период, если в конденсатор ввести диэлектрик. При внесении диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ в пространство между обкладками конденсатора, его ёмкость увеличивается в $\varepsilon$ раз:

$C' = \varepsilon C$

Новый период колебаний $T'$ будет равен:

$T' = 2\pi\sqrt{LC'} = 2\pi\sqrt{L(\varepsilon C)} = (2\pi\sqrt{LC})\sqrt{\varepsilon} = T\sqrt{\varepsilon}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится период, необходимо найти отношение нового периода $T'$ к первоначальному $T$:

$\frac{T'}{T} = \frac{T\sqrt{\varepsilon}}{T} = \sqrt{\varepsilon}$

Подставим значение $\varepsilon = 9$:

$\frac{T'}{T} = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, период колебаний увеличится в 3 раза.

Ответ: период колебаний $T \approx 0.251 \text{ мкс}$, частота колебаний $\nu \approx 3.98 \text{ МГц}$. При введении в конденсатор диэлектрика период колебаний увеличится в 3 раза.