Страница 124 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

929. С какой скоростью надо перемещать проводник под углом $60^\circ$ к линиям индукции магнитного поля, чтобы в проводнике возбуждалась ЭДС индукции 1 В? Индукция магнитного поля равна 0,2 Тл. Длина активной части 1 м.

Дано:

Угол $\alpha = 60^\circ$
ЭДС индукции $\mathcal{E} = 1 \text{ В}$
Индукция магнитного поля $B = 0,2 \text{ Тл}$
Длина активной части проводника $l = 1 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость проводника $v$.

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в проводнике, который движется в магнитном поле, определяется по формуле:

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\alpha)$

где $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции, $B$ — индукция магнитного поля, $l$ — длина активной части проводника, $v$ — скорость движения проводника, а $\alpha$ — угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Чтобы найти скорость $v$, выразим ее из этой формулы:

$v = \frac{\mathcal{E}}{B \cdot l \cdot \sin(\alpha)}$

Теперь подставим заданные числовые значения в полученную формулу. Значение синуса угла $60^\circ$ является табличной величиной: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$v = \frac{1 \text{ В}}{0,2 \text{ Тл} \cdot 1 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ)} = \frac{1}{0,2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{0,1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение скорости:

$v \approx \frac{10}{1,732} \approx 5,77 \text{ м/с}$

Ответ: скорость, с которой надо перемещать проводник, равна приблизительно $5,77 \text{ м/с}$.

930. Проводник MN (рис. 105) с длиной активной части $1 \, \text{м}$ и сопротивлением $2 \, \text{Ом}$ находится в однородном магнитном поле индукцией $0,1 \, \text{Тл}$. Проводник подключён к источнику тока с ЭДС $1 \, \text{В}$ (внутренним сопротивлением источника и сопротивлением подводящих проводников пренебречь). Какова сила тока в проводнике, если:

а) проводник покоится;

б) проводник движется вправо со скоростью $4 \, \text{м/с}$;

в) проводник движется влево с такой же по модулю скоростью?

В каком направлении и с какой скоростью надо перемещать проводник, чтобы через него не шел ток?

Рис. 105

Дано:

$l = 1 \text{ м}$
$R = 2 \text{ Ом}$
$B = 0,1 \text{ Тл}$
$\mathcal{E}_{src} = 1 \text{ В}$
$v_b = 4 \text{ м/с}$ (вправо)
$v_c = 4 \text{ м/с}$ (влево)

Найти:

$I_a$ — сила тока, когда проводник покоится
$I_b$ — сила тока, когда проводник движется вправо
$I_c$ — сила тока, когда проводник движется влево
$v$ и направление — скорость и направление движения, при которых ток равен нулю.

Решение:

На проводник в цепи действуют две ЭДС: ЭДС источника тока $\mathcal{E}_{src}$ и ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$, возникающая при движении проводника в магнитном поле. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I$ определяется как: $I = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R}$, где $\mathcal{E}_{общ}$ — общая (суммарная) ЭДС в контуре, а $R$ — общее сопротивление цепи (по условию, равно сопротивлению проводника $R$).

ЭДС индукции, возникающая в проводнике длиной $l$, движущемся со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$ перпендикулярно линиям индукции, равна: $\mathcal{E}_{i} = Bvl$

Направление индуцированного тока (и, следовательно, полярность ЭДС индукции) определяется по правилу правой руки. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен от нас (в плоскость рисунка).

ЭДС источника $\mathcal{E}_{src}$ создаёт в проводнике ток, направленный от точки M к точке N (от «+» к «-» во внешней цепи). Примем это направление за положительное.

а) проводник покоится;

Если проводник покоится, его скорость $v=0$. Следовательно, ЭДС индукции не возникает: $\mathcal{E}_{i} = B \cdot 0 \cdot l = 0$

Общая ЭДС в цепи равна ЭДС источника: $\mathcal{E}_{общ} = \mathcal{E}_{src} = 1 \text{ В}$. Сила тока в проводнике: $I_a = \frac{\mathcal{E}_{src}}{R} = \frac{1 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 0,5 \text{ А}$

Ответ: Сила тока равна 0,5 А.

б) проводник движется вправо со скоростью 4 м/с;

При движении проводника вправо в нем возникает ЭДС индукции. По правилу правой руки (ладонью ловим вектор $\vec{B}$, четыре пальца по направлению скорости $\vec{v}$ вправо), сила Лоренца будет действовать на положительные заряды в проводнике вверх, то есть в направлении от N к M. Таким образом, ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$ направлена против ЭДС источника $\mathcal{E}_{src}$.

Величина ЭДС индукции: $\mathcal{E}_{i} = Bvl = 0,1 \text{ Тл} \cdot 4 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ м} = 0,4 \text{ В}$

Общая ЭДС в цепи: $\mathcal{E}_{общ} = \mathcal{E}_{src} - \mathcal{E}_{i} = 1 \text{ В} - 0,4 \text{ В} = 0,6 \text{ В}$

Сила тока в проводнике: $I_b = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R} = \frac{0,6 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 0,3 \text{ А}$

Ответ: Сила тока равна 0,3 А.

в) проводник движется влево с такой же по модулю скоростью?

При движении проводника влево, согласно правилу правой руки, сила Лоренца будет действовать на положительные заряды вниз, то есть в направлении от M к N. ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$ сонаправлена с ЭДС источника $\mathcal{E}_{src}$.

Величина ЭДС индукции та же: $\mathcal{E}_{i} = Bvl = 0,1 \text{ Тл} \cdot 4 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ м} = 0,4 \text{ В}$

Общая ЭДС в цепи: $\mathcal{E}_{общ} = \mathcal{E}_{src} + \mathcal{E}_{i} = 1 \text{ В} + 0,4 \text{ В} = 1,4 \text{ В}$

Сила тока в проводнике: $I_c = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R} = \frac{1,4 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 0,7 \text{ А}$

Ответ: Сила тока равна 0,7 А.

В каком направлении и с какой скоростью надо перемещать проводник, чтобы через него не шел ток?

Чтобы ток в проводнике отсутствовал ($I=0$), общая ЭДС в цепи должна быть равна нулю ($\mathcal{E}_{общ}=0$). Это возможно, если ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$ будет равна по величине и противоположна по направлению ЭДС источника $\mathcal{E}_{src}$. $\mathcal{E}_{i} = \mathcal{E}_{src}$

Как мы выяснили в пункте б), ЭДС индукции направлена против ЭДС источника при движении проводника вправо.

Найдем необходимую скорость из условия равенства ЭДС: $Bvl = \mathcal{E}_{src}$ $v = \frac{\mathcal{E}_{src}}{Bl} = \frac{1 \text{ В}}{0,1 \text{ Тл} \cdot 1 \text{ м}} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: Чтобы ток через проводник не шел, его нужно перемещать вправо со скоростью 10 м/с.

931. Какова индуктивность контура, если при силе тока 5 А в нём возникает магнитный поток 0,5 мВб?

Дано:

Сила тока $I = 5 \text{ А}$

Магнитный поток $Φ = 0,5 \text{ мВб}$

Перевод в систему СИ:

$Φ = 0,5 \text{ мВб} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$

Найти:

Индуктивность контура $L$

Решение:

Индуктивность контура $L$ — это физическая величина, которая связывает магнитный поток $Φ$, пронизывающий контур, с силой тока $I$ в этом контуре. Эта связь выражается следующей формулой:

$Φ = L \cdot I$

Для нахождения индуктивности контура $L$ необходимо выразить её из этой формулы:

$L = \frac{Φ}{I}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу. Сила тока уже дана в единицах СИ (Амперы), а магнитный поток мы перевели в Веберы.

$L = \frac{0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}}{5 \text{ А}} = 0,1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Полученный результат можно представить в более удобном виде, используя приставку "милли" (м), где $1 \text{ мГн} = 10^{-3} \text{ Гн}$.

$L = 0,1 \text{ мГн}$

Ответ: индуктивность контура равна $0,1$ мГн.

932. Какой магнитный поток возникает в контуре индуктивностью 0,2 мГн при силе тока 10 А?

932. Дано:

Найти:

Решение:

Магнитный поток ($\Phi$), пронизывающий контур, связан с индуктивностью контура ($L$) и силой тока ($I$), протекающего в нем. Эта зависимость является прямой пропорциональностью и выражается следующей формулой:

$\Phi = L \cdot I$

Где $\Phi$ — магнитный поток в веберах (Вб), $L$ — индуктивность в генри (Гн), $I$ — сила тока в амперах (А).

Все величины должны быть выражены в единицах системы СИ. Индуктивность дана в миллигенри, поэтому мы уже перевели ее в генри в разделе "Дано":

$L = 0,2 \text{ мГн} = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Сила тока уже дана в единицах СИ ($10 \text{ А}$).

Подставим значения в формулу и произведем вычисление:

$\Phi = (0,2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}) \cdot 10 \text{ А} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$

Полученное значение можно также представить в милливеберах: $2 \cdot 10^{-3} \text{ Вб} = 2 \text{ мВб}$.

Ответ: магнитный поток, который возникает в контуре, равен $2 \cdot 10^{-3} \text{ Вб}$.

933. Найти индуктивность проводника, в котором при равномерном изменении силы тока на $2 \, \text{А}$ в течение $0,25 \, \text{с}$ возбуждается ЭДС самоиндукции $20 \, \text{мВ}$.

Дано:

Изменение силы тока, $\Delta I = 2$ А
Промежуток времени, $\Delta t = 0,25$ с
ЭДС самоиндукции, ${\mathcal{E}}_{si} = 20$ мВ = $20 \cdot 10^{-3}$ В = $0,02$ В

Найти:

Индуктивность проводника, $L$ - ?

Решение:

Явление самоиндукции заключается в возникновении ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении протекающего через контур тока. Величина ЭДС самоиндукции (${\mathcal{E}}_{si}$) прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в проводнике. Эта зависимость выражается формулой:

${\mathcal{E}}_{si} = \left| -L \frac{\Delta I}{\Delta t} \right| = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$

где $L$ – индуктивность проводника, являющаяся коэффициентом пропорциональности, $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ – скорость изменения силы тока.

Из этой формулы выразим индуктивность $L$:

$L = \frac{{\mathcal{E}}_{si}}{\frac{\Delta I}{\Delta t}} = \frac{{\mathcal{E}}_{si} \cdot \Delta t}{\Delta I}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$L = \frac{0,02 \text{ В} \cdot 0,25 \text{ с}}{2 \text{ А}} = \frac{0,005 \text{ В} \cdot \text{с}}{2 \text{ А}} = 0,0025 \text{ Гн}$

Результат можно представить в миллигенри (мГн), учитывая, что 1 Гн = 1000 мГн:

$L = 0,0025 \text{ Гн} = 2,5 \text{ мГн}$

Ответ: индуктивность проводника равна $2,5$ мГн.

934. Какая ЭДС самоиндукции возбуждается в обмотке электромагнита индуктивностью 0,4 Гн при равномерном изменении силы тока в ней на 5 А за 0,02 с?

Дано:

Индуктивность обмотки, $L = 0,4$ Гн

Изменение силы тока, $\Delta I = 5$ А

Промежуток времени, $\Delta t = 0,02$ с

Найти:

ЭДС самоиндукции, $E_{si}$

Решение:

Явление возникновения ЭДС в проводящем контуре при изменении силы тока в нём называется самоиндукцией. Величина ЭДС самоиндукции ($E_{si}$) прямо пропорциональна индуктивности контура ($L$) и скорости изменения силы тока в нём ($\frac{\Delta I}{\Delta t}$).

Формула для расчета ЭДС самоиндукции имеет вид:

$E_{si} = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$

Знак «минус» в формуле соответствует правилу Ленца, согласно которому индукционный ток всегда направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток. В данной задаче требуется найти абсолютное значение (модуль) ЭДС, поэтому знак «минус» можно опустить.

$|E_{si}| = L \left| \frac{\Delta I}{\Delta t} \right|$

Все величины даны в системе СИ, поэтому можно подставить числовые значения в формулу:

$|E_{si}| = 0,4 \text{ Гн} \cdot \frac{5 \text{ А}}{0,02 \text{ с}}$

Выполним вычисления:

$|E_{si}| = 0,4 \cdot 250 = 100 \text{ В}$

Ответ: в обмотке электромагнита возбуждается ЭДС самоиндукции, равная $100$ В.

935. Почему отключение от питающей сети мощных электродвигателей производят плавно и медленно при помощи реостата?

Обмотки мощных электродвигателей обладают большой индуктивностью. Это связано с тем, что они состоят из катушек, содержащих большое количество витков провода. Ключевым свойством любого элемента с индуктивностью является его способность противодействовать изменению силы тока, протекающего через него. Это явление называется электромагнитной самоиндукцией.

При любом изменении силы тока $I$ в цепи, содержащей индуктивность $L$ (в данном случае — обмотку двигателя), возникает электродвижущая сила (ЭДС) самоиндукции. Её величина определяется формулой:

$\mathcal{E}_{si} = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$

Здесь $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ — это скорость изменения силы тока. Знак «минус» указывает на то, что ЭДС самоиндукции всегда направлена так, чтобы противодействовать изменению тока (правило Ленца).

Если попытаться отключить мощный двигатель от сети резко, просто разомкнув цепь выключателем, то сила тока в обмотке должна будет упасть с большого рабочего значения до нуля за очень короткий промежуток времени $\Delta t \to 0$. Это приведёт к тому, что скорость изменения тока $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ станет чрезвычайно большой. В соответствии с формулой, в обмотке возникнет огромная ЭДС самоиндукции, которая может в десятки раз превысить напряжение питающей сети.

Столь высокое напряжение способно ионизировать воздух между контактами выключателя в момент их размыкания, что приводит к возникновению мощной и устойчивой электрической дуги. Эта дуга фактически поддерживает ток в цепи, не давая ему прерваться, и при этом обладает очень высокой температурой. Она может расплавить и разрушить контакты выключателя, повредить изоляцию обмоток самого двигателя и стать причиной возгорания.

Чтобы избежать этих разрушительных последствий, отключение производят плавно и медленно при помощи реостата, включенного в цепь последовательно с двигателем. Постепенно увеличивая сопротивление реостата, силу тока в цепи уменьшают медленно. Благодаря этому скорость изменения тока $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ остается небольшой, и возникающая ЭДС самоиндукции не достигает опасных значений. После того как ток будет снижен до безопасного минимума, цепь можно полностью разомкнуть без риска возникновения дуги.

Ответ: Плавное и медленное отключение мощных электродвигателей с помощью реостата необходимо для предотвращения возникновения очень большой ЭДС самоиндукции. При резком разрыве цепи возникает огромная ЭДС, способная создать разрушительную электрическую дугу между контактами выключателя. Реостат позволяет плавно снизить ток, благодаря чему ЭДС самоиндукции не достигает опасных значений, и отключение происходит безопасно.

936. Последовательно с катушкой школьного трансформатора, надетой на разомкнутый сердечник, включена лампочка от карманного фонаря. В цепь подано такое напряжение, что лампочка горит в полный накал. Как изменяется яркость лампочки, если:

а) сердечник замкнуть ярмом;

б) некоторое время держать ярмо неподвижным;

в) вынуть ярмо?

При возможности проверить на опыте, положив на сердечник спичку (иначе ярмо трудно оторвать от сердечника).

Решение

Данная электрическая цепь состоит из катушки индуктивности (элемент школьного трансформатора) и лампочки (резистора), соединенных последовательно и подключенных к источнику переменного тока (поскольку речь идет о трансформаторе). Яркость свечения лампочки зависит от мощности, выделяемой на ней, которая, в свою очередь, пропорциональна квадрату силы тока: $P = I^2 R$. Сила тока $I$ в цепи переменного тока определяется законом Ома для полной цепи: $I = \frac{U}{Z}$, где $U$ — напряжение источника, а $Z$ — полное сопротивление цепи (импеданс).

Импеданс для последовательной RL-цепи вычисляется по формуле: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, где $R$ — активное сопротивление (в основном, сопротивление нити накала лампочки), а $X_L$ — индуктивное сопротивление катушки. Индуктивное сопротивление прямо пропорционально индуктивности катушки $L$ и частоте переменного тока $f$: $X_L = \omega L = 2\pi f L$.

Индуктивность катушки $L$ зависит от ее геометрических размеров и, что ключевое для этой задачи, от магнитной проницаемости $\mu$ сердечника. Чем выше магнитная проницаемость материала внутри катушки, тем больше ее индуктивность. У ферромагнетиков (из которых сделан сердечник) магнитная проницаемость в сотни и тысячи раз больше, чем у воздуха.

Изначально сердечник разомкнут, это означает, что путь для магнитных силовых линий частично проходит через воздух. Магнитное сопротивление цепи велико, а эффективная магнитная проницаемость и, следовательно, индуктивность катушки $L$ относительно малы.

а) сердечник замкнуть ярмом

Когда мы замыкаем сердечник ярмом (которое также является ферромагнетиком), мы создаем замкнутый путь для магнитного потока, почти полностью проходящий через ферромагнитный материал. Это приводит к резкому увеличению эффективной магнитной проницаемости $\mu$ сердечника.
1. Увеличение $\mu$ вызывает значительное увеличение индуктивности катушки $L$.
2. Увеличение индуктивности $L$ приводит к увеличению индуктивного сопротивления $X_L = \omega L$.
3. Увеличение $X_L$ приводит к увеличению общего импеданса цепи $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
4. В результате увеличения импеданса $Z$ сила тока в цепи $I = U/Z$ уменьшается.
5. Уменьшение силы тока приводит к уменьшению мощности $P = I^2 R$, выделяемой на лампочке, и, как следствие, к уменьшению ее яркости. Лампочка станет гореть тусклее или может совсем погаснуть.

Ответ: Яркость лампочки уменьшится.

б) некоторое время держать ярмо неподвижным

После того как ярмо установлено и находится в неподвижном состоянии, все параметры электрической цепи (индуктивность, импеданс) стабилизируются на новых значениях. Индуктивность катушки остается постоянно высокой, импеданс цепи также остается постоянным (и высоким), а ток в цепи — постоянным (и низким). Поскольку сила тока не меняется, мощность, выделяемая на лампочке, также остается неизменной. Следовательно, яркость свечения лампочки не будет изменяться.

Ответ: Яркость лампочки изменяться не будет (она будет оставаться на том же низком уровне, который установился в пункте а).

в) вынуть ярмо

Когда мы вынимаем ярмо, мы возвращаем систему в первоначальное состояние с разомкнутым сердечником. Путь для магнитного потока снова размыкается и частично проходит через воздух.
1. Эффективная магнитная проницаемость $\mu$ сердечника резко уменьшается.
2. Уменьшение $\mu$ вызывает уменьшение индуктивности катушки $L$ до ее исходного значения.
3. Уменьшение индуктивности $L$ приводит к уменьшению индуктивного сопротивления $X_L$.
4. Уменьшение $X_L$ приводит к уменьшению общего импеданса цепи $Z$.
5. В результате уменьшения импеданса $Z$ сила тока в цепи $I = U/Z$ увеличивается до своего первоначального значения.
6. Увеличение силы тока приводит к увеличению яркости лампочки до ее исходного состояния (полный накал).

Ответ: Яркость лампочки увеличится до первоначальной.