Страница 119 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

900. Деталь надо покрыть слоем хрома толщиной $50 \text{ мкм}$. Сколько времени потребуется для покрытия, если норма плотности тока1 при хромировании $2 \text{ кА}/\text{м}^2$?

Дано:

Толщина слоя хрома, $h = 50$ мкм
Плотность тока, $j = 2$ кА/м²
Плотность хрома, $\rho \approx 7200$ кг/м³ (табличное значение)
Электрохимический эквивалент хрома, $k$. При хромировании из соединений шестивалентного хрома (наиболее распространенный способ) валентность $z=6$.
Молярная масса хрома, $M = 52 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Постоянная Фарадея, $F \approx 96485$ Кл/моль

Перевод в систему СИ:

$h = 50 \cdot 10^{-6}$ м
$j = 2 \cdot 10^{3}$ А/м²

Найти:

Время покрытия, $t$

Решение:

Процесс хромирования основан на явлении электролиза. Согласно объединенному закону Фарадея, масса вещества $m$, выделившегося на электроде, определяется по формуле:

$m = k \cdot I \cdot t$

где $k$ — электрохимический эквивалент вещества, $I$ — сила тока, $t$ — время.

Массу нанесенного слоя хрома можно выразить через его плотность $\rho$, площадь поверхности детали $S$ и толщину слоя $h$:

$m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot h$

Силу тока $I$ можно выразить через плотность тока $j$ и площадь поверхности $S$:

$I = j \cdot S$

Приравняем выражения для массы и подставим выражение для силы тока:

$\rho \cdot S \cdot h = k \cdot (j \cdot S) \cdot t$

Площадь поверхности $S$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Это означает, что время нанесения покрытия заданной толщины не зависит от площади детали, а только от плотности тока.

$\rho \cdot h = k \cdot j \cdot t$

Отсюда выразим искомое время $t$:

$t = \frac{\rho \cdot h}{k \cdot j}$

Электрохимический эквивалент $k$ найдем по формуле:

$k = \frac{M}{z \cdot F}$

Для хрома, осаждаемого из раствора его шестивалентных соединений, валентность $z=6$.

$k = \frac{52 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \approx \frac{52 \cdot 10^{-3}}{578910} \approx 8.98 \cdot 10^{-8}$ кг/Кл

Для удобства расчетов можно использовать округленное значение $k \approx 9 \cdot 10^{-8}$ кг/Кл.

Теперь подставим все известные значения в формулу для времени:

$t = \frac{7200 \text{ кг/м³} \cdot 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{9 \cdot 10^{-8} \text{ кг/Кл} \cdot 2 \cdot 10^{3} \text{ А/м²}} = \frac{7200 \cdot 50 \cdot 10^{-6}}{18 \cdot 10^{-5}} = \frac{360000 \cdot 10^{-6}}{18 \cdot 10^{-5}} = \frac{0.36}{0.00018} = 2000 \text{ с}$

Переведем полученное время в более удобные единицы — минуты и секунды:

$2000 \text{ с} = 33 \text{ мин } 20 \text{ с}$

Ответ: для покрытия детали слоем хрома толщиной 50 мкм потребуется $2000$ секунд, что составляет $33$ минуты $20$ секунд.

901. В технических справочниках по применению гальваностегии приводится величина $\frac{h}{jt}$, характеризующая скорость роста толщины $\text{h}$ покрытия при единичной плотности тока $\text{j}$. Доказать, что эта величина равна отношению электрохимического эквивалента $\text{k}$ данного металла к его плотности $\rho$.

Дано:

$h$ - толщина покрытия, м
$j$ - плотность тока, А/м²
$t$ - время, с
$k$ - электрохимический эквивалент металла, кг/Кл
$\rho$ - плотность металла, кг/м³
$m$ - масса осажденного на электроде вещества, кг
$I$ - сила тока, А
$S$ - площадь поверхности, на которую наносится покрытие, м²

Найти:

Доказать, что $\frac{h}{jt} = \frac{k}{\rho}$.

Решение:

Процесс гальваностегии (нанесения металлического покрытия) описывается законами электролиза Фарадея. Согласно первому закону Фарадея, масса вещества $m$, выделившегося на электроде, прямо пропорциональна электрическому заряду $q$, прошедшему через электролит:
$m = k \cdot q$
где $k$ - электрохимический эквивалент вещества.

Электрический заряд $q$ можно выразить через силу тока $I$ и время $t$, в течение которого он протекал:
$q = I \cdot t$
Подставив это выражение в закон Фарадея, получим:
$m = kIt$

Плотность тока $j$ по определению равна отношению силы тока $I$ к площади поверхности $S$, на которую наносится покрытие:
$j = \frac{I}{S}$
Отсюда можно выразить силу тока:
$I = jS$

Подставим выражение для силы тока в формулу для массы:
$m = k(jS)t = kjSt$

С другой стороны, массу осажденного металла можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $V$:
$m = \rho V$

Объем $V$ слоя покрытия толщиной $h$ на поверхности площадью $S$ (при условии равномерного покрытия) равен:
$V = Sh$

Тогда выражение для массы принимает вид:
$m = \rho Sh$

Теперь у нас есть два выражения для массы $m$. Приравняем их правые части:
$\rho Sh = kjSt$

Поскольку площадь покрытия $S$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $S$:
$\rho h = kjt$

Чтобы получить искомую величину $\frac{h}{jt}$, разделим обе части последнего равенства на произведение $jt$ и плотность $\rho$:
$\frac{\rho h}{\rho jt} = \frac{kjt}{\rho jt}$
$\frac{h}{jt} = \frac{k}{\rho}$
Таким образом, мы доказали, что величина $\frac{h}{jt}$, характеризующая скорость роста толщины покрытия, действительно равна отношению электрохимического эквивалента $k$ данного металла к его плотности $\rho$.

Ответ:

Доказано, что $\frac{h}{jt} = \frac{k}{\rho}$.

902. Используя решение предыдущей задачи, рассчитать толщину слоя, осевшего на изделие за 1 ч, при лужении (покрытии оловом) и серебрении. При лужении применяется плотность тока $1\text{ А}/\text{дм}^2$, а при серебрении — $0,5\text{ А}/\text{дм}^2$.

В условии задачи указано использовать решение предыдущей задачи. Вероятно, имеется в виду формула для расчета толщины слоя, нанесенного на изделие при электролизе. Выведем эту формулу.

Масса вещества $m$, выделившегося на электроде, согласно объединенному закону Фарадея, определяется как:

$m = \frac{M}{nF}It$

где $M$ – молярная масса вещества, $n$ – валентность ионов металла в электролите, $F$ – постоянная Фарадея ($F \approx 96485$ Кл/моль), $I$ – сила тока, $t$ – время электролиза.

С другой стороны, масса $m$ нанесенного слоя связана с его толщиной $h$, площадью покрытия $S$ и плотностью вещества $\rho$:

$m = \rho V = \rho S h$

Приравнивая два выражения для массы, получаем:

$\rho S h = \frac{M}{nF}It$

Отсюда можно выразить толщину слоя $h$. Разделим обе части на $\rho S$:

$h = \frac{MIt}{nF\rho S}$

В задаче дана плотность тока $j = \frac{I}{S}$. Подставив ее в формулу, получим итоговое выражение для расчета:

$h = \frac{Mjt}{nF\rho}$

Эту формулу будем использовать для расчетов для каждого случая.

Лужение (покрытие оловом)

Дано:

Время электролиза, $t = 1$ ч
Плотность тока, $j_{Sn} = 1$ А/дм²
Молярная масса олова, $M_{Sn} = 118,71$ г/моль
Плотность олова, $\rho_{Sn} = 7,31$ г/см³
Валентность олова в растворе, $n_{Sn} = 2$ (для солей Sn²⁺)

$t = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$
$j_{Sn} = 1 \frac{\text{А}}{\text{дм}^2} = 1 \frac{\text{А}}{(0,1 \text{ м})^2} = 100 \frac{\text{А}}{\text{м}^2}$
$M_{Sn} = 118,71 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0,11871 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$
$\rho_{Sn} = 7,31 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 7310 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Толщину слоя олова, $h_{Sn}$.

Решение:

Используем выведенную формулу для толщины слоя:

$h_{Sn} = \frac{M_{Sn}j_{Sn}t}{n_{Sn}F\rho_{Sn}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$h_{Sn} = \frac{0,11871 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 100 \frac{\text{А}}{\text{м}^2} \cdot 3600 \text{ с}}{2 \cdot 96485 \frac{\text{Кл}}{\text{моль}} \cdot 7310 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 3,029 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Переведем результат в микрометры (1 мкм = 10⁻⁶ м):

$3,029 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 30,29$ мкм.

Ответ: толщина слоя олова за 1 час составит примерно 30,3 мкм.

Серебрение

Дано:

Время электролиза, $t = 1$ ч
Плотность тока, $j_{Ag} = 0,5$ А/дм²
Молярная масса серебра, $M_{Ag} = 107,87$ г/моль
Плотность серебра, $\rho_{Ag} = 10,5$ г/см³
Валентность серебра, $n_{Ag} = 1$

$t = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$
$j_{Ag} = 0,5 \frac{\text{А}}{\text{дм}^2} = 0,5 \frac{\text{А}}{(0,1 \text{ м})^2} = 50 \frac{\text{А}}{\text{м}^2}$
$M_{Ag} = 107,87 \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0,10787 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$
$\rho_{Ag} = 10,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 10500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Толщину слоя серебра, $h_{Ag}$.

Решение:

Используем ту же формулу:

$h_{Ag} = \frac{M_{Ag}j_{Ag}t}{n_{Ag}F\rho_{Ag}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$h_{Ag} = \frac{0,10787 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 50 \frac{\text{А}}{\text{м}^2} \cdot 3600 \text{ с}}{1 \cdot 96485 \frac{\text{Кл}}{\text{моль}} \cdot 10500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 1,917 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Переведем результат в микрометры:

$1,917 \cdot 10^{-5} \text{ м} = 19,17$ мкм.

Ответ: толщина слоя серебра за 1 час составит примерно 19,2 мкм.

903. Какова сила тока насыщения при несамостоятельном газовом разряде, если ионизатор образует ежесекундно $10^9$ пар ионов в одном кубическом сантиметре? Площадь каждого из двух плоских параллельных электродов 100 $\text{см}^2$, расстояние между ними 5 $\text{см}$.

Дано:

Скорость образования пар ионов, $n = 10^9 \text{ пар/(см}^3 \cdot \text{с)}$
Площадь электродов, $S = 100 \text{ см}^2$
Расстояние между электродами, $d = 5 \text{ см}$
Элементарный заряд, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:
$n = 10^9 \frac{\text{пар}}{\text{см}^3 \cdot \text{с}} = 10^9 \frac{\text{пар}}{(10^{-2} \text{ м})^3 \cdot \text{с}} = 10^{15} \text{ м}^{-3}\text{с}^{-1}$
$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-2} \text{ м}^2$
$d = 5 \text{ см} = 5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Силу тока насыщения, $I_{н}$.

Решение:

Сила тока насыщения $I_{н}$ при несамостоятельном газовом разряде — это максимальный ток, который достигается, когда все носители заряда (ионы и электроны), генерируемые внешним ионизатором в объеме газа, достигают электродов. Этот ток равен полному заряду ионов одного знака, создаваемому в объеме газа за единицу времени.

Полное число ионных пар $N$, образующихся ежесекундно во всем объеме газа $V$ между электродами, равно: $N = n \cdot V$ где $n$ — скорость образования пар в единице объема в секунду.

Объем газа $V$ между двумя плоскими параллельными электродами равен произведению площади электрода $S$ на расстояние между ними $d$: $V = S \cdot d$

Тогда общее число пар, создаваемых в секунду, составляет: $N = n \cdot S \cdot d$

Ток насыщения равен общему заряду, проходящему через цепь в секунду, что равно общему заряду ионов одного знака, созданных в объеме за секунду: $I_{н} = N \cdot e = n \cdot S \cdot d \cdot e$

Подставим числовые значения в СИ: $I_{н} = (10^{15} \text{ м}^{-3}\text{с}^{-1}) \cdot (10^{-2} \text{ м}^2) \cdot (5 \cdot 10^{-2} \text{ м}) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})$

$I_{н} = (1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 1.6) \cdot 10^{(15 - 2 - 2 - 19)} \text{ А} = 8 \cdot 10^{-8} \text{ А}$

Этот результат можно выразить в наноамперах (1 нА = $10^{-9}$ А): $I_{н} = 80 \cdot 10^{-9} \text{ А} = 80 \text{ нА}$

Ответ: $8 \cdot 10^{-8} \text{ А}$.

904. При какой напряжённости поля начнётся самостоятельный разряд в водороде, если энергия ионизации молекул равна $2.5 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$, а средняя длина свободного пробега $5 \text{ мкм}$? Какую скорость имеют электроны при ударе о молекулу?

Дано:

Найти:

Решение:

При какой напряжённости поля начнётся самостоятельный разряд в водороде

Самостоятельный разряд в газе начинается при условии, что энергия, которую электрон приобретает на длине свободного пробега под действием электрического поля, достаточна для ионизации молекулы газа при столкновении.

Работа $A$ электрического поля по перемещению электрона на расстояние, равное средней длине свободного пробега $\lambda$, идёт на увеличение его кинетической энергии $W_k$. Эта работа вычисляется по формуле: $A = qEd$

Для электрона, заряд которого $q=e$, прошедшего путь $d=\lambda$, работа равна: $A = eE\lambda$

Эта работа должна быть равна энергии ионизации $W_i$, чтобы запустить процесс ионизации. Таким образом, для минимальной напряжённости поля $E$ справедливо равенство: $eE\lambda = W_i$

Отсюда выражаем искомую напряжённость поля $E$: $E = \frac{W_i}{e\lambda}$

Подставим числовые значения, где заряд электрона $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл: $E = \frac{2,5 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{2,5}{8} \cdot 10^7 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 0,3125 \cdot 10^7 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 3,125 \cdot 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: $3,125 \cdot 10^6$ В/м.

Какую скорость имеют электроны при ударе о молекулу

В момент удара о молекулу, приводящего к ионизации, кинетическая энергия электрона $W_k$ равна энергии ионизации $W_i$. $W_k = W_i = 2,5 \cdot 10^{-18}$ Дж

Кинетическая энергия связана со скоростью $v$ и массой электрона $m_e$ формулой: $W_k = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравнивая два выражения для энергии, получаем: $\frac{m_e v^2}{2} = W_i$

Отсюда выражаем скорость электрона $v$: $v = \sqrt{\frac{2W_i}{m_e}}$

Подставим числовые значения, где масса электрона $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг: $v = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 10^{-18}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{0,549 \cdot 10^{13}} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{5,49 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,34 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $2,34 \cdot 10^6$ м/с.

905. Расстояние между электродами в трубке, наполненной парами ртути, 10 см. Какова средняя длина свободного пробега электрона, если самостоятельный разряд наступает при напряжении 600 В? Энергия ионизации паров ртути $1,7 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$. Поле считать однородным.

Дано:

Расстояние между электродами $d = 10$ см

Напряжение зажигания разряда $U = 600$ В

Энергия ионизации паров ртути $W_i = 1,7 \cdot 10^{-18}$ Дж

В системе СИ:

$d = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Среднюю длину свободного пробега электрона $\lambda$.

Решение:

Самостоятельный газовый разряд возникает при условии, что кинетическая энергия $W_k$, которую электрон набирает на длине своего среднего свободного пробега $\lambda$, достаточна для ионизации атома газа (в данном случае, ртути) при столкновении. В момент начала разряда можно считать, что эта энергия в точности равна энергии ионизации $W_i$.

$W_k = W_i$

Кинетическую энергию электрон приобретает за счет работы, совершаемой над ним электрическим полем. Работа поля $A$ на пути $\lambda$ равна $W_k = A = F_{эл} \cdot \lambda$, где $F_{эл}$ — сила, действующая на электрон.

Сила, действующая на электрон в электрическом поле, определяется как $F_{эл} = e \cdot E$, где $e$ — элементарный заряд (примем $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл), а $E$ — напряженность электрического поля.

По условию задачи поле является однородным. В однородном поле напряженность связана с напряжением $U$ и расстоянием $d$ между электродами соотношением:

$E = \frac{U}{d}$

Таким образом, кинетическая энергия, которую электрон приобретает на длине свободного пробега $\lambda$, выражается формулой:

$W_k = e \cdot E \cdot \lambda = e \frac{U}{d} \lambda$

Приравнивая полученную энергию к энергии ионизации, получаем уравнение для нахождения $\lambda$:

$e \frac{U}{d} \lambda = W_i$

Отсюда выражаем среднюю длину свободного пробега:

$\lambda = \frac{W_i \cdot d}{e \cdot U}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\lambda = \frac{1,7 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \cdot 0,1 \text{ м}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 600 \text{ В}} = \frac{1,7 \cdot 10^{-19}}{960 \cdot 10^{-19}} \text{ м} = \frac{1,7}{960} \text{ м} \approx 0,00177 \text{ м}$

Ответ: средняя длина свободного пробега электрона равна $1,77 \cdot 10^{-3}$ м или $1,77$ мм.

906. Плоский конденсатор подключён к источнику напряжения $6 \text{ кВ}$. При каком расстоянии между пластинами произойдёт пробой, если ударная ионизация воздуха начинается при напряжённости поля $3 \text{ МВ/м}$?

Дано:

Напряжение источника, $U = 6 \text{ кВ} = 6 \cdot 10^3 \text{ В}$

Напряжённость поля, при которой начинается ударная ионизация (пробой), $E_{пробоя} = 3 \text{ МВ/м} = 3 \cdot 10^6 \text{ В/м}$

Найти:

Расстояние между пластинами, $d$.

Решение:

Электрическое поле внутри плоского конденсатора считается однородным. Связь между напряжением $U$ на пластинах конденсатора, напряжённостью электрического поля $E$ между ними и расстоянием $d$ между пластинами описывается формулой:

$U = E \cdot d$

Пробой воздуха между пластинами произойдёт в тот момент, когда напряжённость электрического поля $E$ достигнет своего критического значения, называемого электрической прочностью диэлектрика (в данном случае воздуха). Это значение дано в условии как напряжённость, при которой начинается ударная ионизация, то есть $E = E_{пробоя}$.

Подставив значение напряжённости пробоя в формулу, получим условие для возникновения пробоя:

$U = E_{пробоя} \cdot d$

Из этого соотношения мы можем выразить искомое расстояние $d$:

$d = \frac{U}{E_{пробоя}}$

Теперь подставим числовые значения, переведенные в систему СИ, и выполним расчёт:

$d = \frac{6 \cdot 10^3 \text{ В}}{3 \cdot 10^6 \text{ В/м}} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Результат можно представить в миллиметрах для большей наглядности:

$2 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2 \text{ мм}$

Ответ: пробой произойдёт при расстоянии между пластинами $2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$ (или $2 \text{ мм}$).

907. Если, не изменяя расстояния между разрядниками электрофорной машины и поддерживая примерно постоянную частоту обращения, отключить при помощи соединительного стержня конденсаторы (лейденские банки), то характер разряда существенно изменится: вместо мощной искры, проскакивающей через заметные промежутки времени, будет очень часто проскакивать слабая искра. Объяснить причину явления. При возможности проверить на опыте.

Решение

Это явление объясняется ролью конденсаторов (лейденских банок) в электрической цепи электрофорной машины, а именно их влиянием на общую электроемкость системы. Искровой разряд между разрядниками происходит, когда напряжение между ними достигает пробивного напряжения воздуха $U_{пр}$. Поскольку расстояние между разрядниками не изменяется, величина $U_{пр}$ остается постоянной в обоих случаях.

С подключенными конденсаторами общая электроемкость системы $C_1$ велика. Электрофорная машина, вращаясь с постоянной частотой, генерирует заряд с примерно постоянной скоростью. Чтобы зарядить систему с большой емкостью $C_1$ до пробивного напряжения $U_{пр}$, необходимо накопить на ней значительный заряд $Q_1 = C_1 \cdot U_{пр}$. Накопление этого большого заряда требует заметного времени. Энергия, выделяющаяся при разряде, $W_1 = \frac{1}{2}C_1 U_{пр}^2$, также велика, поэтому разряд получается мощным и происходит через заметные промежутки времени.

Когда конденсаторы отключают, общая емкость системы $C_2$ становится очень маленькой, равной лишь собственной емкости разрядников и других частей машины ($C_2 \ll C_1$). Теперь для достижения того же самого пробивного напряжения $U_{пр}$ требуется накопить гораздо меньший заряд: $Q_2 = C_2 \cdot U_{пр}$. Поскольку скорость накопления заряда осталась прежней, это малое количество заряда накапливается очень быстро, что приводит к частым разрядам. Энергия каждого такого разряда, $W_2 = \frac{1}{2}C_2 U_{пр}^2$, оказывается очень малой, поэтому наблюдается слабая, но частая искра.

Таким образом, лейденские банки служат накопителями заряда, позволяя собрать большое его количество для одного мощного разряда. Без них заряд "сбрасывается" малыми порциями, как только его оказывается достаточно для пробоя воздушного промежутка.

Ответ: Причина изменения характера разряда заключается в изменении электроемкости системы. Подключенные конденсаторы (лейденские банки) значительно увеличивают общую электроемкость. Для зарядки системы с большой емкостью до пробивного напряжения требуется накопить большой заряд, что занимает много времени и приводит к выделению большой энергии при разряде (мощная редкая искра). При отключении конденсаторов емкость системы становится очень малой. Она быстро заряжается до того же пробивного напряжения, требуя лишь небольшого заряда. В результате разряды становятся очень частыми, но малоэнергетичными (слабая частая искра).