Страница 117 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

885. В электронно-лучевой трубке поток электронов ускоряется полем с разностью потенциалов $U = 5 \text{ кВ}$ и попадает в пространство между вертикально отклоняющими пластинами длиной $x = 5 \text{ см}$, напряжённость поля между которыми $E = 40 \text{ кВ/м}$. Найти вертикальное смещение $y$ луча на выходе из пространства между пластинами.

Дано:

Разность потенциалов ускоряющего поля $U = 5 \text{ кВ} = 5 \times 10^3 \text{ В}$
Длина отклоняющих пластин $x = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
Напряжённость поля между пластинами $E = 40 \text{ кВ/м} = 40 \times 10^3 \text{ В/м}$
Заряд электрона $e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$
Масса электрона $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Найти:

Вертикальное смещение $y$.

Решение:

Движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений: равномерного движения вдоль оси X (параллельно пластинам) и равноускоренного движения вдоль оси Y (перпендикулярно пластинам), так как начальная скорость электрона направлена вдоль оси X.

1. Сначала найдём скорость $v_x$, с которой электрон влетает в пространство между пластинами. Электрон ускоряется разностью потенциалов $U$. По закону сохранения энергии (или теореме о кинетической энергии), работа электрического поля идёт на увеличение кинетической энергии электрона: $eU = \frac{m_e v_x^2}{2}$ Из этой формулы выразим квадрат скорости $v_x^2$: $v_x^2 = \frac{2eU}{m_e}$

2. В пространстве между пластинами на электрон действует постоянная электрическая сила $F_y$ в вертикальном направлении (вдоль оси Y): $F_y = eE$ Согласно второму закону Ньютона, эта сила придаёт электрону ускорение $a_y$: $a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$

3. Время полёта $t$ электрона между пластинами длиной $x$ определяется его постоянной горизонтальной скоростью $v_x$: $t = \frac{x}{v_x}$

4. За это время $t$ электрон смещается по вертикали на расстояние $y$. Так как начальная вертикальная скорость равна нулю, смещение определяется формулой для равноускоренного движения: $y = \frac{a_y t^2}{2}$

5. Теперь объединим полученные формулы. Подставим выражения для $a_y$ и $t$ в формулу для $y$: $y = \frac{1}{2} \left( \frac{eE}{m_e} \right) \left( \frac{x}{v_x} \right)^2 = \frac{eEx^2}{2m_e v_x^2}$

6. В это выражение подставим найденное ранее выражение для $v_x^2 = \frac{2eU}{m_e}$: $y = \frac{eEx^2}{2m_e \left( \frac{2eU}{m_e} \right)} = \frac{eEx^2}{4eU}$ Сократив заряд электрона $e$ и массу $m_e$, получаем итоговую расчётную формулу: $y = \frac{Ex^2}{4U}$

7. Подставим числовые значения в СИ в полученную формулу: $y = \frac{(40 \times 10^3 \text{ В/м}) \cdot (0.05 \text{ м})^2}{4 \cdot (5 \times 10^3 \text{ В})} = \frac{40 \times 10^3 \cdot 0.0025}{20 \times 10^3} = \frac{40 \cdot 0.0025}{20} = 2 \cdot 0.0025 = 0.005 \text{ м}$

Это значение можно перевести в миллиметры: $0.005 \text{ м} = 5 \text{ мм}$.

Ответ: вертикальное смещение луча $y$ равно $0.005 \text{ м}$ (или $5 \text{ мм}$).

886. Электрическую лампу включили в сеть последовательно с электролитической ванной, наполненной слабым раствором поваренной соли. Изменится ли накал лампы, если добавить в раствор ещё некоторое количество соли? При возможности проверить свой ответ на опыте.

Решение

Электрическая лампа и электролитическая ванна соединены последовательно. В такой цепи общее сопротивление $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений её отдельных элементов — лампы ($R_{л}$) и раствора электролита ($R_{р}$):

$R_{общ} = R_{л} + R_{р}$

Яркость (накал) лампы зависит от мощности $P$, выделяемой на ней. Мощность, в свою очередь, прямо пропорциональна квадрату силы тока $I$, протекающего через лампу: $P = I^2 \cdot R_{л}$. Поскольку сопротивление лампы $R_{л}$ является постоянной величиной, её яркость напрямую зависит от силы тока в цепи. Сила тока определяется законом Ома для всей цепи:

$I = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{R_{л} + R_{р}}$

где $U$ — напряжение в сети (также постоянное).

Электрический ток в растворе поваренной соли ($NaCl$) представляет собой упорядоченное движение ионов. При растворении в воде соль диссоциирует на положительные ионы натрия ($Na^+$) и отрицательные ионы хлора ($Cl^-$). Эти ионы являются носителями заряда. Сопротивление раствора зависит от концентрации этих ионов: чем выше концентрация, тем больше носителей заряда и тем ниже сопротивление раствора.

Изначально в ванне находится слабый раствор соли, что означает низкую концентрацию ионов и, следовательно, высокое сопротивление раствора $R_{р}$.

При добавлении в ванну дополнительного количества соли её концентрация в растворе увеличивается. Это приводит к увеличению числа ионов $Na^+$ и $Cl^-$, что вызывает уменьшение сопротивления раствора $R_{р}$.

Так как сопротивление раствора $R_{р}$ уменьшается, общее сопротивление цепи $R_{общ}$ также уменьшается. Согласно закону Ома, уменьшение общего сопротивления при постоянном напряжении $U$ приводит к увеличению силы тока $I$ в цепи.

Увеличение силы тока $I$ вызывает увеличение мощности $P$, выделяемой на лампе, что приводит к усилению её накала.

Ответ: Да, накал лампы изменится. Он усилится, то есть лампа будет гореть ярче.

887. Электрический ток пропускают через электролитическую ванну, наполненную раствором медного купороса. Угольные электроды погружены в раствор приблизительно на половину своей длины. Как изменится масса меди, выделяющейся на катоде за один и тот же небольшой промежуток времени, если:

а) заменить угольный анод медным такой же формы и объёма;

б) заменить угольный катод медным;

в) увеличить напряжение на электродах;

г) долить электролит той же концентрации;

д) увеличить концентрацию раствора;

е) сблизить электроды;

ж) уменьшить погружённую часть анода;

з) уменьшить погружённую часть катода;

и) нагреть раствор электролита? При возможности проверить сделанные выводы на опыте (о массе выделяющейся меди можно судить по показаниям амперметра).

Масса вещества, выделившегося на электроде при электролизе, определяется по первому закону Фарадея: $m = kIt$, где $k$ — электрохимический эквивалент вещества, $I$ — сила тока, $t$ — время электролиза. Поскольку по условию задачи время $t$ одно и то же, масса выделившейся меди $m$ прямо пропорциональна силе тока $I$. Силу тока в электролитической ванне можно определить по закону Ома для участка цепи с ЭДС: $I = \frac{U - \mathcal{E}_{pol}}{R}$, где $U$ — напряжение внешнего источника, $\mathcal{E}_{pol}$ — ЭДС поляризации, возникающая на электродах, а $R$ — сопротивление раствора электролита. Сопротивление электролита зависит от его удельного сопротивления $\rho$, расстояния между электродами $l$ и площади их погружённой части $S$ по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$. Проанализируем, как изменится сила тока и, соответственно, масса меди в каждом случае.

а) При замене инертного угольного анода на активный медный анод изменится химическая реакция на аноде. Вместо окисления воды ($2H_2O - 4e^- \rightarrow O_2 \uparrow + 4H^+$), будет происходить растворение меди ($Cu - 2e^- \rightarrow Cu^{2+}$). Процесс растворения меди требует значительно меньшей энергии, чем окисление воды. Это приводит к существенному уменьшению ЭДС поляризации $\mathcal{E}_{pol}$. Согласно закону Ома для участка цепи с ЭДС, сила тока $I = \frac{U - \mathcal{E}_{pol}}{R}$. Уменьшение $\mathcal{E}_{pol}$ приведёт к увеличению силы тока $I$. Так как масса выделившейся меди $m$ прямо пропорциональна силе тока ($m \propto I$), то масса меди увеличится.

Ответ: масса меди увеличится.

б) На катоде происходит процесс восстановления ионов меди: $Cu^{2+} + 2e^- \rightarrow Cu$. Этот процесс заключается в осаждении меди на поверхности катода. Материал катода (уголь или медь) выступает в качестве подложки, на которую осаждается медь. Природа материала катода в данном случае не оказывает существенного влияния на скорость реакции и на параметры электрической цепи ($U$, $R$, $\mathcal{E}_{pol}$). Поэтому сила тока $I$ не изменится, и, следовательно, масса выделившейся меди $m$ останется прежней.

Ответ: масса меди не изменится.

в) Сила тока в электролите определяется по формуле $I = \frac{U - \mathcal{E}_{pol}}{R}$. При увеличении напряжения $U$, подаваемого на электроды, и при неизменных других параметрах (сопротивление $R$ и ЭДС поляризации $\mathcal{E}_{pol}$), сила тока $I$ прямо пропорционально увеличится. Так как $m \propto I$, масса выделившейся меди увеличится.

Ответ: масса меди увеличится.

г) Изначально электроды погружены на половину своей длины. Если долить электролит, то глубина погружения электродов увеличится. Это приведёт к увеличению площади погруженной части электродов $S$. Сопротивление электролита определяется формулой $R = \rho \frac{l}{S}$. С увеличением площади $S$ сопротивление $R$ уменьшится. Уменьшение сопротивления при неизменном напряжении $U$ и ЭДС поляризации $\mathcal{E}_{pol}$ приведёт к увеличению силы тока $I = \frac{U - \mathcal{E}_{pol}}{R}$. Следовательно, масса выделившейся меди увеличится.

Ответ: масса меди увеличится.

д) Увеличение концентрации раствора медного купороса означает увеличение числа ионов-носителей заряда ($Cu^{2+}$ и $SO_4^{2-}$) в единице объёма. Это приводит к уменьшению удельного сопротивления электролита $\rho$. Сопротивление электролита $R = \rho \frac{l}{S}$ также уменьшится. Уменьшение сопротивления $R$ вызовет увеличение силы тока $I$. Следовательно, масса выделившейся меди увеличится.

Ответ: масса меди увеличится.

е) Если сблизить электроды, уменьшится расстояние между ними $l$. Сопротивление электролита $R = \rho \frac{l}{S}$ прямо пропорционально этому расстоянию. Уменьшение $l$ приведёт к уменьшению сопротивления $R$. Уменьшение сопротивления вызовет увеличение силы тока $I$. Следовательно, масса выделившейся меди увеличится.

Ответ: масса меди увеличится.

ж) Уменьшение погружённой части анода приведёт к уменьшению эффективной площади электродов $S$, через которую проходит электрический ток. Согласно формуле $R = \rho \frac{l}{S}$, уменьшение площади $S$ вызовет увеличение сопротивления электролита $R$. Увеличение сопротивления приведёт к уменьшению силы тока $I = \frac{U - \mathcal{E}_{pol}}{R}$. Следовательно, масса выделившейся меди на катоде уменьшится.

Ответ: масса меди уменьшится.

з) Уменьшение погружённой части катода, как и в предыдущем случае, ведёт к уменьшению эффективной площади электродов $S$. Это увеличивает сопротивление электролита $R = \rho \frac{l}{S}$. Увеличение сопротивления $R$ вызывает уменьшение силы тока $I$. Следовательно, масса выделившейся меди уменьшится.

Ответ: масса меди уменьшится.

и) При нагревании раствора электролита увеличивается скорость хаотического движения ионов, что приводит к увеличению их подвижности. В результате удельное сопротивление электролита $\rho$ уменьшается. Уменьшение $\rho$ ведёт к уменьшению общего сопротивления электролита $R = \rho \frac{l}{S}$. Уменьшение сопротивления $R$ приведёт к увеличению силы тока $I$. Следовательно, масса выделившейся меди увеличится.

Ответ: масса меди увеличится.

888. Две одинаковые электролитические ванны (А и В) наполнены раствором медного купороса. Концентрация раствора в ванне А больше, чем в ванне В. В какой из ванн выделится больше меди, если их соединить: последовательно; параллельно?

Основной принцип, который определяет массу вещества, выделяющегося на электроде, — это первый закон электролиза Фарадея. Согласно этому закону, масса вещества $m$ прямо пропорциональна электрическому заряду $q$, прошедшему через электролит:

$m = k \cdot q$

где $k$ — электрохимический эквивалент вещества. Так как заряд $q = I \cdot t$ (где $I$ — сила тока, $t$ — время), то формула принимает вид:

$m = k \cdot I \cdot t$

Электрохимический эквивалент $k$ для меди в обеих ваннах одинаков, и время электролиза $t$ для них тоже будет одинаковым в каждом из случаев. Следовательно, масса выделившейся меди будет прямо пропорциональна силе тока, протекающего через каждую ванну: $m \propto I$.

Также важно учесть, что сопротивление электролита зависит от концентрации раствора. Чем выше концентрация ионов (в данном случае ионов $Cu^{2+}$ и $SO_4^{2-}$), тем ниже электрическое сопротивление раствора. По условию, концентрация в ванне А ($C_A$) больше, чем в ванне В ($C_B$). Это означает, что сопротивление ванны А ($R_A$) меньше сопротивления ванны В ($R_B$): $C_A > C_B \implies R_A < R_B$.

последовательно

При последовательном соединении электрических элементов сила тока во всей цепи одинакова. Это означает, что ток, проходящий через ванну А ($I_A$), будет равен току, проходящему через ванну В ($I_B$):

$I_A = I_B$

Поскольку масса выделившейся меди прямо пропорциональна силе тока ($m \propto I$), а токи в ваннах равны, то и массы выделившейся меди также будут равны.

Ответ: при последовательном соединении в обеих ваннах выделится одинаковое количество меди.

параллельно

При параллельном соединении напряжение на обоих параллельных участках цепи одинаково:

$U_A = U_B = U$

Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока $I$ обратно пропорциональна сопротивлению $R$: $I = U/R$. Поскольку напряжение $U$ на обеих ваннах одинаково, а сопротивление ванны А меньше сопротивления ванны В ($R_A < R_B$), то сила тока, протекающего через ванну А, будет больше, чем сила тока через ванну В:

$I_A = \frac{U}{R_A}$

$I_B = \frac{U}{R_B}$

Так как $R_A < R_B$, то $I_A > I_B$.

Поскольку масса выделившейся меди пропорциональна силе тока ($m \propto I$), а ток в ванне А больше, то и меди в ней выделится больше.

Ответ: при параллельном соединении больше меди выделится в ванне А.

889. Построить график зависимости $i(t)$ и определить массу цинка, выделенного на катоде при электролизе водного раствора $ZnSO_4$ за 90 с, если сила тока в цепи за это время равномерно возрастала от 0 до 3 А.

Дано:

Найти:

Решение:

Решим задачу в двух частях, в соответствии с вопросом.

1. Построить график зависимости i(t)

Так как по условию сила тока $i$ возрастает равномерно со временем $t$, зависимость $i(t)$ является линейной. Общий вид уравнения для линейной функции: $i(t) = kt + b$, где $k$ – угловой коэффициент (скорость изменения тока), а $b$ – начальное значение тока.

В начальный момент времени $t = 0$ сила тока равна $i(0) = 0 \text{ А}$. Подставив эти значения в уравнение, найдем $b$: $0 = k \cdot 0 + b \implies b = 0$. Таким образом, уравнение упрощается до $i(t) = kt$.

В конечный момент времени $t = 90 \text{ с}$ сила тока достигает значения $i(90) = 3 \text{ А}$. Подставим эти данные, чтобы найти коэффициент $k$: $3 \text{ А} = k \cdot 90 \text{ с}$ $k = \frac{3}{90} \frac{\text{А}}{\text{с}} = \frac{1}{30} \frac{\text{А}}{\text{с}}$.

Следовательно, искомое уравнение зависимости силы тока от времени имеет вид: $i(t) = \frac{1}{30}t$.

Графиком данной функции является отрезок прямой линии, который начинается в начале координат (точка с координатами $(0; 0)$) и заканчивается в точке с координатами $(90; 3)$ на координатной плоскости $(t, i)$.

2. Определить массу цинка, выделенного на катоде

Массу вещества, выделившегося на электроде в процессе электролиза, определяют по объединенному закону Фарадея: $m = k_{э} \cdot q$, где $k_{э}$ – электрохимический эквивалент вещества, а $q$ – полный электрический заряд, прошедший через электролит.

Электрохимический эквивалент вычисляется по формуле: $k_{э} = \frac{M}{z \cdot F}$, где $M$ – молярная масса вещества, $z$ – число электронов, необходимых для восстановления одного иона, $F$ – постоянная Фарадея ($F \approx 96485 \text{ Кл/моль}$).

При электролизе водного раствора $ZnSO_4$ на катоде протекает реакция восстановления цинка: $Zn^{2+} + 2e^{-} \rightarrow Zn$. Из уравнения реакции следует, что для восстановления одного иона цинка требуется 2 электрона, то есть $z = 2$. Молярная масса цинка $M(Zn) \approx 65,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$.

Поскольку сила тока в цепи не постоянна, для нахождения заряда $q$ нельзя использовать простую формулу $q = I \cdot t$. Заряд $q$ равен площади фигуры под графиком зависимости $i(t)$. Как было установлено в первой части, этот график – прямоугольный треугольник.

Площадь треугольника (заряд) вычисляется как: $q = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot t_{общ} \cdot i_{max}$ $q = \frac{1}{2} \cdot 90 \text{ с} \cdot 3 \text{ А} = 135 \text{ Кл}$.

Теперь можно рассчитать массу выделившегося цинка, подставив все известные значения в закон Фарадея: $m_{Zn} = \frac{M}{z \cdot F} \cdot q$ $m_{Zn} = \frac{65,4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{2 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}} \cdot 135 \text{ Кл} \approx 0,339 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} \cdot 135 \text{ Кл} \approx 45,8 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$.

Переведем полученное значение в граммы: $45,8 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 0,0458 \text{ г}$. Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем $0,046 \text{ г}$.

Ответ:

1. Зависимость силы тока от времени описывается уравнением $i(t) = \frac{1}{30}t$ (для $t$ от $0$ до $90$ с). График этой зависимости – отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 0)$ и $(90; 3)$.

2. Масса цинка, выделившегося на катоде, составляет примерно $0,046 \text{ г}$.