Страница 111 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

843. Проводник ab, длина которого $l$ и масса $m$, подвешен на тонких проволочках. При прохождении по нему тока $I$ он отклонился в однородном магнитном поле (рис. 92) так, что нити образовали угол $\alpha$ с вертикалью. Какова индукция магнитного поля?

Рис. 92

Дано:

длина проводника: $l$

масса проводника: $m$

сила тока в проводнике: $I$

угол отклонения нитей от вертикали: $\alpha$

ускорение свободного падения: $g$

Найти:

индукция магнитного поля: $B$

Решение:

Когда проводник отклоняется и застывает в равновесии, на него действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_т}$, суммарная сила натяжения проволочек $\vec{T}$ и сила Ампера $\vec{F_A}$.

1. Сила тяжести $\vec{F_т}$ направлена вертикально вниз, ее модуль равен $F_т = mg$.

2. Суммарная сила натяжения проволочек $\vec{T}$ направлена вдоль нитей под углом $\alpha$ к вертикали.

3. Сила Ампера $\vec{F_A}$ действует со стороны магнитного поля на проводник с током. Согласно рисунку, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен перпендикулярно плоскости рисунка "от нас" (обозначено крестиками). Ток $I$ течет по проводнику, который находится в этой плоскости. Следовательно, угол между направлением тока и вектором $\vec{B}$ равен $90^\circ$. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле $F_A = I l B \sin(90^\circ) = I l B$. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы вектор $\vec{B}$ входил в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока $I$ (от a к b), то отогнутый на $90^\circ$ большой палец укажет направление силы $\vec{F_A}$. В данном случае сила Ампера направлена горизонтально вправо.

Поскольку проводник находится в равновесии, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{F_т} + \vec{T} + \vec{F_A} = 0$

Для решения задачи введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально вправо. Запишем условие равновесия в проекциях на эти оси:

Проекция на ось OX: $T_x + F_{Ax} + F_{тx} = 0$

$T \sin(\alpha) - F_A + 0 = 0 \implies T \sin(\alpha) = F_A$

Проекция на ось OY: $T_y + F_{Ay} + F_{тy} = 0$

$T \cos(\alpha) + 0 - F_т = 0 \implies T \cos(\alpha) = F_т$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $T \sin(\alpha) = F_A$

2) $T \cos(\alpha) = F_т$

Чтобы исключить неизвестную силу натяжения $T$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{F_A}{F_т}$

$\tan(\alpha) = \frac{F_A}{F_т}$

Теперь подставим в это соотношение выражения для модулей силы Ампера ($F_A = I l B$) и силы тяжести ($F_т = mg$):

$\tan(\alpha) = \frac{I l B}{mg}$

Из этого уравнения выразим искомую величину индукции магнитного поля $B$:

$B = \frac{mg \tan(\alpha)}{I l}$

Ответ: $B = \frac{mg \tan(\alpha)}{I l}$

844. В проводнике с длиной активной части $8 \text{ см}$ сила тока равна $50 \text{ А}$. Он находится в однородном магнитном поле индукцией $20 \text{ мТл}$. Какую работу совершил источник тока, если проводник переместился на $10 \text{ см}$ перпендикулярно линиям индукции?

Дано:

Найти:

$A - ?$

Решение:

Работа, которую совершил источник тока ($A$), равна работе, которую совершила сила Ампера ($A_A$) при перемещении проводника в магнитном поле. Это следует из закона сохранения энергии: работа источника тока преобразуется в механическую работу по перемещению проводника.

Работа силы Ампера вычисляется по формуле:

$A = F_A \cdot s$

где $F_A$ – сила Ампера, а $s$ – расстояние, на которое переместился проводник. Сила и перемещение сонаправлены, так как движение происходит под действием этой силы.

Сила Ампера, действующая на прямой проводник с током в однородном магнитном поле, определяется выражением:

$F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\alpha)$

где $I$ – сила тока, $B$ – индукция магнитного поля, $l$ – длина активной части проводника, а $\alpha$ – угол между вектором магнитной индукции $B$ и направлением тока в проводнике.

Из условия задачи следует, что проводник переместился перпендикулярно линиям магнитной индукции. Направление силы Ампера, согласно правилу левой руки, всегда перпендикулярно как линиям индукции, так и направлению тока. Чтобы сила Ампера была направлена перпендикулярно линиям индукции, сам проводник (и ток в нем) должен быть расположен перпендикулярно этим линиям. В этом случае сила Ампера будет максимальна. Таким образом, мы принимаем, что угол $\alpha = 90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$.

Тогда формула для силы Ампера упрощается:

$F_A = I \cdot B \cdot l$

Подставим это выражение в формулу для работы:

$A = (I \cdot B \cdot l) \cdot s = I \cdot B \cdot l \cdot s$

Произведем вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:

$A = 50 \text{ А} \cdot 0.02 \text{ Тл} \cdot 0.08 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ м} = 0.008 \text{ Дж}$

Ответ: 0.008 Дж.

845. В какую сторону сместится под действием магнитного поля электронный луч в вакуумной трубке, изображённой на рисунке 93?

Рис. 93

Решение

Электронный луч представляет собой направленный поток отрицательно заряженных частиц — электронов. В вакуумной трубке, изображённой на рисунке, электроны испускаются катодом (К) и ускоряются к аноду (А), следовательно, вектор скорости электронов $\vec{v}$ направлен горизонтально вправо.

Вся область движения электронов находится в однородном магнитном поле, вектор индукции которого $\vec{B}$ направлен перпендикулярно плоскости рисунка от наблюдателя (вглубь листа). Это направление условно обозначается крестиками.

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Направление этой силы можно определить с помощью правила левой руки. Поскольку электрон имеет отрицательный заряд ($q < 0$), правило применяется следующим образом:

Нужно расположить левую руку так, чтобы четыре вытянутых пальца были направлены по вектору скорости электрона $\vec{v}$ (вправо), а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ входил в ладонь. Так как вектор $\vec{B}$ направлен в плоскость рисунка, ладонь должна быть обращена вверх (к наблюдателю). В этом случае отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Лоренца $\vec{F_L}$, действующей на электрон.

Применив правило, мы видим, что большой палец направлен вниз. Таким образом, на электронный луч действует сила, направленная вниз, которая и будет отклонять его от первоначальной прямолинейной траектории.

Ответ: Электронный луч сместится вниз.

846. Если к точкам C и D (рис. 94) тонкого металлического листа, по которому проходит электрический ток, подключить чувствительный гальванометр, то в случае наличия магнитного поля (направление линий магнитной индукции показано на рисунке) он покажет возникновение разности потенциалов. Объяснить причину появления разности потенциалов между точками C и D. Сравнить потенциалы этих точек.

Рис. 94

Возникновение разности потенциалов между точками C и D объясняется явлением, известным как эффект Холла. Электрический ток I в металлическом листе представляет собой упорядоченное движение свободных носителей заряда — электронов. По соглашению, направление тока (на рисунке — слева направо) противоположно направлению движения электронов. Следовательно, электроны в листе движутся со скоростью $\vec{v}$ справа налево.

Когда проводник с током помещается в магнитное поле, на каждый движущийся носитель заряда действует сила Лоренца. Направление этой силы определяется по формуле: $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$.

В данном случае:

• Заряд носителей (электронов) $q$ — отрицательный.
• Вектор скорости $\vec{v}$ направлен справа налево.
• Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен перпендикулярно листу, вниз.

Используя правило левой руки (или правило векторного произведения для правого винта), определим направление силы. Если бы заряд был положительным, то сила была бы направлена к краю D. Но так как заряд электрона отрицателен, сила Лоренца $\vec{F}_L$ направлена в противоположную сторону, то есть к краю листа, где находится точка C.

Под действием этой силы электроны отклоняются и скапливаются у края C, создавая там избыточный отрицательный заряд. Соответственно, на противоположном краю, у точки D, возникает недостаток электронов, что равносильно появлению избыточного положительного заряда. Такое разделение зарядов создает поперечное электрическое поле, направленное от D к C, и, как следствие, разность потенциалов между этими краями.

Так как в области точки D образуется избыточный положительный заряд, а в области точки C — отрицательный, потенциал точки D будет выше потенциала точки C.

Сравнение потенциалов:

Потенциал в точке D выше, чем потенциал в точке C. Математически это выражается как $\varphi_D > \varphi_C$.

Ответ: Причиной появления разности потенциалов между точками C и D является действие силы Лоренца на движущиеся в магнитном поле носители тока (электроны). Эта сила отклоняет электроны к краю C, в результате чего на этом краю скапливается отрицательный заряд, а на краю D — положительный. Потенциал точки D выше, чем потенциал точки C ($\varphi_D > \varphi_C$).