Страница 104 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

797. К цепи, показанной на рисунке 83, подведено напряжение 90 В. Сопротивление лампы $H_2$ равно сопротивлению лампы $H_1$, а сопротивление лампы $H_3$ в 4 раза больше сопротивления лампы $H_1$. Сила тока, потребляемая от источника, равна 0,5 А. Найти сопротивление каждой лампы, напряжение на лампах $H_1$ и $H_3$ и силу тока в них.

Дано:
Общее напряжение: $U = 90$ В
Общая сила тока: $I = 0,5$ А
Соотношение сопротивлений ламп H1 и H2: $R_2 = R_1$
Соотношение сопротивлений ламп H1 и H3: $R_3 = 4 R_1$
Схема соединения (согласно рисунку 83 к задачнику А.П. Рымкевича): лампа H1 соединена последовательно с участком, содержащим параллельно соединенные лампы H2 и H3.

Найти:
Сопротивления каждой лампы: $R_1$, $R_2$, $R_3$ - ?
Напряжение на лампах H1 и H3: $U_1$, $U_3$ - ?
Силу тока в лампах H1 и H3: $I_1$, $I_3$ - ?

Решение:

1. Сначала найдем общее сопротивление $R_{23}$ параллельного участка цепи, состоящего из ламп H2 и H3.$${1 \over R_{23}} = {1 \over R_2} + {1 \over R_3}$$Подставим в формулу известные из условия соотношения $R_2 = R_1$ и $R_3 = 4R_1$:$${1 \over R_{23}} = {1 \over R_1} + {1 \over 4R_1} = {4 \over 4R_1} + {1 \over 4R_1} = {5 \over 4R_1}$$Отсюда сопротивление параллельного участка:$$R_{23} = {4R_1 \over 5} = 0,8 R_1$$2. Лампа H1 соединена с этим участком последовательно, поэтому общее сопротивление всей цепи $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений $R_1$ и $R_{23}$:$$R_{общ} = R_1 + R_{23} = R_1 + 0,8 R_1 = 1,8 R_1$$3. Используя закон Ома для всей цепи $U = I \cdot R_{общ}$, мы можем найти $R_1$:$$90 \text{ В} = 0,5 \text{ А} \cdot (1,8 R_1)$$$$90 = 0,9 R_1$$$$R_1 = {90 \over 0,9} = 100 \text{ Ом}$$4. Теперь, зная $R_1$, мы можем найти сопротивления остальных ламп:$$R_2 = R_1 = 100 \text{ Ом}$$$$R_3 = 4 R_1 = 4 \cdot 100 \text{ Ом} = 400 \text{ Ом}$$5. Лампа H1 находится в неразветвленной части цепи, поэтому сила тока через нее равна общей силе тока в цепи:$$I_1 = I = 0,5 \text{ А}$$6. Напряжение на лампе H1 найдем по закону Ома для участка цепи:$$U_1 = I_1 \cdot R_1 = 0,5 \text{ А} \cdot 100 \text{ Ом} = 50 \text{ В}$$7. При последовательном соединении общее напряжение складывается из напряжений на отдельных участках. Напряжение на параллельном участке (H2 и H3) будет:$$U_{23} = U - U_1 = 90 \text{ В} - 50 \text{ В} = 40 \text{ В}$$8. При параллельном соединении напряжение на элементах одинаково, следовательно:$$U_2 = U_3 = U_{23} = 40 \text{ В}$$9. Силу тока в лампе H3 найдем по закону Ома для этого участка:$$I_3 = {U_3 \over R_3} = {40 \text{ В} \over 400 \text{ Ом}} = 0,1 \text{ А}$$

Исходя из проведенных расчетов, сопротивления ламп равны: $R_1=100$ Ом, $R_2=100$ Ом, $R_3=400$ Ом.

Ответ: сопротивление лампы H1 равно 100 Ом, лампы H2 – 100 Ом, лампы H3 – 400 Ом.

Рассчитанные значения напряжений на лампах H1 и H3: $U_1 = 50$ В, $U_3 = 40$ В.

Ответ: напряжение на лампе H1 равно 50 В, на лампе H3 – 40 В.

Рассчитанные значения силы тока в лампах H1 и H3: $I_1=0,5$ А, $I_3=0,1$ А.

Ответ: сила тока в лампе H1 равна 0,5 А, в лампе H3 – 0,1 А.

798. Резисторы сопротивлениями $R_1 = 1 \text{ Ом}$, $R_2 = 2 \text{ Ом}$, $R_3 = 3 \text{ Ом}$, $R_4 = 4 \text{ Ом}$ (рис. 84) подключены к источнику тока в точках: а) AB; б) AC; в) AD; г) BC; д) BD; е) CD.

Найти общее сопротивление цепи при каждом способе включения.

Рис. 84

Дано:

$R_1 = 1$ Ом
$R_2 = 2$ Ом
$R_3 = 3$ Ом
$R_4 = 4$ Ом

Найти:

$R_{общ}$ — общее сопротивление цепи для каждого случая подключения.

Решение:

а) Подключение к точкам A и B

При подключении к точкам А и В резистор $R_1$ оказывается соединен параллельно с участком цепи, состоящим из последовательно соединенных резисторов $R_4$, $R_3$ и $R_2$.
Найдем сопротивление этого последовательного участка $R_{432}$:
$R_{432} = R_4 + R_3 + R_2 = 4 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} = 9$ Ом.
Теперь найдем общее сопротивление $R_{AB}$ при параллельном соединении $R_1$ и $R_{432}$:
$R_{AB} = \frac{R_1 \cdot R_{432}}{R_1 + R_{432}} = \frac{1 \cdot 9}{1 + 9} = \frac{9}{10} = 0.9$ Ом.

Ответ: общее сопротивление цепи равно $0.9$ Ом.

б) Подключение к точкам A и C

При подключении к точкам А и С (по диагонали) образуются две параллельные ветви.
Первая ветвь (ABC) состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$. Ее сопротивление $R_{12}$:
$R_{12} = R_1 + R_2 = 1 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} = 3$ Ом.
Вторая ветвь (ADC) состоит из последовательно соединенных резисторов $R_4$ и $R_3$. Ее сопротивление $R_{43}$:
$R_{43} = R_4 + R_3 = 4 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} = 7$ Ом.
Общее сопротивление $R_{AC}$ равно сопротивлению параллельно соединенных ветвей $R_{12}$ и $R_{43}$:
$R_{AC} = \frac{R_{12} \cdot R_{43}}{R_{12} + R_{43}} = \frac{3 \cdot 7}{3 + 7} = \frac{21}{10} = 2.1$ Ом.

Ответ: общее сопротивление цепи равно $2.1$ Ом.

в) Подключение к точкам A и D

При подключении к точкам А и D резистор $R_4$ оказывается соединен параллельно с участком цепи, состоящим из последовательно соединенных резисторов $R_1$, $R_2$ и $R_3$.
Найдем сопротивление этого последовательного участка $R_{123}$:
$R_{123} = R_1 + R_2 + R_3 = 1 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} = 6$ Ом.
Теперь найдем общее сопротивление $R_{AD}$ при параллельном соединении $R_4$ и $R_{123}$:
$R_{AD} = \frac{R_4 \cdot R_{123}}{R_4 + R_{123}} = \frac{4 \cdot 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4$ Ом.

Ответ: общее сопротивление цепи равно $2.4$ Ом.

г) Подключение к точкам B и C

При подключении к точкам B и C резистор $R_2$ оказывается соединен параллельно с участком цепи, состоящим из последовательно соединенных резисторов $R_1$, $R_4$ и $R_3$.
Найдем сопротивление этого последовательного участка $R_{143}$:
$R_{143} = R_1 + R_4 + R_3 = 1 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} = 8$ Ом.
Теперь найдем общее сопротивление $R_{BC}$ при параллельном соединении $R_2$ и $R_{143}$:
$R_{BC} = \frac{R_2 \cdot R_{143}}{R_2 + R_{143}} = \frac{2 \cdot 8}{2 + 8} = \frac{16}{10} = 1.6$ Ом.

Ответ: общее сопротивление цепи равно $1.6$ Ом.

д) Подключение к точкам B и D

При подключении к точкам B и D (по диагонали) образуются две параллельные ветви.
Первая ветвь (BAD) состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_4$. Ее сопротивление $R_{14}$:
$R_{14} = R_1 + R_4 = 1 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} = 5$ Ом.
Вторая ветвь (BCD) состоит из последовательно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$. Ее сопротивление $R_{23}$:
$R_{23} = R_2 + R_3 = 2 \text{ Ом} + 3 \text{ Ом} = 5$ Ом.
Общее сопротивление $R_{BD}$ равно сопротивлению параллельно соединенных ветвей $R_{14}$ и $R_{23}$:
$R_{BD} = \frac{R_{14} \cdot R_{23}}{R_{14} + R_{23}} = \frac{5 \cdot 5}{5 + 5} = \frac{25}{10} = 2.5$ Ом.

Ответ: общее сопротивление цепи равно $2.5$ Ом.

е) Подключение к точкам C и D

При подключении к точкам C и D резистор $R_3$ оказывается соединен параллельно с участком цепи, состоящим из последовательно соединенных резисторов $R_2$, $R_1$ и $R_4$.
Найдем сопротивление этого последовательного участка $R_{214}$:
$R_{214} = R_2 + R_1 + R_4 = 2 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} = 7$ Ом.
Теперь найдем общее сопротивление $R_{CD}$ при параллельном соединении $R_3$ и $R_{214}$:
$R_{CD} = \frac{R_3 \cdot R_{214}}{R_3 + R_{214}} = \frac{3 \cdot 7}{3 + 7} = \frac{21}{10} = 2.1$ Ом.

Ответ: общее сопротивление цепи равно $2.1$ Ом.

799. Найти силу токов и напряжения в цепи (рис. 85), если амперметр показывает $2 \text{ А}$, а сопротивление резисторов $R_1 = 2 \text{ Ом},$ $R_2 = 10 \text{ Ом},$ $R_3 = 15 \text{ Ом},$ $R_4 = 4 \text{ Ом}.$

Рис. 85

Дано:

Показания амперметра: $I_A = 2 \text{ А}$
Сопротивление резистора $R_1 = 2 \text{ Ом}$
Сопротивление резистора $R_2 = 10 \text{ Ом}$
Сопротивление резистора $R_3 = 15 \text{ Ом}$
Сопротивление резистора $R_4 = 4 \text{ Ом}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силы токов: $I_1, I_2, I_3, I_4$ - ?
Напряжения: $U_1, U_2, U_3, U_4, U_{AB}$ - ?

Решение:

Амперметр в данной схеме включен последовательно с резистором $R_3$, следовательно, он показывает силу тока, протекающего через этот резистор: $I_3 = I_A = 2 \text{ А}$.

1. Зная силу тока и сопротивление на участке с резистором $R_3$, найдем напряжение на этом участке по закону Ома:

$U_3 = I_3 \cdot R_3 = 2 \text{ А} \cdot 15 \text{ Ом} = 30 \text{ В}$

2. Резисторы $R_2$ и $R_3$ соединены параллельно. При параллельном соединении напряжение на ветвях одинаково. Следовательно, напряжение на резисторе $R_2$ равно напряжению на $R_3$:

$U_2 = U_3 = 30 \text{ В}$

3. Теперь, зная напряжение на резисторе $R_2$ и его сопротивление, найдем силу тока $I_2$ в этой ветви:

$I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{30 \text{ В}}{10 \text{ Ом}} = 3 \text{ А}$

4. Резисторы $R_1$ и $R_4$ соединены последовательно со всем участком, где $R_2$ и $R_3$ включены параллельно. Общий ток $I_{общ}$, протекающий через $R_1$ и $R_4$, равен сумме токов в параллельных ветвях (согласно первому правилу Кирхгофа):

$I_{общ} = I_1 = I_4 = I_2 + I_3 = 3 \text{ А} + 2 \text{ А} = 5 \text{ А}$

5. Найдем падения напряжения на резисторах $R_1$ и $R_4$, через которые протекает общий ток:

$U_1 = I_1 \cdot R_1 = 5 \text{ А} \cdot 2 \text{ Ом} = 10 \text{ В}$

$U_4 = I_4 \cdot R_4 = 5 \text{ А} \cdot 4 \text{ Ом} = 20 \text{ В}$

6. Общее напряжение в цепи между точками А и В ($U_{AB}$) равно сумме напряжений на последовательно соединенных участках: на резисторе $R_1$, на параллельном участке ($U_{23} = U_2 = U_3$) и на резисторе $R_4$.

$U_{AB} = U_1 + U_{23} + U_4 = 10 \text{ В} + 30 \text{ В} + 20 \text{ В} = 60 \text{ В}$

Ответ: Силы токов:
- Ток через $R_1$: $I_1 = 5 \text{ А}$;
- Ток через $R_2$: $I_2 = 3 \text{ А}$;
- Ток через $R_3$: $I_3 = 2 \text{ А}$;
- Ток через $R_4$: $I_4 = 5 \text{ А}$.
Напряжения:
- Напряжение на $R_1$: $U_1 = 10 \text{ В}$;
- Напряжение на $R_2$: $U_2 = 30 \text{ В}$;
- Напряжение на $R_3$: $U_3 = 30 \text{ В}$;
- Напряжение на $R_4$: $U_4 = 20 \text{ В}$;
- Общее напряжение в цепи: $U_{AB} = 60 \text{ В}$.

800. В цепь (рис. 86) подано напряжение 100 В. Сопротивление каждого резистора равно 21 Ом. Найти общее сопротивление цепи, а также распределение токов и напряжений.

Рис. 86

Дано:

$U = 100$ В
$R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R_5 = R_6 = R = 21$ Ом

Найти:

$R_{общ}$ - ?
$I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6$ - ?
$U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6$ - ?

Решение:

Для решения задачи необходимо сначала определить эквивалентное (общее) сопротивление цепи, а затем, используя закон Ома, найти токи и напряжения на каждом элементе. Представленная схема является смешанным соединением резисторов. Резисторы $R_1$ и $R_2$ включены последовательно с центральным участком цепи. Этот центральный участок состоит из резистора $R_3$, который соединен параллельно с ветвью, содержащей последовательно соединенные резисторы $R_4, R_5, R_6$.

Общее сопротивление цепи

1. Сначала найдем сопротивление участка с последовательно соединенными резисторами $R_4, R_5, R_6$. Обозначим его $R_{456}$.
$R_{456} = R_4 + R_5 + R_6 = 21 + 21 + 21 = 63$ Ом.

2. Далее найдем сопротивление параллельного участка, состоящего из резистора $R_3$ и участка $R_{456}$. Обозначим его $R_{3-6}$.
$R_{3-6} = \frac{R_3 \cdot R_{456}}{R_3 + R_{456}} = \frac{21 \text{ Ом} \cdot 63 \text{ Ом}}{21 \text{ Ом} + 63 \text{ Ом}} = \frac{1323}{84}$ Ом $= 15.75$ Ом.

3. Общее сопротивление всей цепи $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений последовательно соединенных резисторов $R_1, R_2$ и участка $R_{3-6}$.
$R_{общ} = R_1 + R_{3-6} + R_2 = 21 \text{ Ом} + 15.75 \text{ Ом} + 21 \text{ Ом} = 57.75$ Ом.

Ответ: Общее сопротивление цепи равно $57.75$ Ом.

Распределение токов и напряжений

1. Зная общее сопротивление и напряжение, поданное на цепь, найдем общий ток $I_{общ}$ по закону Ома.
$I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{100 \text{ В}}{57.75 \text{ Ом}} = \frac{100}{231/4}$ А $= \frac{400}{231}$ А.

2. Резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно, поэтому через них протекает общий ток цепи.
$I_1 = I_2 = I_{общ} = \frac{400}{231}$ А $\approx 1.732$ А.
Падение напряжения на них:
$U_1 = I_1 \cdot R_1 = \frac{400}{231} \text{ А} \cdot 21 \text{ Ом} = \frac{400}{11}$ В $\approx 36.36$ В.
$U_2 = I_2 \cdot R_2 = \frac{400}{231} \text{ А} \cdot 21 \text{ Ом} = \frac{400}{11}$ В $\approx 36.36$ В.

3. Напряжение на параллельном участке $R_{3-6}$ равно:
$U_{3-6} = I_{общ} \cdot R_{3-6} = \frac{400}{231} \text{ А} \cdot 15.75 \text{ Ом} = \frac{400}{231} \cdot \frac{63}{4}$ В $= \frac{300}{11}$ В $\approx 27.27$ В.
Это напряжение одинаково для обеих параллельных ветвей, поэтому напряжение на резисторе $R_3$:
$U_3 = U_{3-6} = \frac{300}{11}$ В $\approx 27.27$ В.

4. Ток через резистор $R_3$:
$I_3 = \frac{U_3}{R_3} = \frac{300/11 \text{ В}}{21 \text{ Ом}} = \frac{300}{231}$ А $= \frac{100}{77}$ А $\approx 1.299$ А.

5. Ток через последовательную ветвь $R_4, R_5, R_6$:
$I_{456} = \frac{U_{3-6}}{R_{456}} = \frac{300/11 \text{ В}}{63 \text{ Ом}} = \frac{300}{11 \cdot 63}$ А $= \frac{100}{11 \cdot 21}$ А $= \frac{100}{231}$ А $\approx 0.433$ А.
Так как $R_4, R_5, R_6$ соединены последовательно, токи в них равны:
$I_4 = I_5 = I_6 = I_{456} = \frac{100}{231}$ А $\approx 0.433$ А.

6. Падение напряжения на резисторах $R_4, R_5, R_6$. Так как их сопротивления равны, напряжения на них также будут равны:
$U_4 = I_4 \cdot R_4 = \frac{100}{231} \text{ А} \cdot 21 \text{ Ом} = \frac{100}{11}$ В $\approx 9.09$ В.
$U_5 = I_5 \cdot R_5 = \frac{100}{11}$ В $\approx 9.09$ В.
$U_6 = I_6 \cdot R_6 = \frac{100}{11}$ В $\approx 9.09$ В.

Ответ:
Токи: $I_1 = I_2 = \frac{400}{231}$ А $\approx 1.732$ А; $I_3 = \frac{100}{77}$ А $\approx 1.299$ А; $I_4 = I_5 = I_6 = \frac{100}{231}$ А $\approx 0.433$ А.
Напряжения: $U_1 = U_2 = \frac{400}{11}$ В $\approx 36.36$ В; $U_3 = \frac{300}{11}$ В $\approx 27.27$ В; $U_4 = U_5 = U_6 = \frac{100}{11}$ В $\approx 9.09$ В.

801*. Имеются источник тока напряжением $6 \text{ В}$, реостат сопротивлением $30 \text{ Ом}$ и две лампочки, на которых написано: $3,5 \text{ В}$, $0,35 \text{ А}$ и $2,5 \text{ В}$, $0,5 \text{ А}$. Как собрать цепь, чтобы лампочки работали в нормальном режиме?

Дано:

Напряжение источника тока: $U_{ист} = 6 \text{ В}$

Максимальное сопротивление реостата: $R_{р\_max} = 30 \text{ Ом}$

Параметры первой лампочки (Л1): $U_1 = 3.5 \text{ В}$, $I_1 = 0.35 \text{ А}$

Параметры второй лампочки (Л2): $U_2 = 2.5 \text{ В}$, $I_2 = 0.5 \text{ А}$

Найти:

Схему подключения элементов, при которой обе лампочки работают в нормальном режиме.

Решение:

Для того чтобы лампочки работали в нормальном режиме, через каждую из них должен протекать номинальный ток, и на каждой должно быть номинальное напряжение.

Рассчитаем сопротивления лампочек в рабочем режиме по закону Ома $R = U/I$:

Сопротивление первой лампочки: $R_1 = \frac{U_1}{I_1} = \frac{3.5 \text{ В}}{0.35 \text{ А}} = 10 \text{ Ом}$.

Сопротивление второй лампочки: $R_2 = \frac{U_2}{I_2} = \frac{2.5 \text{ В}}{0.5 \text{ А}} = 5 \text{ Ом}$.

Проанализируем возможные схемы соединений.

Простое последовательное соединение лампочек невозможно, так как для их нормальной работы требуются разные токи ($I_1 = 0.35 \text{ А}$, а $I_2 = 0.5 \text{ А}$), а при последовательном соединении ток в цепи одинаков.

Простое параллельное соединение лампочек также невозможно, так как для их нормальной работы требуются разные напряжения ($U_1 = 3.5 \text{ В}$, а $U_2 = 2.5 \text{ В}$), а при параллельном соединении напряжение на ветвях одинаково.

Следовательно, необходимо использовать смешанное соединение с реостатом.

Чтобы обеспечить разные токи для лампочек, нужно использовать параллельное соединение, но не для самих лампочек напрямую. Так как $I_1 \neq I_2$, одна из лампочек должна быть подключена параллельно с некоторым элементом (шунтом), чтобы разделить ток. Выберем в качестве общего тока в цепи больший из номинальных токов, то есть $I_{общ} = I_2 = 0.5 \text{ А}$. Это значит, что вторая лампочка (Л2) будет включена в неразветвленную, последовательную часть цепи.

Первая лампочка (Л1) потребляет меньший ток $I_1 = 0.35 \text{ А}$. Чтобы она работала в нормальном режиме при общем токе в $0.5 \text{ А}$, ее необходимо включить параллельно с реостатом. Реостат будет выполнять роль шунта, через который пойдет избыточный ток:

$I_р = I_{общ} - I_1 = 0.5 \text{ А} - 0.35 \text{ А} = 0.15 \text{ А}$

Для нормальной работы Л1 напряжение на ней (и на параллельном ей реостате) должно быть равно $U_1 = 3.5 \text{ В}$. Зная ток через реостат и напряжение на нем, найдем его требуемое сопротивление:

$R_р = \frac{U_1}{I_р} = \frac{3.5 \text{ В}}{0.15 \text{ А}} = \frac{350}{15} \text{ Ом} = \frac{70}{3} \text{ Ом} \approx 23.33 \text{ Ом}$

Поскольку $23.33 \text{ Ом} < 30 \text{ Ом}$, реостат можно настроить на такое сопротивление.

Теперь проверим, какое общее напряжение потребуется для такой схемы. Схема представляет собой последовательное соединение лампочки Л2 и блока, состоящего из параллельно соединенных Л1 и реостата.

Напряжение на параллельном блоке равно номинальному напряжению Л1: $U_{парал} = U_1 = 3.5 \text{ В}$.

Напряжение на лампочке Л2 в нормальном режиме: $U_2 = 2.5 \text{ В}$.

Общее напряжение цепи равно сумме напряжений на последовательных участках:

$U_{общ} = U_{парал} + U_2 = 3.5 \text{ В} + 2.5 \text{ В} = 6 \text{ В}$

Это значение в точности равно напряжению источника тока ($U_{ист} = 6 \text{ В}$). Следовательно, предложенная схема верна.

Ответ:

Чтобы обе лампочки работали в нормальном режиме, необходимо собрать следующую цепь: лампочку с параметрами 2,5 В, 0,5 А следует подключить последовательно с блоком, состоящим из параллельно соединенных лампочки (3,5 В, 0,35 А) и реостата. Сопротивление реостата необходимо установить на значение $R_р = \frac{70}{3} \text{ Ом} \approx 23.33 \text{ Ом}$. Вся цепь подключается к источнику тока напряжением 6 В.