Страница 100 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

766. В импульсной фотовспышке лампа питается от конденсатора ёмкостью 800 мкФ, заряженного до напряжения 300 В. Найти энергию вспышки и среднюю мощность, если продолжительность разрядки 2,4 мс.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 800$ мкФ

Напряжение, $U = 300$ В

Продолжительность разрядки, $t = 2,4$ мс

Перевод в систему СИ:

$C = 800 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 8 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}$

$t = 2,4 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

Энергию вспышки $W$ и среднюю мощность $P_{ср}$.

Решение:

Энергия вспышки лампы равна энергии, запасенной в конденсаторе. Энергия заряженного конденсатора вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U^2}{2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$W = \frac{(8 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}) \cdot (300 \text{ В})^2}{2} = \frac{8 \cdot 10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^4}{2} = \frac{72}{2} = 36 \text{ Дж}$

Средняя мощность вспышки определяется как отношение энергии вспышки ко времени, за которое эта энергия выделилась (продолжительности разрядки):

$P_{ср} = \frac{W}{t}$

Подставим найденное значение энергии и данное время разрядки:

$P_{ср} = \frac{36 \text{ Дж}}{2,4 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 15 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 15 \text{ кВт}$

Ответ: энергия вспышки $W = 36$ Дж; средняя мощность $P_{ср} = 15$ кВт.

767.Во сколько раз изменится энергия конденсатора при увеличении напряжения на нём в 4 раза?

Дано:

Начальное напряжение: $U_1$
Конечное напряжение: $U_2 = 4U_1$
Емкость конденсатора $C$ - постоянная величина.

Найти:

Во сколько раз изменится энергия конденсатора, то есть найти отношение $\frac{W_2}{W_1}$.

Решение:

Энергия электрического поля конденсатора определяется по формуле: $W = \frac{CU^2}{2}$ где $W$ – энергия, $C$ – электроемкость конденсатора, $U$ – напряжение на конденсаторе.

Начальная энергия конденсатора $W_1$ при напряжении $U_1$ равна: $W_1 = \frac{CU_1^2}{2}$

Конечная энергия конденсатора $W_2$ при напряжении $U_2$ равна: $W_2 = \frac{CU_2^2}{2}$

Согласно условию задачи, напряжение увеличилось в 4 раза, то есть $U_2 = 4U_1$. Подставим это значение в формулу для конечной энергии: $W_2 = \frac{C(4U_1)^2}{2} = \frac{C \cdot 16U_1^2}{2} = 16 \cdot \frac{CU_1^2}{2}$

Теперь найдем, во сколько раз изменилась энергия, для этого найдем отношение конечной энергии $W_2$ к начальной $W_1$: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{16 \cdot \frac{CU_1^2}{2}}{\frac{CU_1^2}{2}}$

Сократив дробь, получаем: $\frac{W_2}{W_1} = 16$

Следовательно, энергия конденсатора увеличилась в 16 раз.

Ответ: энергия конденсатора увеличится в 16 раз.

768. Ёмкость одного конденсатора в 9 раз больше ёмкости другого. На какой из этих конденсаторов надо подать большее напряжение, чтобы их энергия была одинаковой? во сколько раз большее?

Дано:

$C_1$ - ёмкость первого конденсатора
$C_2$ - ёмкость второго конденсатора
$U_1$ - напряжение на первом конденсаторе
$U_2$ - напряжение на втором конденсаторе
$W_1$ - энергия первого конденсатора
$W_2$ - энергия второго конденсатора
$C_1 = 9 \cdot C_2$
$W_1 = W_2$

Найти:

На какой конденсатор надо подать большее напряжение?
Во сколько раз большее напряжение?

Решение:

Энергия электрического поля, запасённая в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U^2}{2}$

где $C$ - ёмкость конденсатора, а $U$ - напряжение на его обкладках.

Запишем выражения для энергии каждого из двух конденсаторов:

$W_1 = \frac{C_1 U_1^2}{2}$

$W_2 = \frac{C_2 U_2^2}{2}$

По условию задачи, их энергии должны быть одинаковы, то есть $W_1 = W_2$. Приравняем правые части выражений:

$\frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{C_2 U_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$C_1 U_1^2 = C_2 U_2^2$

Из этого соотношения видно, что энергия прямо пропорциональна ёмкости и квадрату напряжения. Чтобы энергии были равны, на конденсатор с большей ёмкостью ($C_1$) нужно подать меньшее напряжение ($U_1$), а на конденсатор с меньшей ёмкостью ($C_2$) — большее напряжение ($U_2$). Поскольку по условию $C_1 = 9 C_2$, то $C_1 > C_2$, следовательно, $U_2 > U_1$. Таким образом, большее напряжение надо подать на второй конденсатор (с меньшей ёмкостью).

Теперь найдём, во сколько раз напряжение $U_2$ больше, чем $U_1$. Подставим в полученное равенство известное соотношение ёмкостей $C_1 = 9 \cdot C_2$:

$(9 \cdot C_2) \cdot U_1^2 = C_2 \cdot U_2^2$

Сократим $C_2$ в обеих частях уравнения (так как ёмкость не равна нулю):

$9 U_1^2 = U_2^2$

Найдём отношение квадратов напряжений:

$\frac{U_2^2}{U_1^2} = 9$

Чтобы найти отношение напряжений, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{9} = 3$

Это означает, что напряжение на конденсаторе с меньшей ёмкостью ($C_2$) должно быть в 3 раза больше, чем напряжение на конденсаторе с большей ёмкостью ($C_1$).

Ответ: большее напряжение надо подать на конденсатор с меньшей ёмкостью; напряжение должно быть в 3 раза больше.

769. Конденсатору ёмкостью 10 мкФ сообщили заряд 4 мкКл. Какова энергия заряженного конденсатора?

Дано:

Найти:

Энергию заряженного конденсатора $W$.

Решение:

Энергия заряженного конденсатора вычисляется по одной из трёх формул. В данном случае, когда известны заряд $q$ и ёмкость $C$, удобно использовать следующую формулу:

$W = \frac{q^2}{2C}$

Подставим данные значения, переведенные в систему СИ, в эту формулу:

$W = \frac{(4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})^2}{2 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{16 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2}{20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}$

Выполним вычисления:

$W = \frac{16}{20} \cdot 10^{-12 - (-6)} \text{ Дж} = 0.8 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Полученное значение можно также выразить в микроджоулях (мкДж), так как $1 \text{ мкДж} = 10^{-6} \text{ Дж}$.

$W = 0.8 \text{ мкДж}$

Ответ: энергия заряженного конденсатора равна $0.8 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$ (или $0.8 \text{ мкДж}$).

770. Площадь каждой из пластин плоского конденсатора $200 \, \text{см}^2$, а расстояние между ними $1 \, \text{см}$. Какова энергия поля, если напряжённость поля $500 \, \text{кВ/м}$?

Дано:

Найти:

Энергию поля $W$.

Решение:

Энергия электрического поля конденсатора $W$ связана с объемной плотностью энергии $w$ и объемом $V$ пространства между пластинами соотношением:

$W = w \cdot V$

Объемная плотность энергии однородного электрического поля вычисляется по формуле:

$w = \frac{\epsilon_0 \epsilon E^2}{2}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, $E$ — напряжённость электрического поля.

Объем $V$ для плоского конденсатора равен произведению площади пластины $S$ на расстояние $d$ между ними:

$V = S \cdot d$

Объединив формулы, получим выражение для полной энергии поля в конденсаторе:

$W = \frac{\epsilon_0 \epsilon E^2 S d}{2}$

Подставим значения величин в систему СИ и произведем вычисления:

$W = \frac{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 1 \cdot (5 \cdot 10^5 \text{ В/м})^2 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{2}$

$W = \frac{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 25 \cdot 10^{10} \cdot 2 \cdot 10^{-4}}{2} \text{ Дж}$

$W = 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 25 \cdot 10^{10} \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

$W = 8.85 \cdot 25 \cdot 10^{-12+10-4} \text{ Дж}$

$W = 221.25 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 2.2125 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$W \approx 2.21 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: энергия поля равна $W \approx 2.21 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

771. Расстояние между пластинами плоского конденсатора с диэлектриком из бумаги, пропитанной парафином, равно 2 мм, а напряжение между пластинами 200 В. Найти плотность энергии поля.

Дано:

Расстояние между пластинами, $d = 2 \text{ мм}$
Напряжение между пластинами, $U = 200 \text{ В}$
Диэлектрик — бумага, пропитанная парафином

Найти:

Плотность энергии поля, $w$

Решение:

Плотность энергии $w$ электрического поля в диэлектрике определяется формулой:

$w = \frac{\epsilon \epsilon_0 E^2}{2}$

где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная ($\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}$), а $E$ — напряженность электрического поля.

Диэлектрическая проницаемость для бумаги, пропитанной парафином, является табличной величиной. В справочниках её значение варьируется, примем типичное значение $\epsilon = 4$.

Для плоского конденсатора электрическое поле между пластинами (вдали от краев) можно считать однородным. Его напряженность $E$ связана с напряжением $U$ и расстоянием $d$ между пластинами соотношением:

$E = \frac{U}{d}$

Подставив выражение для напряженности $E$ в формулу для плотности энергии, получим:

$w = \frac{\epsilon \epsilon_0}{2} \left(\frac{U}{d}\right)^2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 U^2}{2d^2}$

Теперь подставим числовые значения в итоговую формулу:

$w = \frac{4 \times (8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}) \times (200 \text{ В})^2}{2 \times (2 \times 10^{-3} \text{ м})^2}$

Проведем вычисления:

$w = \frac{4 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 40000}{2 \times 4 \times 10^{-6}} \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = \frac{16 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 10^4}{8 \times 10^{-6}} \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}$

$w = 2 \times 8.85 \times 10^{-8} \times 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} = 17.7 \times 10^{-2} \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3} \approx 0.18 \frac{\text{Дж}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность энергии поля равна примерно $0.18 \text{ Дж/м}^3$.

772. Во сколько раз изменится энергия поля заряженного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом? Рассмотреть случаи:

а) конденсатор отключён от источника напряжения;

б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения.

Ответ объяснить, пользуясь законом сохранения энергии.

Дано:

Найти:

Решение:

При заполнении пространства между пластинами конденсатора диэлектриком (маслом) с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, его емкость увеличивается в $\epsilon$ раз. Если начальная емкость была $C_1$, то конечная емкость $C_2$ будет равна:

$C_2 = \epsilon C_1$

Рассмотрим два случая.

а) конденсатор отключен от источника напряжения

В этом случае конденсатор является электрически изолированной системой, поэтому заряд $q$ на его пластинах остается постоянным ($q = \text{const}$). Для расчета энергии удобно использовать формулу, содержащую заряд и емкость.

Начальная энергия конденсатора $W_1$:

$W_1 = \frac{q^2}{2C_1}$

Конечная энергия конденсатора $W_2$ после заполнения маслом:

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2} = \frac{q^2}{2(\epsilon C_1)} = \frac{1}{\epsilon} \left(\frac{q^2}{2C_1}\right) = \frac{W_1}{\epsilon}$

Таким образом, отношение энергий:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{1}{\epsilon}$

Поскольку диэлектрическая проницаемость масла $\epsilon > 1$, энергия поля конденсатора уменьшится в $\epsilon$ раз.

Объяснение с точки зрения закона сохранения энергии:

Система (конденсатор) является замкнутой (электрически изолированной). При внесении диэлектрика в электрическое поле, поле совершает работу по втягиванию диэлектрика. Согласно закону сохранения энергии, эта работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии электрического поля конденсатора. Изменение энергии поля $\Delta W = W_2 - W_1 = W_1(\frac{1}{\epsilon} - 1)$ является отрицательной величиной, и эта убыль энергии равна работе $A_{field}$, совершенной полем: $A_{field} = -\Delta W$. Таким образом, энергия системы сохраняется: уменьшение потенциальной энергии поля превращается в работу.

Ответ: Энергия поля уменьшится в $\epsilon$ раз (где $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость масла).

б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения

В этом случае напряжение $U$ на пластинах конденсатора поддерживается постоянным ($U = \text{const}$), так как он подключен к источнику. Для расчета энергии удобно использовать формулу, содержащую напряжение и емкость.

Начальная энергия конденсатора $W_1$:

$W_1 = \frac{C_1 U^2}{2}$

Конечная энергия конденсатора $W_2$ после заполнения маслом:

$W_2 = \frac{C_2 U^2}{2} = \frac{(\epsilon C_1) U^2}{2} = \epsilon \left(\frac{C_1 U^2}{2}\right) = \epsilon W_1$

Таким образом, отношение энергий:

$\frac{W_2}{W_1} = \epsilon$

Поскольку $\epsilon > 1$, энергия поля конденсатора увеличится в $\epsilon$ раз.

Объяснение с точки зрения закона сохранения энергии:

В данном случае система "конденсатор" не является замкнутой, она обменивается энергией с источником напряжения. Рассмотрим систему "конденсатор + источник". Увеличение энергии конденсатора происходит за счет работы, которую совершает источник. Чтобы поддержать напряжение $U$ постоянным при увеличении емкости до $C_2 = \epsilon C_1$, источник должен переместить на пластины дополнительный заряд $\Delta q = q_2 - q_1 = C_2 U - C_1 U = (\epsilon - 1)C_1 U$. Работа источника при этом равна $A_{source} = \Delta q \cdot U = (\epsilon - 1)C_1 U^2 = 2(\epsilon - 1)W_1$. Эта работа идет на увеличение энергии самого конденсатора $\Delta W = W_2 - W_1 = (\epsilon - 1)W_1$ и на совершение полем работы $A_{field}$ по втягиванию диэлектрика. По закону сохранения энергии: $A_{source} = \Delta W + A_{field}$. Отсюда работа поля $A_{field} = A_{source} - \Delta W = 2(\epsilon - 1)W_1 - (\epsilon - 1)W_1 = (\epsilon - 1)W_1$. Таким образом, энергия, сообщенная источником, обеспечивает как рост энергии поля в конденсаторе, так и совершение работы полем по заполнению пространства диэлектриком.

Ответ: Энергия поля увеличится в $\epsilon$ раз (где $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость масла).

773. Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменилась энергия и плотность энергии поля? Рассмотреть два случая:

а) конденсатор отключили от источника напряжения;

б) конденсатор остался присоединённым к источнику постоянного напряжения.

Дано:

$d_1$ - начальное расстояние между пластинами
$d_2$ - конечное расстояние между пластинами
$d_2 = \frac{d_1}{2}$

Найти:

$\frac{W_2}{W_1}$ - отношение конечной энергии к начальной
$\frac{w_2}{w_1}$ - отношение конечной плотности энергии к начальной

Решение:

Емкость плоского конденсатора определяется формулой: $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$ где $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между ними.

Начальная емкость конденсатора: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_1}$.

Конечная емкость после уменьшения расстояния: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_2} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_1/2} = 2 \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_1} = 2C_1$. Таким образом, емкость конденсатора увеличилась в 2 раза.

Энергия электрического поля конденсатора: $W$. Плотность энергии электрического поля: $w = \frac{W}{V}$, где $V=S \cdot d$ - объем пространства между пластинами.

Рассмотрим два случая.

а) конденсатор отключили от источника напряжения

В этом случае конденсатор является изолированной системой, поэтому его заряд $q$ остается постоянным: $q_1 = q_2 = q$. Энергию удобнее выразить через заряд и емкость: $W = \frac{q^2}{2C}$.

Найдем отношение энергий: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{q^2 / (2C_2)}{q^2 / (2C_1)} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{2C_1} = \frac{1}{2}$. Энергия конденсатора уменьшилась в 2 раза.

Теперь найдем отношение плотностей энергии. Начальная плотность энергии: $w_1 = \frac{W_1}{V_1} = \frac{W_1}{S d_1}$. Конечная плотность энергии: $w_2 = \frac{W_2}{V_2} = \frac{W_1 / 2}{S d_2} = \frac{W_1 / 2}{S (d_1 / 2)} = \frac{W_1}{S d_1} = w_1$. Следовательно, $\frac{w_2}{w_1} = 1$. Плотность энергии не изменилась.

Ответ: Энергия поля уменьшилась в 2 раза, плотность энергии не изменилась.

б) конденсатор остался присоединённым к источнику постоянного напряжения

В этом случае напряжение на пластинах конденсатора поддерживается постоянным и равным напряжению источника: $U_1 = U_2 = U$. Энергию удобнее выразить через напряжение и емкость: $W = \frac{CU^2}{2}$.

Найдем отношение энергий: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{(C_2 U^2) / 2}{(C_1 U^2) / 2} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{2C_1}{C_1} = 2$. Энергия конденсатора увеличилась в 2 раза.

Теперь найдем отношение плотностей энергии. Начальная плотность энергии: $w_1 = \frac{W_1}{V_1} = \frac{W_1}{S d_1}$. Конечная плотность энергии: $w_2 = \frac{W_2}{V_2} = \frac{2W_1}{S d_2} = \frac{2W_1}{S (d_1 / 2)} = 4 \frac{W_1}{S d_1} = 4w_1$. Следовательно, $\frac{w_2}{w_1} = 4$. Плотность энергии увеличилась в 4 раза.

Ответ: Энергия поля увеличилась в 2 раза, плотность энергии увеличилась в 4 раза.

774. При увеличении напряжения, поданного на конденсатор ёмкостью 20 мкФ, в 2 раза энергия поля возросла на 0,3 Дж. Найти начальные значения напряжения и энергии поля.

Дано:

$C = 20 \text{ мкФ} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$k = \frac{U_2}{U_1} = 2$
$\Delta W = 0.3 \text{ Дж}$

Найти:

$U_1, W_1$

Решение:

Энергия электрического поля конденсатора вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U^2}{2}$

где $C$ – ёмкость конденсатора, а $U$ – напряжение на нём.

Начальная энергия поля $W_1$ при начальном напряжении $U_1$ равна:

$W_1 = \frac{C U_1^2}{2}$

При увеличении напряжения в 2 раза, новое напряжение $U_2 = 2 U_1$. Конечная энергия поля $W_2$ будет равна:

$W_2 = \frac{C U_2^2}{2} = \frac{C (2 U_1)^2}{2} = \frac{C \cdot 4 U_1^2}{2} = 4 \cdot \frac{C U_1^2}{2} = 4 W_1$

Таким образом, конечная энергия в 4 раза больше начальной.

По условию, энергия поля возросла на $\Delta W$. Изменение энергии равно разности конечной и начальной энергий:

$\Delta W = W_2 - W_1$

Подставим выражение для $W_2$:

$\Delta W = 4 W_1 - W_1 = 3 W_1$

Отсюда можем найти начальную энергию поля $W_1$:

$W_1 = \frac{\Delta W}{3} = \frac{0.3 \text{ Дж}}{3} = 0.1 \text{ Дж}$

Теперь, зная начальную энергию, найдем начальное напряжение $U_1$ из формулы для $W_1$:

$W_1 = \frac{C U_1^2}{2} \implies U_1^2 = \frac{2 W_1}{C}$

$U_1 = \sqrt{\frac{2 W_1}{C}}$

Подставим числовые значения в СИ:

$U_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.1 \text{ Дж}}{20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \sqrt{\frac{0.2}{2 \cdot 10^{-5}}} = \sqrt{\frac{0.1}{10^{-5}}} = \sqrt{10000} = 100 \text{ В}$

Ответ: начальное напряжение $100 \text{ В}$, начальная энергия поля $0.1 \text{ Дж}$.