Номер 768, страница 100 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

35. Электроёмкость конденсатора. Энергия заряженного кондерсатора. Энергия электрического поля. Глава VII. Электрическое поле. Электродинамика - номер 768, страница 100.

Условие.

768. Ёмкость одного конденсатора в 9 раз больше ёмкости другого. На какой из этих конденсаторов надо подать большее напряжение, чтобы их энергия была одинаковой? во сколько раз большее?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$C_1$ - ёмкость первого конденсатора
$C_2$ - ёмкость второго конденсатора
$U_1$ - напряжение на первом конденсаторе
$U_2$ - напряжение на втором конденсаторе
$W_1$ - энергия первого конденсатора
$W_2$ - энергия второго конденсатора
$C_1 = 9 \cdot C_2$
$W_1 = W_2$

Найти:

На какой конденсатор надо подать большее напряжение?
Во сколько раз большее напряжение?

Решение:

Энергия электрического поля, запасённая в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U^2}{2}$

где $C$ - ёмкость конденсатора, а $U$ - напряжение на его обкладках.

Запишем выражения для энергии каждого из двух конденсаторов:

$W_1 = \frac{C_1 U_1^2}{2}$

$W_2 = \frac{C_2 U_2^2}{2}$

По условию задачи, их энергии должны быть одинаковы, то есть $W_1 = W_2$. Приравняем правые части выражений:

$\frac{C_1 U_1^2}{2} = \frac{C_2 U_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$C_1 U_1^2 = C_2 U_2^2$

Из этого соотношения видно, что энергия прямо пропорциональна ёмкости и квадрату напряжения. Чтобы энергии были равны, на конденсатор с большей ёмкостью ($C_1$) нужно подать меньшее напряжение ($U_1$), а на конденсатор с меньшей ёмкостью ($C_2$) — большее напряжение ($U_2$). Поскольку по условию $C_1 = 9 C_2$, то $C_1 > C_2$, следовательно, $U_2 > U_1$. Таким образом, большее напряжение надо подать на второй конденсатор (с меньшей ёмкостью).

Теперь найдём, во сколько раз напряжение $U_2$ больше, чем $U_1$. Подставим в полученное равенство известное соотношение ёмкостей $C_1 = 9 \cdot C_2$:

$(9 \cdot C_2) \cdot U_1^2 = C_2 \cdot U_2^2$

Сократим $C_2$ в обеих частях уравнения (так как ёмкость не равна нулю):

$9 U_1^2 = U_2^2$

Найдём отношение квадратов напряжений:

$\frac{U_2^2}{U_1^2} = 9$

Чтобы найти отношение напряжений, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{9} = 3$

Это означает, что напряжение на конденсаторе с меньшей ёмкостью ($C_2$) должно быть в 3 раза больше, чем напряжение на конденсаторе с большей ёмкостью ($C_1$).

Ответ: большее напряжение надо подать на конденсатор с меньшей ёмкостью; напряжение должно быть в 3 раза больше.