Номер 765, страница 99 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

35. Электроёмкость конденсатора. Энергия заряженного кондерсатора. Энергия электрического поля. Глава VII. Электрическое поле. Электродинамика - номер 765, страница 99.

Условие.

765. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см. Между пластинами находится слой диэлектрика толщиной 1 мм с диэлектрической проницаемостью 2,1. Заряжен конденсатор до напряжения 2,4 кВ. Найти ёмкость конденсатора, заряд на пластинах, энергию и плотность энергии электрического поля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Радиус пластин, $r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Толщина диэлектрика (расстояние между пластинами), $d = 1 \text{ мм} = 1 \times 10^{-3} \text{ м}$
Диэлектрическая проницаемость, $\epsilon = 2.1$
Напряжение, $U = 2.4 \text{ кВ} = 2.4 \times 10^3 \text{ В}$
Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$ - ?
Заряд на пластинах, $q$ - ?
Энергия электрического поля, $W$ - ?
Плотность энергии электрического поля, $w$ - ?

Решение:

Ёмкость конденсатора

Сначала найдём площадь пластин конденсатора. Так как пластины круглые, их площадь $S$ вычисляется по формуле площади круга:

$S = \pi r^2$

$S = \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.01\pi \text{ м}^2 \approx 0.0314 \text{ м}^2$

Ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком между пластинами определяется формулой:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

Подставим известные значения:

$C = \frac{2.1 \cdot 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 0.0314 \text{ м}^2}{1 \times 10^{-3} \text{ м}} \approx 5.84 \times 10^{-10} \text{ Ф}$

Это значение можно выразить в пикофарадах (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C \approx 584 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора $C \approx 5.84 \times 10^{-10}$ Ф (или 584 пФ).

Заряд на пластинах

Заряд на пластинах конденсатора связан с его ёмкостью и напряжением между пластинами соотношением:

$q = C \cdot U$

Подставим найденную ёмкость и заданное напряжение:

$q = 5.84 \times 10^{-10} \text{ Ф} \cdot 2.4 \times 10^3 \text{ В} \approx 1.40 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Это значение можно выразить в микрокулонах (1 мкКл = $10^{-6}$ Кл):

$q \approx 1.40 \text{ мкКл}$

Ответ: заряд на пластинах $q \approx 1.40 \times 10^{-6}$ Кл (или 1.40 мкКл).

Энергия

Энергия $W$, запасённая в заряженном конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U^2}{2}$

Подставим известные значения:

$W = \frac{5.84 \times 10^{-10} \text{ Ф} \cdot (2.4 \times 10^3 \text{ В})^2}{2} = \frac{5.84 \times 10^{-10} \cdot 5.76 \times 10^6}{2} \text{ Дж} \approx 1.68 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

Это значение можно выразить в миллиджоулях (1 мДж = $10^{-3}$ Дж):

$W \approx 1.68 \text{ мДж}$

Ответ: энергия электрического поля $W \approx 1.68 \times 10^{-3}$ Дж (или 1.68 мДж).

Плотность энергии электрического поля

Плотность энергии — это энергия, приходящаяся на единицу объёма. Объём $V$ пространства между пластинами равен произведению площади пластин на расстояние между ними:

$V = S \cdot d = 0.0314 \text{ м}^2 \cdot 1 \times 10^{-3} \text{ м} \approx 3.14 \times 10^{-5} \text{ м}^3$

Плотность энергии $w$ равна:

$w = \frac{W}{V}$

$w = \frac{1.68 \times 10^{-3} \text{ Дж}}{3.14 \times 10^{-5} \text{ м}^3} \approx 53.5 \text{ Дж/м}^3$

Альтернативно, плотность энергии можно найти по формуле, зная напряжённость поля $E$:

$w = \frac{\epsilon \epsilon_0 E^2}{2}$, где $E = \frac{U}{d}$

$E = \frac{2.4 \times 10^3 \text{ В}}{1 \times 10^{-3} \text{ м}} = 2.4 \times 10^6 \text{ В/м}$

$w = \frac{2.1 \cdot 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot (2.4 \times 10^6 \text{ В/м})^2}{2} \approx 53.5 \text{ Дж/м}^3$

Ответ: плотность энергии электрического поля $w \approx 53.5$ Дж/м³.