Номер 772, страница 100 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

35. Электроёмкость конденсатора. Энергия заряженного кондерсатора. Энергия электрического поля. Глава VII. Электрическое поле. Электродинамика - номер 772, страница 100.

Условие.

772. Во сколько раз изменится энергия поля заряженного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом? Рассмотреть случаи:

а) конденсатор отключён от источника напряжения;

б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения.

Ответ объяснить, пользуясь законом сохранения энергии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$C_1$ - начальная емкость конденсатора (с воздухом между пластинами, диэлектрическая проницаемость которого принята за 1)

$C_2$ - конечная емкость конденсатора (с маслом)

$\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость масла ($\epsilon > 1$)

$W_1$ - начальная энергия конденсатора

$W_2$ - конечная энергия конденсатора

Найти:

Отношение конечной энергии к начальной $\frac{W_2}{W_1}$ для случаев а) и б).

Решение:

При заполнении пространства между пластинами конденсатора диэлектриком (маслом) с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, его емкость увеличивается в $\epsilon$ раз. Если начальная емкость была $C_1$, то конечная емкость $C_2$ будет равна:

$C_2 = \epsilon C_1$

Рассмотрим два случая.

а) конденсатор отключен от источника напряжения

В этом случае конденсатор является электрически изолированной системой, поэтому заряд $q$ на его пластинах остается постоянным ($q = \text{const}$). Для расчета энергии удобно использовать формулу, содержащую заряд и емкость.

Начальная энергия конденсатора $W_1$:

$W_1 = \frac{q^2}{2C_1}$

Конечная энергия конденсатора $W_2$ после заполнения маслом:

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2} = \frac{q^2}{2(\epsilon C_1)} = \frac{1}{\epsilon} \left(\frac{q^2}{2C_1}\right) = \frac{W_1}{\epsilon}$

Таким образом, отношение энергий:

$\frac{W_2}{W_1} = \frac{1}{\epsilon}$

Поскольку диэлектрическая проницаемость масла $\epsilon > 1$, энергия поля конденсатора уменьшится в $\epsilon$ раз.

Объяснение с точки зрения закона сохранения энергии:

Система (конденсатор) является замкнутой (электрически изолированной). При внесении диэлектрика в электрическое поле, поле совершает работу по втягиванию диэлектрика. Согласно закону сохранения энергии, эта работа совершается за счет уменьшения потенциальной энергии электрического поля конденсатора. Изменение энергии поля $\Delta W = W_2 - W_1 = W_1(\frac{1}{\epsilon} - 1)$ является отрицательной величиной, и эта убыль энергии равна работе $A_{field}$, совершенной полем: $A_{field} = -\Delta W$. Таким образом, энергия системы сохраняется: уменьшение потенциальной энергии поля превращается в работу.

Ответ: Энергия поля уменьшится в $\epsilon$ раз (где $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость масла).

б) конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения

В этом случае напряжение $U$ на пластинах конденсатора поддерживается постоянным ($U = \text{const}$), так как он подключен к источнику. Для расчета энергии удобно использовать формулу, содержащую напряжение и емкость.

Начальная энергия конденсатора $W_1$:

$W_1 = \frac{C_1 U^2}{2}$

Конечная энергия конденсатора $W_2$ после заполнения маслом:

$W_2 = \frac{C_2 U^2}{2} = \frac{(\epsilon C_1) U^2}{2} = \epsilon \left(\frac{C_1 U^2}{2}\right) = \epsilon W_1$

Таким образом, отношение энергий:

$\frac{W_2}{W_1} = \epsilon$

Поскольку $\epsilon > 1$, энергия поля конденсатора увеличится в $\epsilon$ раз.

Объяснение с точки зрения закона сохранения энергии:

В данном случае система "конденсатор" не является замкнутой, она обменивается энергией с источником напряжения. Рассмотрим систему "конденсатор + источник". Увеличение энергии конденсатора происходит за счет работы, которую совершает источник. Чтобы поддержать напряжение $U$ постоянным при увеличении емкости до $C_2 = \epsilon C_1$, источник должен переместить на пластины дополнительный заряд $\Delta q = q_2 - q_1 = C_2 U - C_1 U = (\epsilon - 1)C_1 U$. Работа источника при этом равна $A_{source} = \Delta q \cdot U = (\epsilon - 1)C_1 U^2 = 2(\epsilon - 1)W_1$. Эта работа идет на увеличение энергии самого конденсатора $\Delta W = W_2 - W_1 = (\epsilon - 1)W_1$ и на совершение полем работы $A_{field}$ по втягиванию диэлектрика. По закону сохранения энергии: $A_{source} = \Delta W + A_{field}$. Отсюда работа поля $A_{field} = A_{source} - \Delta W = 2(\epsilon - 1)W_1 - (\epsilon - 1)W_1 = (\epsilon - 1)W_1$. Таким образом, энергия, сообщенная источником, обеспечивает как рост энергии поля в конденсаторе, так и совершение работы полем по заполнению пространства диэлектриком.

Ответ: Энергия поля увеличится в $\epsilon$ раз (где $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость масла).