Номер 773, страница 100 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

773. Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменилась энергия и плотность энергии поля? Рассмотреть два случая:

а) конденсатор отключили от источника напряжения;

б) конденсатор остался присоединённым к источнику постоянного напряжения.

Дано:

$d_1$ - начальное расстояние между пластинами
$d_2$ - конечное расстояние между пластинами
$d_2 = \frac{d_1}{2}$

Найти:

$\frac{W_2}{W_1}$ - отношение конечной энергии к начальной
$\frac{w_2}{w_1}$ - отношение конечной плотности энергии к начальной

Решение:

Емкость плоского конденсатора определяется формулой: $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$ где $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между ними.

Начальная емкость конденсатора: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_1}$.

Конечная емкость после уменьшения расстояния: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_2} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_1/2} = 2 \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d_1} = 2C_1$. Таким образом, емкость конденсатора увеличилась в 2 раза.

Энергия электрического поля конденсатора: $W$. Плотность энергии электрического поля: $w = \frac{W}{V}$, где $V=S \cdot d$ - объем пространства между пластинами.

Рассмотрим два случая.

а) конденсатор отключили от источника напряжения

В этом случае конденсатор является изолированной системой, поэтому его заряд $q$ остается постоянным: $q_1 = q_2 = q$. Энергию удобнее выразить через заряд и емкость: $W = \frac{q^2}{2C}$.

Найдем отношение энергий: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{q^2 / (2C_2)}{q^2 / (2C_1)} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{2C_1} = \frac{1}{2}$. Энергия конденсатора уменьшилась в 2 раза.

Теперь найдем отношение плотностей энергии. Начальная плотность энергии: $w_1 = \frac{W_1}{V_1} = \frac{W_1}{S d_1}$. Конечная плотность энергии: $w_2 = \frac{W_2}{V_2} = \frac{W_1 / 2}{S d_2} = \frac{W_1 / 2}{S (d_1 / 2)} = \frac{W_1}{S d_1} = w_1$. Следовательно, $\frac{w_2}{w_1} = 1$. Плотность энергии не изменилась.

Ответ: Энергия поля уменьшилась в 2 раза, плотность энергии не изменилась.

б) конденсатор остался присоединённым к источнику постоянного напряжения

В этом случае напряжение на пластинах конденсатора поддерживается постоянным и равным напряжению источника: $U_1 = U_2 = U$. Энергию удобнее выразить через напряжение и емкость: $W = \frac{CU^2}{2}$.

Найдем отношение энергий: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{(C_2 U^2) / 2}{(C_1 U^2) / 2} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{2C_1}{C_1} = 2$. Энергия конденсатора увеличилась в 2 раза.

Теперь найдем отношение плотностей энергии. Начальная плотность энергии: $w_1 = \frac{W_1}{V_1} = \frac{W_1}{S d_1}$. Конечная плотность энергии: $w_2 = \frac{W_2}{V_2} = \frac{2W_1}{S d_2} = \frac{2W_1}{S (d_1 / 2)} = 4 \frac{W_1}{S d_1} = 4w_1$. Следовательно, $\frac{w_2}{w_1} = 4$. Плотность энергии увеличилась в 4 раза.

Ответ: Энергия поля увеличилась в 2 раза, плотность энергии увеличилась в 4 раза.