Страница 99 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

755. Наибольшая ёмкость школьного конденсатора $58 \mu\text{Ф}$. Какой заряд он накопит при его подключении к полюсам источника постоянного напряжения $50 \text{ В}$?

Дано

Найти:

$q$

Решение

Для определения заряда, накопленного конденсатором, воспользуемся основной формулой для электроёмкости. Электроёмкость $C$ конденсатора определяется как отношение заряда $q$ на одной из его обкладок к разности потенциалов (напряжению) $U$ между обкладками.

$C = \frac{q}{U}$

Из этой формулы мы можем выразить искомый заряд $q$:

$q = C \cdot U$

Перед вычислением убедимся, что все величины представлены в Международной системе единиц (СИ). Ёмкость дана в микрофарадах (мкФ), переведем ее в фарады (Ф):

$C = 58 \text{ мкФ} = 58 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Напряжение уже дано в вольтах (В), что соответствует СИ. Теперь подставим числовые значения в формулу для заряда:

$q = (58 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot 50 \text{ В}$

Выполним умножение:

$q = 2900 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Для удобства представим результат в стандартном виде или используем приставки.

$q = 2.9 \cdot 10^3 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 2.9 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Так как $10^{-3}$ соответствует приставке "милли", заряд можно также выразить в милликулонах (мКл):

$q = 2.9 \text{ мКл}$

Ответ: $2.9 \cdot 10^{-3}$ Кл.

756. На конденсаторе написано: $100 \text{ пФ}$; $300 \text{ В}$. Можно ли использовать этот конденсатор для накопления заряда $50 \text{ нКл}$?

Дано:

Ёмкость конденсатора $C = 100 \text{ пФ}$
Максимальное напряжение $U_{max} = 300 \text{ В}$
Требуемый заряд $q = 50 \text{ нКл}$

$C = 100 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 10^{-10} \text{ Ф}$
$q = 50 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Можно ли использовать конденсатор для накопления заданного заряда?

Решение:

Надписи на конденсаторе указывают его электрическую ёмкость ($C$) и максимальное напряжение ($U_{max}$), которое можно к нему приложить без риска повреждения. Чтобы определить, можно ли использовать данный конденсатор для накопления заряда $q$, необходимо рассчитать, какое напряжение $U_{req}$ для этого потребуется.

Связь между зарядом ($q$), ёмкостью ($C$) и напряжением ($U$) на обкладках конденсатора описывается формулой:

$q = C \cdot U$

Выразим из этой формулы напряжение, которое необходимо приложить к конденсатору, чтобы сообщить ему заряд $q$:

$U_{req} = \frac{q}{C}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведём вычисления:

$U_{req} = \frac{50 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{100 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}} = \frac{50 \cdot 10^{-9}}{1 \cdot 10^{-10}} \text{ В} = 500 \text{ В}$

Теперь сравним расчётное напряжение $U_{req}$ с максимальным допустимым напряжением $U_{max}$ для данного конденсатора:

$U_{req} = 500 \text{ В}$

$U_{max} = 300 \text{ В}$

Так как расчётное напряжение превышает максимальное допустимое ($500 \text{ В} > 300 \text{ В}$), при попытке накопить заряд 50 нКл напряжение на конденсаторе достигнет 500 В, что приведёт к пробою диэлектрика и выходу конденсатора из строя.

Ответ: нет, данный конденсатор использовать для накопления заряда 50 нКл нельзя, так как необходимое для этого напряжение (500 В) превышает его максимальное рабочее напряжение (300 В).

757. Во сколько раз изменится ёмкость конденсатора при уменьшении рабочей площади пластин в 2 раза и уменьшении расстояния между ними в 3 раза?

Дано:

$S_2 = \frac{S_1}{2}$ (рабочая площадь пластин уменьшилась в 2 раза)
$d_2 = \frac{d_1}{3}$ (расстояние между пластинами уменьшилось в 3 раза)

Найти:

$\frac{C_2}{C_1}$ — отношение конечной ёмкости к начальной.

Решение:

Ёмкость плоского конденсатора определяется по формуле: $$ C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} $$ где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — рабочая площадь пластин, $d$ — расстояние между ними.

Начальная ёмкость конденсатора $C_1$ равна: $$ C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d_1} $$

После изменения параметров новая ёмкость $C_2$ будет равна: $$ C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_2}{d_2} $$

Подставим в формулу для $C_2$ выражения для $S_2$ и $d_2$ из условия задачи: $$ C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 \left(\frac{S_1}{2}\right)}{\left(\frac{d_1}{3}\right)} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{2} \cdot \frac{3}{d_1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d_1} $$

Чтобы найти, во сколько раз изменилась ёмкость, найдем отношение новой ёмкости $C_2$ к начальной $C_1$: $$ \frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d_1}}{\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d_1}} $$

Так как $\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d_1} = C_1$, то можно записать: $$ \frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{3}{2} \cdot C_1}{C_1} = \frac{3}{2} = 1,5 $$

Это означает, что ёмкость конденсатора увеличилась в 1,5 раза.

Ответ: ёмкость увеличится в 1,5 раза.

758. Во сколько раз изменится ёмкость конденсатора, если в качестве прокладки между пластинами вместо бумаги, пропитанной парафином, использовать листовую слюду такой же толщины?

Дано:

Начальный диэлектрик — бумага, пропитанная парафином, с диэлектрической проницаемостью $\epsilon_1$.
Конечный диэлектрик — листовая слюда, с диэлектрической проницаемостью $\epsilon_2$.
Толщина диэлектрика $d$ и площадь пластин $S$ конденсатора не изменяются.

Найти:

Отношение конечной ёмкости $C_2$ к начальной ёмкости $C_1$ — $\frac{C_2}{C_1}$.

Решение:

Ёмкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость материала между пластинами, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, $d$ — расстояние между пластинами (толщина диэлектрика).

Начальная ёмкость конденсатора с прокладкой из бумаги, пропитанной парафином, равна:

$C_1 = \frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d}$

Конечная ёмкость конденсатора с прокладкой из листовой слюды равна:

$C_2 = \frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится ёмкость, найдём отношение $C_2$ к $C_1$:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{\epsilon_2 \epsilon_0 S}{d}}{\frac{\epsilon_1 \epsilon_0 S}{d}} = \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}$

Изменение ёмкости зависит только от отношения диэлектрических проницаемостей материалов. Обратимся к справочным таблицам для нахождения значений $\epsilon$.

Диэлектрическая проницаемость бумаги, пропитанной парафином: $\epsilon_1 \approx 2.2$.
Диэлектрическая проницаемость листовой слюды: $\epsilon_2 \approx 6$.
(Эти значения могут незначительно варьироваться в разных источниках).

Теперь можем вычислить искомое отношение:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{6}{2.2} \approx 2.73$

Таким образом, ёмкость конденсатора увеличится.

Ответ: ёмкость конденсатора увеличится примерно в 2.73 раза.

759. При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твёрдого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 до 50 В. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?

Дано:

Начальное напряжение на воздушном конденсаторе, $U_1 = 400$ В

Конечное напряжение на конденсаторе с диэлектриком, $U_2 = 50$ В

Найти:

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $\epsilon$ - ?

Решение:

Изменение напряжения на конденсаторе при введении диэлектрика указывает на то, что конденсатор был предварительно заряжен, а затем отключен от источника тока. В этом случае электрический заряд $q$ на пластинах конденсатора остается постоянным.

Заряд воздушного конденсатора (до введения диэлектрика) можно выразить через его ёмкость $C_1$ и напряжение $U_1$:

$q = C_1 U_1$

Ёмкость воздушного конденсатора, у которого диэлектриком является воздух ($\epsilon_{возд} \approx 1$), определяется как:

$C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, $d$ — расстояние между ними.

После введения между пластинами твёрдого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, ёмкость конденсатора изменится и станет равной $C_2$:

$C_2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

Сравнивая выражения для $C_1$ и $C_2$, можно установить связь между ними:

$C_2 = \epsilon C_1$

Заряд на конденсаторе с диэлектриком выражается через новую ёмкость $C_2$ и новое напряжение $U_2$:

$q = C_2 U_2$

Поскольку заряд $q$ сохраняется, мы можем приравнять выражения для заряда до и после введения диэлектрика:

$C_1 U_1 = C_2 U_2$

Подставим в это равенство выражение для $C_2$ через $C_1$:

$C_1 U_1 = (\epsilon C_1) U_2$

Сократим ёмкость $C_1$ в обеих частях уравнения (так как $C_1 \neq 0$):

$U_1 = \epsilon U_2$

Отсюда выражаем искомую диэлектрическую проницаемость $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{U_1}{U_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\epsilon = \frac{400 \text{ В}}{50 \text{ В}} = 8$

Ответ: диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 8.

760. Одна из пластин школьного плоского конденсатора соединена со стержнем электрометра, а другая — с заземлённым корпусом. Какими способами можно показания электрометра уменьшить; увеличить?

Показания электрометра пропорциональны разности потенциалов (напряжению) $U$ между его стержнем и корпусом. Поскольку стержень соединен с одной пластиной конденсатора, а корпус и другая пластина заземлены, электрометр измеряет напряжение на конденсаторе.

Система, состоящая из пластины конденсатора и стержня электрометра, является электрически изолированной. Это означает, что суммарный электрический заряд $q$ этой системы остается постоянным ($q = \text{const}$), если не подводить и не отводить заряд извне. Напряжение $U$ на конденсаторе, его заряд $q$ и электроемкость $C$ связаны соотношением:

$U = \frac{q}{C}$

Из этой формулы следует, что при постоянном заряде $q$ напряжение $U$, измеряемое электрометром, обратно пропорционально электроемкости $C$ конденсатора. Следовательно, чтобы изменять показания электрометра, необходимо изменять электроемкость конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора определяется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная (константа), $S$ — площадь перекрытия пластин, а $d$ — расстояние между ними.

Подставив вторую формулу в первую, получим зависимость напряжения от параметров конденсатора:

$U = \frac{q d}{\varepsilon \varepsilon_0 S}$

Анализируя эту зависимость, можно определить способы изменения показаний электрометра.

уменьшить

Чтобы уменьшить показания электрометра (уменьшить напряжение $U$), необходимо увеличить электроемкость конденсатора $C$. Это можно сделать следующими способами:

1. Сблизить пластины конденсатора. При уменьшении расстояния $d$ между пластинами электроемкость $C$ увеличивается, что приводит к уменьшению напряжения $U$.
2. Увеличить площадь перекрытия пластин $S$. Если пластины были сдвинуты относительно друг друга, их можно совместить, увеличив площадь $S$. Это приведет к росту емкости $C$ и, соответственно, к падению напряжения $U$.
3. Ввести между пластинами диэлектрик. Если поместить между пластинами материал с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon > 1$ (например, стекло, оргстекло, бумагу), электроемкость $C$ увеличится, а напряжение $U$ уменьшится.

Ответ: Чтобы уменьшить показания электрометра, нужно сблизить пластины конденсатора, увеличить площадь их перекрытия или ввести между ними диэлектрик.

увеличить

Чтобы увеличить показания электрометра (увеличить напряжение $U$), необходимо уменьшить электроемкость конденсатора $C$. Это можно сделать способами, обратными перечисленным выше:

1. Раздвинуть пластины конденсатора. При увеличении расстояния $d$ между пластинами электроемкость $C$ уменьшается, что приводит к росту напряжения $U$.
2. Уменьшить площадь перекрытия пластин $S$. Сдвигая пластины относительно друг друга, можно уменьшить их площадь перекрытия $S$. Это приведет к уменьшению емкости $C$ и, соответственно, к росту напряжения $U$.
3. Удалить диэлектрик из пространства между пластинами. Если между пластинами находится диэлектрик, его удаление (замена на воздух, у которого $\varepsilon \approx 1$) приведет к уменьшению электроемкости $C$ и увеличению напряжения $U$.

Ответ: Чтобы увеличить показания электрометра, нужно раздвинуть пластины конденсатора, уменьшить площадь их перекрытия или удалить диэлектрик (если он был) из пространства между ними.

761. Найти ёмкость плоского конденсатора, состоящего из двух круглых пластин диаметром 20 см, разделённых парафиновой прослойкой толщиной 1 мм.

Дано:

Найти:

Решение:

Ёмкость плоского конденсатора вычисляется по формуле:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{h}$

где $\epsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость среды, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная ($ \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м), $S$ — площадь одной из пластин, $h$ — расстояние между пластинами.

Для парафина, который является диэлектриком в данном конденсаторе, относительная диэлектрическая проницаемость $\epsilon \approx 2$.

Поскольку пластины конденсатора имеют форму круга, их площадь $S$ можно найти по формуле площади круга через диаметр $d$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Рассчитаем площадь одной пластины, используя данные в системе СИ:

$S = \frac{\pi \cdot (0.2 \text{ м})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.04 \text{ м}^2}{4} = 0.01\pi \text{ м}^2$

Теперь подставим все известные числовые значения в формулу для ёмкости конденсатора:

$C = \frac{2 \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (0.01\pi \text{ м}^2)}{1 \cdot 10^{-3} \text{ м}}$

Выполним вычисления:

$C = (2 \cdot 8.85 \cdot 0.01 \cdot \pi) \cdot \frac{10^{-12}}{10^{-3}} \text{ Ф} = 0.177\pi \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$C \approx 0.177 \cdot 3.14159 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} \approx 0.556 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

Полученное значение ёмкости удобно выразить в пикофарадах (пФ). Учитывая, что $1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$, а $1 \text{ нФ} = 10^{-9} \text{ Ф}$:

$C \approx 0.556 \text{ нФ} = 556 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость плоского конденсатора составляет $556 \text{ пФ}$.

762. Площадь каждой пластины плоского конденсатора равна 520 $cm^2$. На каком расстоянии друг от друга надо расположить пластины в воздухе, чтобы ёмкость конденсатора была равна 46 $pF$?

Дано:

$S = 520 \text{ см}^2 = 520 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$
$C = 46 \text{ пФ} = 46 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$
$\epsilon \approx 1$ (диэлектрическая проницаемость воздуха)
$\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$d$

Решение:

Ёмкость плоского конденсатора вычисляется по формуле: $C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$ где $C$ - ёмкость конденсатора, $\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды между обкладками, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, $S$ - площадь каждой пластины, а $d$ - расстояние между пластинами.

Так как пластины конденсатора находятся в воздухе, диэлектрическую проницаемость среды $\epsilon$ можно принять равной 1. Формула упрощается до: $C = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

Для нахождения расстояния $d$ выразим его из формулы ёмкости: $d = \frac{\epsilon_0 S}{C}$

Теперь подставим известные значения в систему СИ и выполним расчёт: $d = \frac{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 5.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}{46 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}$

$d = \frac{8.85 \cdot 5.2}{46} \cdot \frac{10^{-12} \cdot 10^{-2}}{10^{-12}} \text{ м} = \frac{46.02}{46} \cdot 10^{-2} \text{ м} \approx 1.0004 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Округлив результат, получаем: $d \approx 0.01 \text{ м}$

Ответ: расстояние между пластинами должно быть равно $0.01 \text{ м}$ или $1 \text{ см}$.

763. Плоский конденсатор состоит из двух пластин площадью $50 \, \text{см}^2$ каждая. Между пластинами находится слой стекла. Какой наибольший заряд можно накопить на этом конденсаторе, если при напряжённости поля $10 \, \text{МВ/м}$ в стекле происходит пробой конденсатора?

Дано:

Площадь пластины, $S = 50 \text{ см}^2$.

Пробивная напряженность поля для стекла, $E_{проб} = 10 \text{ МВ/м}$.

Найти:

Наибольший заряд $q_{max}$.

Решение:

Напряженность электрического поля $E$ внутри плоского конденсатора с диэлектриком выражается через заряд $q$ на его обкладках по формуле:

$E = \frac{q}{\varepsilon \varepsilon_0 S}$

где $S$ — площадь пластин, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная (фундаментальная константа, $\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$), а $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость материала между пластинами. Для стекла, которое является диэлектриком, диэлектрическая проницаемость является табличным значением. В расчетах примем среднее значение $\varepsilon \approx 7$.

Наибольший заряд $q_{max}$, который можно накопить на конденсаторе, соответствует максимальной напряженности поля, которую выдерживает диэлектрик без пробоя. Эта напряженность называется пробивной напряженностью $E_{проб}$. Таким образом, мы можем записать:

$E_{проб} = \frac{q_{max}}{\varepsilon \varepsilon_0 S}$

Из этого соотношения выражаем искомый максимальный заряд $q_{max}$:

$q_{max} = E_{проб} \cdot \varepsilon \cdot \varepsilon_0 \cdot S$

Подставим все известные значения, переведенные в систему СИ, в данную формулу для вычисления:

$q_{max} = 10^7 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot 7 \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}}) \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2)$

Выполним вычисления:

$q_{max} = (10^7 \cdot 7 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 5 \cdot 10^{-3}) \text{ Кл}$

$q_{max} = (35 \cdot 8.85) \cdot 10^{(7 - 12 - 3)} \text{ Кл}$

$q_{max} = 309.75 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Представим результат в стандартном виде и округлим до двух значащих цифр:

$q_{max} \approx 3.1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Это значение также можно выразить в микрокулонах: $3.1 \text{ мкКл}$.

Ответ: $q_{max} \approx 3.1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$.

764. Расстояние между пластинами плоского конденсатора увеличили в 3 раза. Во сколько раз изменился заряд, напряжение между пластинами и напряжённость поля, если конденсатор:

а) отключён от источника напряжения;

б) остаётся подключённым к источнику постоянного напряжения?

Дано:

$d_1$ — начальное расстояние между пластинами
$d_2 = 3d_1$ — конечное расстояние между пластинами

Найти:

Во сколько раз изменились заряд ($q$), напряжение ($U$) и напряжённость поля ($E$) в случаях а) и б).

Решение:

Электроёмкость плоского конденсатора определяется формулой: $C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$, где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, $S$ — площадь пластин, $d$ — расстояние между ними.

Начальная ёмкость конденсатора: $C_1 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d_1}$.

Конечная ёмкость после увеличения расстояния в 3 раза: $C_2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d_2} = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{3d_1} = \frac{1}{3} C_1$.

Таким образом, ёмкость конденсатора уменьшилась в 3 раза.

Рассмотрим два случая.

а) конденсатор отключён от источника напряжения

В этом случае конденсатор является изолированной системой, поэтому его заряд остаётся постоянным: $q_2 = q_1$. Следовательно, заряд не изменился (изменился в 1 раз).

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом и ёмкостью соотношением $U = \frac{q}{C}$. Начальное напряжение: $U_1 = \frac{q_1}{C_1}$. Конечное напряжение: $U_2 = \frac{q_2}{C_2} = \frac{q_1}{\frac{1}{3}C_1} = 3 \frac{q_1}{C_1} = 3U_1$. Следовательно, напряжение увеличилось в 3 раза.

Напряжённость поля в плоском конденсаторе: $E = \frac{U}{d}$. Начальная напряжённость: $E_1 = \frac{U_1}{d_1}$. Конечная напряжённость: $E_2 = \frac{U_2}{d_2} = \frac{3U_1}{3d_1} = \frac{U_1}{d_1} = E_1$. Следовательно, напряжённость поля не изменилась.

Ответ: заряд не изменится, напряжение увеличится в 3 раза, напряжённость поля не изменится.

б) конденсатор остаётся подключённым к источнику постоянного напряжения

В этом случае напряжение на конденсаторе поддерживается постоянным и равным напряжению источника: $U_2 = U_1$. Следовательно, напряжение не изменилось (изменилось в 1 раз).

Заряд на конденсаторе связан с напряжением и ёмкостью соотношением $q = C \cdot U$. Начальный заряд: $q_1 = C_1 U_1$. Конечный заряд: $q_2 = C_2 U_2 = (\frac{1}{3}C_1) \cdot U_1 = \frac{1}{3} (C_1 U_1) = \frac{1}{3} q_1$. Следовательно, заряд уменьшился в 3 раза.

Напряжённость поля в плоском конденсаторе: $E = \frac{U}{d}$. Начальная напряжённость: $E_1 = \frac{U_1}{d_1}$. Конечная напряжённость: $E_2 = \frac{U_2}{d_2} = \frac{U_1}{3d_1} = \frac{1}{3} E_1$. Следовательно, напряжённость поля уменьшилась в 3 раза.

Ответ: заряд уменьшится в 3 раза, напряжение не изменится, напряжённость поля уменьшится в 3 раза.

765. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см. Между пластинами находится слой диэлектрика толщиной 1 мм с диэлектрической проницаемостью 2,1. Заряжен конденсатор до напряжения 2,4 кВ. Найти ёмкость конденсатора, заряд на пластинах, энергию и плотность энергии электрического поля.

Дано:

Радиус пластин, $r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Толщина диэлектрика (расстояние между пластинами), $d = 1 \text{ мм} = 1 \times 10^{-3} \text{ м}$
Диэлектрическая проницаемость, $\epsilon = 2.1$
Напряжение, $U = 2.4 \text{ кВ} = 2.4 \times 10^3 \text{ В}$
Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$ - ?
Заряд на пластинах, $q$ - ?
Энергия электрического поля, $W$ - ?
Плотность энергии электрического поля, $w$ - ?

Решение:

Ёмкость конденсатора

Сначала найдём площадь пластин конденсатора. Так как пластины круглые, их площадь $S$ вычисляется по формуле площади круга:

$S = \pi r^2$

$S = \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.01\pi \text{ м}^2 \approx 0.0314 \text{ м}^2$

Ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком между пластинами определяется формулой:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

Подставим известные значения:

$C = \frac{2.1 \cdot 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 0.0314 \text{ м}^2}{1 \times 10^{-3} \text{ м}} \approx 5.84 \times 10^{-10} \text{ Ф}$

Это значение можно выразить в пикофарадах (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C \approx 584 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора $C \approx 5.84 \times 10^{-10}$ Ф (или 584 пФ).

Заряд на пластинах

Заряд на пластинах конденсатора связан с его ёмкостью и напряжением между пластинами соотношением:

$q = C \cdot U$

Подставим найденную ёмкость и заданное напряжение:

$q = 5.84 \times 10^{-10} \text{ Ф} \cdot 2.4 \times 10^3 \text{ В} \approx 1.40 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Это значение можно выразить в микрокулонах (1 мкКл = $10^{-6}$ Кл):

$q \approx 1.40 \text{ мкКл}$

Ответ: заряд на пластинах $q \approx 1.40 \times 10^{-6}$ Кл (или 1.40 мкКл).

Энергия

Энергия $W$, запасённая в заряженном конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W = \frac{C U^2}{2}$

Подставим известные значения:

$W = \frac{5.84 \times 10^{-10} \text{ Ф} \cdot (2.4 \times 10^3 \text{ В})^2}{2} = \frac{5.84 \times 10^{-10} \cdot 5.76 \times 10^6}{2} \text{ Дж} \approx 1.68 \times 10^{-3} \text{ Дж}$

Это значение можно выразить в миллиджоулях (1 мДж = $10^{-3}$ Дж):

$W \approx 1.68 \text{ мДж}$

Ответ: энергия электрического поля $W \approx 1.68 \times 10^{-3}$ Дж (или 1.68 мДж).

Плотность энергии электрического поля

Плотность энергии — это энергия, приходящаяся на единицу объёма. Объём $V$ пространства между пластинами равен произведению площади пластин на расстояние между ними:

$V = S \cdot d = 0.0314 \text{ м}^2 \cdot 1 \times 10^{-3} \text{ м} \approx 3.14 \times 10^{-5} \text{ м}^3$

Плотность энергии $w$ равна:

$w = \frac{W}{V}$

$w = \frac{1.68 \times 10^{-3} \text{ Дж}}{3.14 \times 10^{-5} \text{ м}^3} \approx 53.5 \text{ Дж/м}^3$

Альтернативно, плотность энергии можно найти по формуле, зная напряжённость поля $E$:

$w = \frac{\epsilon \epsilon_0 E^2}{2}$, где $E = \frac{U}{d}$

$E = \frac{2.4 \times 10^3 \text{ В}}{1 \times 10^{-3} \text{ м}} = 2.4 \times 10^6 \text{ В/м}$

$w = \frac{2.1 \cdot 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot (2.4 \times 10^6 \text{ В/м})^2}{2} \approx 53.5 \text{ Дж/м}^3$

Ответ: плотность энергии электрического поля $w \approx 53.5$ Дж/м³.