Страница 103 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

791. Гальванометр имеет сопротивление $200 \text{ Ом}$, и при силе тока $100 \text{ мкА}$ стрелка отклоняется на всю шкалу. Резистор какого сопротивления надо подключить, чтобы прибор можно было использовать как вольтметр для измерения напряжения до $2 \text{ В}$? Шунт какого сопротивления надо подключить к этому гальванометру, чтобы его можно было использовать как миллиамперметр для измерения силы тока до $10 \text{ мА}$?

Дано:

Сопротивление гальванометра $R_г = 200$ Ом
Ток полного отклонения стрелки $I_г = 100$ мкА
Максимальное измеряемое напряжение $U_{max} = 2$ В
Максимальная измеряемая сила тока $I_{max} = 10$ мА

$I_г = 100 \text{ мкА} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ А} = 10^{-4} \text{ А}$
$I_{max} = 10 \text{ мА} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.01 \text{ А}$

Найти:

1. Сопротивление дополнительного резистора $R_д$ - ?
2. Сопротивление шунта $R_ш$ - ?

Решение:

Резистор какого сопротивления надо подключить, чтобы прибор можно было использовать как вольтметр для измерения напряжения до 2 В?

Чтобы превратить гальванометр в вольтметр, необходимо последовательно с ним подключить дополнительный резистор $R_д$. Это увеличит общее сопротивление прибора и позволит измерять более высокое напряжение. При максимальном измеряемом напряжении $U_{max}$ через цепь (гальванометр + дополнительный резистор) должен протекать ток, равный току полного отклонения стрелки гальванометра $I_г$.

Согласно закону Ома для полной цепи вольтметра:

$U_{max} = I_г \cdot (R_г + R_д)$

Выразим отсюда сопротивление дополнительного резистора $R_д$:

$R_г + R_д = \frac{U_{max}}{I_г}$

$R_д = \frac{U_{max}}{I_г} - R_г$

Подставим числовые значения:

$R_д = \frac{2 \text{ В}}{10^{-4} \text{ А}} - 200 \text{ Ом} = 20000 \text{ Ом} - 200 \text{ Ом} = 19800 \text{ Ом} = 19.8 \text{ кОм}$

Ответ: необходимо подключить последовательно резистор сопротивлением 19.8 кОм.

Шунт какого сопротивления надо подключить к этому гальванометру, чтобы его можно было использовать как миллиамперметр для измерения силы тока до 10 мА?

Чтобы превратить гальванометр в миллиамперметр, необходимо параллельно ему подключить резистор с малым сопротивлением, называемый шунтом ($R_ш$). Шунт будет пропускать через себя избыточный ток, чтобы на гальванометр приходился только ток полного отклонения $I_г$.

При параллельном соединении напряжение на гальванометре ($U_г$) и на шунте ($U_ш$) одинаково:

$U_г = U_ш$

$I_г \cdot R_г = I_ш \cdot R_ш$

Общий ток $I_{max}$, который измеряет прибор, разветвляется на ток через гальванометр $I_г$ и ток через шунт $I_ш$:

$I_{max} = I_г + I_ш$

Отсюда ток через шунт:

$I_ш = I_{max} - I_г$

Подставим это выражение в формулу для напряжений:

$I_г \cdot R_г = (I_{max} - I_г) \cdot R_ш$

Выразим сопротивление шунта $R_ш$:

$R_ш = \frac{I_г \cdot R_г}{I_{max} - I_г}$

Подставим числовые значения:

$R_ш = \frac{10^{-4} \text{ А} \cdot 200 \text{ Ом}}{0.01 \text{ А} - 10^{-4} \text{ А}} = \frac{0.02 \text{ В}}{0.01 \text{ А} - 0.0001 \text{ А}} = \frac{0.02 \text{ В}}{0.0099 \text{ А}} \approx 2.02 \text{ Ом}$

Ответ: необходимо подключить параллельно шунт сопротивлением примерно 2.02 Ом.

792. Какие сопротивления можно получить, имея три резистора по 6 кОм?

Дано:

Количество резисторов: $n = 3$

Сопротивление каждого резистора: $R = 6 \text{ кОм}$

$R = 6 \text{ кОм} = 6 \times 10^3 \text{ Ом} = 6000 \text{ Ом}$

Найти:

Все возможные значения общего сопротивления $R_{общ}$, которые можно составить из данных резисторов.

Решение:

Для нахождения всех возможных значений сопротивления рассмотрим различные схемы соединения имеющихся трех резисторов. Мы можем использовать один, два или все три резистора.

1. Использование одного резистора.

Если использовать только один резистор, его сопротивление равно $R$.

$R_{общ1} = R = 6 \text{ кОм}$

2. Использование двух резисторов.

а) Два резистора соединены последовательно. Общее сопротивление равно сумме их сопротивлений.

$R_{общ2} = R + R = 2R = 2 \times 6 \text{ кОм} = 12 \text{ кОм}$

б) Два резистора соединены параллельно. Общее сопротивление находится по формуле:

$\frac{1}{R_{общ3}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$

$R_{общ3} = \frac{R}{2} = \frac{6 \text{ кОм}}{2} = 3 \text{ кОм}$

3. Использование трех резисторов.

а) Три резистора соединены последовательно.

$R_{общ4} = R + R + R = 3R = 3 \times 6 \text{ кОм} = 18 \text{ кОм}$

б) Три резистора соединены параллельно.

$\frac{1}{R_{общ5}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$

$R_{общ5} = \frac{R}{3} = \frac{6 \text{ кОм}}{3} = 2 \text{ кОм}$

в) Смешанное соединение: два резистора соединены параллельно, а третий — последовательно с ними.

Сначала найдем сопротивление параллельного участка: $R_{пар} = \frac{R}{2} = \frac{6 \text{ кОм}}{2} = 3 \text{ кОм}$.

Затем добавим последовательно третий резистор: $R_{общ6} = R_{пар} + R = 3 \text{ кОм} + 6 \text{ кОм} = 9 \text{ кОм}$.

Можно также использовать общую формулу: $R_{общ6} = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2} = \frac{3 \times 6 \text{ кОм}}{2} = 9 \text{ кОм}$.

г) Смешанное соединение: два резистора соединены последовательно, а третий — параллельно им.

Сначала найдем сопротивление последовательного участка: $R_{пос} = R + R = 2R = 2 \times 6 \text{ кОм} = 12 \text{ кОм}$.

Затем подключим параллельно третий резистор. Общее сопротивление найдем по формуле:

$\frac{1}{R_{общ7}} = \frac{1}{R_{пос}} + \frac{1}{R} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{1+2}{2R} = \frac{3}{2R}$

$R_{общ7} = \frac{2R}{3} = \frac{2 \times 6 \text{ кОм}}{3} = 4 \text{ кОм}$

Таким образом, мы нашли все возможные уникальные значения сопротивлений.

Ответ: имея три резистора по 6 кОм, можно получить следующие сопротивления: 2 кОм, 3 кОм, 4 кОм, 6 кОм, 9 кОм, 12 кОм и 18 кОм.

793. Сопротивление одного из последовательно включённых проводников в $n$ раз больше сопротивления другого. Во сколько раз изменится сила тока в цепи (напряжение постоянно), если эти проводники включить параллельно?

Дано:

Два проводника с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$.
Соотношение сопротивлений: $R_2 = n \cdot R_1$
Напряжение в цепи постоянно: $U = const$

Найти:

Отношение силы тока при параллельном соединении ($I_{пар}$) к силе тока при последовательном соединении ($I_{пос}$): $\frac{I_{пар}}{I_{пос}}$

Решение:

1. Последовательное соединение.
При последовательном соединении общее сопротивление цепи $R_{пос}$ равно сумме сопротивлений проводников: $R_{пос} = R_1 + R_2$ Подставим известное соотношение $R_2 = n \cdot R_1$: $R_{пос} = R_1 + nR_1 = R_1(1+n)$ Сила тока в цепи $I_{пос}$ согласно закону Ома для участка цепи: $I_{пос} = \frac{U}{R_{пос}} = \frac{U}{R_1(1+n)}$

2. Параллельное соединение.
При параллельном соединении величина, обратная общему сопротивлению $R_{пар}$, равна сумме величин, обратных сопротивлениям проводников: $\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ Подставим $R_2 = n \cdot R_1$ и приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{nR_1} = \frac{n}{nR_1} + \frac{1}{nR_1} = \frac{n+1}{nR_1}$ Отсюда общее сопротивление при параллельном соединении: $R_{пар} = \frac{nR_1}{n+1}$ Сила тока в цепи $I_{пар}$ при этом соединении: $I_{пар} = \frac{U}{R_{пар}} = \frac{U}{\frac{nR_1}{n+1}} = \frac{U(n+1)}{nR_1}$

3. Нахождение отношения сил тока.
Чтобы определить, во сколько раз изменится сила тока, найдем отношение $I_{пар}$ к $I_{пос}$: $\frac{I_{пар}}{I_{пос}} = \frac{\frac{U(n+1)}{nR_1}}{\frac{U}{R_1(1+n)}}$ Сократим одинаковые множители $U$ и $R_1$ в числителе и знаменателе: $\frac{I_{пар}}{I_{пос}} = \frac{n+1}{n} \cdot (1+n) = \frac{(n+1)^2}{n}$

Ответ: сила тока изменится (увеличится) в $\frac{(n+1)^2}{n}$ раз.

794. Четыре лампы, рассчитанные на напряжение 3 В и силу тока 0,3 А, надо включить параллельно и питать от источника напряжением 5,4 В. Резистор какого сопротивления надо включить последовательно лампам?

Дано:

Количество ламп, $n = 4$

Номинальное напряжение лампы, $U_л = 3$ В

Номинальная сила тока лампы, $I_л = 0,3$ А

Напряжение источника, $U_{ист} = 5,4$ В

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Сопротивление резистора, $R_{рез}$ - ?

Решение:

Четыре лампы соединены параллельно. Чтобы они работали в номинальном режиме, напряжение на этом участке цепи (на группе ламп $U_{группы}$) должно быть равно номинальному напряжению одной лампы.

$U_{группы} = U_л = 3$ В

При параллельном соединении общая сила тока, проходящая через группу ламп, равна сумме сил токов в каждой лампе. Так как лампы одинаковые, общая сила тока будет:

$I_{группы} = n \cdot I_л = 4 \cdot 0,3 \text{ А} = 1,2 \text{ А}$

Резистор подключен последовательно к группе ламп. Вся цепь состоит из двух последовательно соединенных элементов: группы ламп и резистора. При последовательном соединении сила тока во всех элементах цепи одинакова, а общее напряжение равно сумме напряжений на каждом элементе.

Следовательно, сила тока, проходящая через резистор ($I_{рез}$), равна общей силе тока в группе ламп:

$I_{рез} = I_{группы} = 1,2 \text{ А}$

Напряжение источника ($U_{ист}$) распределяется между группой ламп и резистором:

$U_{ист} = U_{группы} + U_{рез}$

Из этой формулы можно выразить напряжение на резисторе ($U_{рез}$):

$U_{рез} = U_{ист} - U_{группы}$

Подставим числовые значения:

$U_{рез} = 5,4 \text{ В} - 3 \text{ В} = 2,4 \text{ В}$

Теперь, зная напряжение на резисторе и силу тока, протекающего через него, мы можем найти его сопротивление, используя закон Ома для участка цепи:

$R_{рез} = \frac{U_{рез}}{I_{рез}}$

Подставим вычисленные значения:

$R_{рез} = \frac{2,4 \text{ В}}{1,2 \text{ А}} = 2 \text{ Ом}$

Ответ: необходимо включить последовательно лампам резистор сопротивлением 2 Ом.

795. Во сколько раз изменятся показания амперметра, если от схемы, приведённой на рисунке 82, а, перейти к схеме, показанной на рисунке 82, б? Напряжение, поданное на концы цепи, остаётся прежним.

Рис. 82

Дано:

Сопротивление каждого резистора: $R$

Схема а): три резистора соединены последовательно.

Схема б): два резистора соединены параллельно, и к ним последовательно подключен третий резистор.

Напряжение на концах цепи: $U = \text{const}$

Найти:

Во сколько раз изменятся показания амперметра, то есть найти отношение $\frac{I_б}{I_а}$.

Решение:

Показания амперметра равны силе тока в неразветвленной части цепи. Силу тока найдем по закону Ома для всей цепи: $I = \frac{U}{R_{общ}}$, где $U$ — напряжение на концах цепи, а $R_{общ}$ — общее (эквивалентное) сопротивление цепи.

Случай а)

В схеме а) три одинаковых резистора сопротивлением $R$ соединены последовательно. Общее сопротивление цепи $R_а$ при последовательном соединении равно сумме сопротивлений:

$R_а = R + R + R = 3R$

Сила тока в цепи, которую покажет амперметр, равна:

$I_а = \frac{U}{R_а} = \frac{U}{3R}$

Случай б)

В схеме б) два резистора сопротивлением $R$ соединены параллельно, и к этому участку последовательно подключен третий резистор $R$.

Сначала найдем сопротивление параллельного участка $R_{12}$:

$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$

Отсюда $R_{12} = \frac{R}{2}$.

Теперь найдем общее сопротивление всей цепи $R_б$, так как участок $R_{12}$ соединен последовательно с третьим резистором:

$R_б = R_{12} + R = \frac{R}{2} + R = \frac{R + 2R}{2} = \frac{3R}{2}$

Сила тока в цепи для этой схемы будет равна:

$I_б = \frac{U}{R_б} = \frac{U}{\frac{3R}{2}} = \frac{2U}{3R}$

Сравнение показаний

Чтобы определить, во сколько раз изменились показания амперметра, найдем отношение силы тока $I_б$ к силе тока $I_а$:

$\frac{I_б}{I_а} = \frac{\frac{2U}{3R}}{\frac{U}{3R}} = \frac{2U}{3R} \cdot \frac{3R}{U}$

Сократив $U$ и $3R$, получаем:

$\frac{I_б}{I_а} = 2$

Это означает, что ток в схеме б) в 2 раза больше, чем в схеме а).

Ответ: показания амперметра увеличатся в 2 раза.

796. Три одинаковые лампы соединены по схеме, приведенной на рисунке 83. Как будут гореть лампы при включении их в сеть с напряжением, на которое рассчитана каждая лампа? Как будет изменяться накал каждой из ламп, если эти лампы по одной поочерёдно: а) выключать; б) закорачивать? При возможности проверить ответ на опыте.

Рис. 82

Для анализа работы схемы введем обозначения: $U$ – напряжение сети, на которое рассчитана каждая лампа, $R$ – сопротивление каждой лампы в рабочем режиме. Яркость свечения (накал) лампы прямо пропорциональна мощности, выделяемой на ней, $P = I^2 R = U_{лампы}^2/R$. Номинальная мощность каждой лампы (яркость при нормальном горении) составляет $P_{ном} = U^2/R$.

Анализ начального состояния цепи

Решение

В исходной схеме лампы H2 и H3 соединены параллельно, а их группа соединена последовательно с лампой H1.
1. Найдем общее сопротивление параллельного участка с лампами H2 и H3:
$R_{23} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$
2. Найдем общее сопротивление всей цепи:
$R_{общ} = R_1 + R_{23} = R + \frac{R}{2} = 1.5R$
3. Найдем общий ток, протекающий через цепь от источника напряжения $U$:
$I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{1.5R} = \frac{2U}{3R}$
4. Этот ток полностью протекает через лампу H1. Найдем напряжение и мощность на лампе H1:
$U_1 = I_{общ} \cdot R_1 = \frac{2U}{3R} \cdot R = \frac{2}{3}U$
$P_1 = \frac{U_1^2}{R} = \frac{(\frac{2}{3}U)^2}{R} = \frac{4U^2}{9R} = \frac{4}{9}P_{ном}$
5. Напряжение на параллельном участке (на лампах H2 и H3) равно:
$U_{23} = I_{общ} \cdot R_{23} = \frac{2U}{3R} \cdot \frac{R}{2} = \frac{U}{3}$
Поскольку H2 и H3 соединены параллельно, напряжение на них одинаково: $U_2 = U_3 = U_{23} = \frac{1}{3}U$.
6. Найдем мощность на лампах H2 и H3:
$P_2 = \frac{U_2^2}{R} = \frac{(\frac{1}{3}U)^2}{R} = \frac{U^2}{9R} = \frac{1}{9}P_{ном}$
$P_3 = \frac{U_3^2}{R} = \frac{U^2}{9R} = \frac{1}{9}P_{ном}$
Сравнивая мощности, видим, что $P_1 > P_2 = P_3$. Конкретно, $P_1 = 4P_2$. Так как мощность всех ламп меньше номинальной ($P_1 \approx 0.44P_{ном}$, $P_{2,3} \approx 0.11P_{ном}$), все они будут гореть тускло.

Ответ: При включении в сеть все три лампы будут гореть тусклее своего номинального накала. Лампа H1 будет самой яркой из трех. Лампы H2 и H3 будут гореть одинаково тускло, их яркость будет в 4 раза меньше яркости лампы H1.

а) выключать

Решение

«Выключить» лампу означает создать разрыв в цепи на ее месте (например, перегорание нити накала).

• Выключение лампы H1: Цепь окажется разомкнутой, ток в ней прекратится. Следовательно, лампы H2 и H3 погаснут.

• Выключение лампы H2: Лампа H2 погаснет. Теперь лампы H1 и H3 оказываются соединенными последовательно. Их общее сопротивление $R'_{общ} = R + R = 2R$. Ток в цепи станет $I' = \frac{U}{2R}$. Этот ток протекает и через H1, и через H3. Новая мощность на этих лампах:
  $P'_1 = (I')^2 R = (\frac{U}{2R})^2 R = \frac{U^2}{4R} = \frac{1}{4}P_{ном} \approx 0.25P_{ном}$
  $P'_3 = (I')^2 R = \frac{1}{4}P_{ном} \approx 0.25P_{ном}$
  Сравнивая с начальными мощностями ($P_1 = \frac{4}{9}P_{ном}$, $P_3 = \frac{1}{9}P_{ном}$), видим, что накал лампы H1 уменьшится, а накал лампы H3 увеличится.

• Выключение лампы H3: Ситуация полностью симметрична выключению лампы H2. Лампа H3 погаснет, накал H1 уменьшится, а накал H2 увеличится.

Ответ:
При выключении H1: лампы H2 и H3 гаснут.
При выключении H2: H2 гаснет, H1 начинает гореть тусклее, а H3 — ярче, чем в начальном состоянии.
При выключении H3: H3 гаснет, H1 начинает гореть тусклее, а H2 — ярче, чем в начальном состоянии.

б) закорачивать

Решение

«Закоротить» лампу означает заменить ее проводником с нулевым сопротивлением.

• Закорачивание лампы H1: Ток пойдет по пути нулевого сопротивления, минуя лампу H1, поэтому она погаснет. Все напряжение сети $U$ окажется приложенным к параллельному участку с лампами H2 и H3. Напряжение на каждой из них станет равным номинальному: $U_2 = U_3 = U$. Следовательно, лампы H2 и H3 загорятся с полной (номинальной) яркостью, т.е. $P_2 = P_3 = P_{ном}$. Их накал значительно увеличится.

• Закорачивание лампы H2: Ток, дойдя до разветвления, пойдет по пути нулевого сопротивления, т.е. через закороченную лампу H2. Лампа H3 окажется зашунтирована этим коротким замыканием, и ток через нее не пойдет, поэтому она погаснет. Лампа H2 тоже не будет гореть. Вся цепь будет состоять фактически из одной лампы H1, подключенной к сети. Напряжение на H1 станет равным $U$, и она будет гореть с полной (номинальной) яркостью ($P_1 = P_{ном}$). Ее накал значительно увеличится по сравнению с начальным состоянием.

• Закорачивание лампы H3: Ситуация симметрична закорачиванию лампы H2. H3 и H2 погаснут, а лампа H1 загорится в полный накал.

Ответ:
При закорачивании H1: H1 гаснет, а лампы H2 и H3 загораются в полный (номинальный) накал.
При закорачивании H2: H2 и H3 гаснут, а лампа H1 загорается в полный накал.
При закорачивании H3: H3 и H2 гаснут, а лампа H1 загорается в полный накал.