Страница 107 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

819¹. Как изменятся показания амперметра и вольтметра (рис. 87), если замкнуть ключ?

Решение

Для анализа изменений показаний приборов рассмотрим состояние цепи до и после замыкания ключа. Обозначим ЭДС источника как $\mathcal{E}$, его внутреннее сопротивление как $r$, а сопротивление каждой из одинаковых лампочек как $R_Л$.

1. Начальное состояние (ключ разомкнут)

Когда ключ разомкнут, в цепь включена только одна лампочка. Общее внешнее сопротивление цепи равно $R_{внеш,1} = R_Л$.

Согласно закону Ома для полной цепи, ток, измеряемый амперметром, равен: $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш,1} + r} = \frac{\mathcal{E}}{R_Л + r}$

Вольтметр показывает напряжение на клеммах источника (напряжение на внешней цепи), которое равно: $U_1 = \mathcal{E} - I_1 \cdot r$

2. Конечное состояние (ключ замкнут)

При замыкании ключа вторая лампочка подключается параллельно первой. Общее внешнее сопротивление цепи становится равным сопротивлению двух параллельно соединенных лампочек: $\frac{1}{R_{внеш,2}} = \frac{1}{R_Л} + \frac{1}{R_Л} = \frac{2}{R_Л} \implies R_{внеш,2} = \frac{R_Л}{2}$

Как видно, $R_{внеш,2} < R_{внеш,1}$. Общее внешнее сопротивление цепи уменьшилось.

Новый ток в цепи, измеряемый амперметром, будет: $I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш,2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{R_Л}{2} + r}$

Новое напряжение на клеммах источника: $U_2 = \mathcal{E} - I_2 \cdot r$

3. Сравнение показаний

Изменение показаний амперметра:

Поскольку внешнее сопротивление цепи уменьшилось ($R_{внеш,2} < R_{внеш,1}$), полное сопротивление цепи $(R_{внеш} + r)$ также уменьшилось. Так как ток в цепи обратно пропорционален полному сопротивлению ($I = \mathcal{E} / (R_{внеш} + r)$), а ЭДС $\mathcal{E}$ постоянно, то сила тока в цепи увеличится: $I_2 > I_1$. Следовательно, показания амперметра увеличатся.

Изменение показаний вольтметра:

Напряжение на клеммах источника определяется выражением $U = \mathcal{E} - I \cdot r$. Мы выяснили, что ток $I$ в цепи увеличился. Это означает, что падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника, равное $I \cdot r$, также увеличилось. Поскольку из постоянной величины ЭДС ($\mathcal{E}$) вычитается большее значение, напряжение на клеммах $U$ уменьшится: $U_2 < U_1$. Следовательно, показания вольтметра уменьшатся.

Ответ: При замыкании ключа показания амперметра увеличатся, а показания вольтметра уменьшатся.

820. В проводнике сопротивлением 2 Ом, подключённом к элементу с ЭДС 1,1 В, сила тока равна 0,5 А. Какова сила тока при коротком замыкании элемента?

Дано:

Сопротивление проводника, $R = 2$ Ом
ЭДС элемента, $\mathcal{E} = 1,1$ В
Сила тока, $I = 0,5$ А

Найти:

Силу тока при коротком замыкании, $I_{кз}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Ома для полной цепи, который связывает силу тока, ЭДС, внешнее и внутреннее сопротивления:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

где $I$ — сила тока в цепи, $\mathcal{E}$ — ЭДС источника, $R$ — сопротивление внешнего проводника, а $r$ — внутреннее сопротивление источника тока.

Сначала найдем внутреннее сопротивление элемента $r$. Выразим его из закона Ома для полной цепи:

$I(R + r) = \mathcal{E}$

$R + r = \frac{\mathcal{E}}{I}$

$r = \frac{\mathcal{E}}{I} - R$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$r = \frac{1,1 \text{ В}}{0,5 \text{ А}} - 2 \text{ Ом} = 2,2 \text{ Ом} - 2 \text{ Ом} = 0,2 \text{ Ом}$

Теперь мы можем рассчитать силу тока при коротком замыкании ($I_{кз}$). Короткое замыкание происходит, когда внешнее сопротивление $R$ пренебрежимо мало ($R = 0$). В этом случае сила тока определяется только ЭДС и внутренним сопротивлением источника:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Подставим известные значения $\mathcal{E}$ и найденное значение $r$:

$I_{кз} = \frac{1,1 \text{ В}}{0,2 \text{ Ом}} = 5,5 \text{ А}$

Ответ: сила тока при коротком замыкании элемента равна 5,5 А.

821. Для определения ЭДС и внутреннего сопротивления источника тока собрали цепь по схеме, приведённой на рисунке 88. При некотором положении скользящего контакта реостата амперметр показал 0,5 А, а вольтметр 4 В. Когда контакт переместили немного влево, амперметр стал показывать 0,9 А, а вольтметр 3,6 В. Вычислить ЭДС и внутреннее сопротивление источника.

Дано:

$I_1 = 0,5$ А
$U_1 = 4$ В
$I_2 = 0,9$ А
$U_2 = 3,6$ В

Найти:

$\mathcal{E}$ — ?
$r$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом Ома для полной цепи. Напряжение на клеммах источника тока (показания вольтметра) связано с ЭДС источника ($\mathcal{E}$), силой тока в цепи ($I$) и внутренним сопротивлением источника ($r$) следующим соотношением:

$U = \mathcal{E} - I \cdot r$

Отсюда можно выразить ЭДС:

$\mathcal{E} = U + I \cdot r$

ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока являются его постоянными характеристиками. Поэтому мы можем составить систему из двух уравнений для двух состояний цепи, описанных в условии задачи.

Для первого случая (при силе тока $I_1$ и напряжении $U_1$):

$\mathcal{E} = U_1 + I_1 \cdot r$

Для второго случая (при силе тока $I_2$ и напряжении $U_2$):

$\mathcal{E} = U_2 + I_2 \cdot r$

Подставим в эти уравнения числовые значения из условия:

1) $\mathcal{E} = 4 + 0,5 \cdot r$

2) $\mathcal{E} = 3,6 + 0,9 \cdot r$

Так как левые части уравнений равны (ЭДС источника не меняется), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти неизвестное внутреннее сопротивление $r$:

$4 + 0,5 \cdot r = 3,6 + 0,9 \cdot r$

Сгруппируем слагаемые с $r$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$4 - 3,6 = 0,9 \cdot r - 0,5 \cdot r$

$0,4 = 0,4 \cdot r$

Отсюда находим значение внутреннего сопротивления:

$r = \frac{0,4}{0,4} = 1$ Ом

Теперь, зная внутреннее сопротивление, можно вычислить ЭДС, подставив значение $r$ в любое из двух исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением:

$\mathcal{E} = 4 + 0,5 \cdot r = 4 + 0,5 \cdot 1 = 4,5$ В

Для проверки можно подставить значение $r$ и во второе уравнение:

$\mathcal{E} = 3,6 + 0,9 \cdot r = 3,6 + 0,9 \cdot 1 = 4,5$ В

Результаты совпадают, следовательно, вычисления верны.

Ответ: ЭДС источника тока составляет 4,5 В, а его внутреннее сопротивление равно 1 Ом.

822. При подключении к батарее гальванических элементов резистора сопротивлением $16 \text{ Ом}$ сила тока в цепи была $1 \text{ А}$, а при подключении резистора сопротивлением $8 \text{ Ом}$ сила тока стала $1,8 \text{ А}$. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление батареи. При возможности выполните работу экспериментально, используя два резистора, сопротивления которых известны, и амперметр.

Дано:

Найти:

Решение:

Для решения задачи используется закон Ома для полной цепи, который связывает силу тока $I$, ЭДС источника $\mathcal{E}$, внешнее сопротивление $R$ и внутреннее сопротивление $r$:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Запишем это уравнение для двух экспериментов, описанных в условии.

1. При подключении резистора с сопротивлением $R_1 = 16$ Ом сила тока была $I_1 = 1$ А:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1+r} \implies \mathcal{E} = I_1(R_1+r)$

2. При подключении резистора с сопротивлением $R_2 = 8$ Ом сила тока стала $I_2 = 1,8$ А:

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2+r} \implies \mathcal{E} = I_2(R_2+r)$

Так как ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $r$ батареи являются ее постоянными характеристиками, мы можем приравнять выражения для $\mathcal{E}$ из обоих случаев:

$I_1(R_1+r) = I_2(R_2+r)$

Теперь подставим известные числовые значения в это уравнение, чтобы найти внутреннее сопротивление $r$:

$1 \cdot (16 + r) = 1,8 \cdot (8 + r)$

Раскроем скобки:

$16 + r = 1,8 \cdot 8 + 1,8r$

$16 + r = 14,4 + 1,8r$

Сгруппируем слагаемые с $r$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$16 - 14,4 = 1,8r - r$

$1,6 = 0,8r$

Отсюда находим $r$:

$r = \frac{1,6}{0,8} = 2$ Ом

Теперь, когда мы нашли внутреннее сопротивление, можем вычислить ЭДС, подставив значение $r$ в любое из двух исходных уравнений. Возьмем первое:

$\mathcal{E} = I_1(R_1+r) = 1 \cdot (16 + 2) = 1 \cdot 18 = 18$ В

Для проверки можно подставить найденные значения во второе уравнение:

$\mathcal{E} = I_2(R_2+r) = 1,8 \cdot (8 + 2) = 1,8 \cdot 10 = 18$ В

Результаты совпали, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: ЭДС батареи $\mathcal{E} = 18$ В, внутреннее сопротивление $r = 2$ Ом.

823. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС источника тока, если при силе тока 30 А мощность во внешней цепи равна 180 Вт, а при силе тока 10 А эта мощность равна 100 Вт.

Дано:

Сила тока в первом случае, $I_1 = 30$ А

Мощность во внешней цепи в первом случае, $P_1 = 180$ Вт

Сила тока во втором случае, $I_2 = 10$ А

Мощность во внешней цепи во втором случае, $P_2 = 100$ Вт

Найти:

Внутреннее сопротивление источника, $r$ - ?

ЭДС источника, $\mathcal{E}$ - ?

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи, связана с силой тока $I$, ЭДС источника $\mathcal{E}$ и его внутренним сопротивлением $r$ через закон Ома для полной цепи.

Закон Ома для полной цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$, где $R$ — сопротивление внешней цепи.

Напряжение на клеммах источника (на внешней цепи) равно $U = \mathcal{E} - I \cdot r$.

Мощность во внешней цепи можно выразить как $P = U \cdot I$. Подставив выражение для $U$, получим:
$P = (\mathcal{E} - I \cdot r) \cdot I = \mathcal{E}I - I^2r$

Используя эту формулу, составим систему уравнений для двух случаев, описанных в условии задачи.

Для первого случая ($I_1 = 30$ А, $P_1 = 180$ Вт):
$P_1 = \mathcal{E}I_1 - I_1^2r$
$180 = \mathcal{E} \cdot 30 - (30)^2 \cdot r$
$180 = 30\mathcal{E} - 900r$
Разделив обе части на 30, получим первое уравнение:
$6 = \mathcal{E} - 30r$ (1)

Для второго случая ($I_2 = 10$ А, $P_2 = 100$ Вт):
$P_2 = \mathcal{E}I_2 - I_2^2r$
$100 = \mathcal{E} \cdot 10 - (10)^2 \cdot r$
$100 = 10\mathcal{E} - 100r$
Разделив обе части на 10, получим второе уравнение:
$10 = \mathcal{E} - 10r$ (2)

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\mathcal{E}$ и $r$:
$\begin{cases} \mathcal{E} - 30r = 6 \\ \mathcal{E} - 10r = 10 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы исключить $\mathcal{E}$:
$(\mathcal{E} - 10r) - (\mathcal{E} - 30r) = 10 - 6$
$\mathcal{E} - 10r - \mathcal{E} + 30r = 4$
$20r = 4$
$r = \frac{4}{20} = 0.2$ Ом

Теперь, зная внутреннее сопротивление $r$, найдем ЭДС $\mathcal{E}$, подставив значение $r$ в любое из уравнений, например, во второе:
$10 = \mathcal{E} - 10 \cdot (0.2)$
$10 = \mathcal{E} - 2$
$\mathcal{E} = 10 + 2 = 12$ В

Ответ: внутреннее сопротивление источника тока $r = 0.2$ Ом, ЭДС источника $\mathcal{E} = 12$ В.

824. Вольтметр, подключённый к зажимам источника тока, показал 6 В. Когда к тем же зажимам подключили резистор, вольтметр стал показывать 3 В. Что покажет вольтметр, если вместо одного подключить два таких же резистора, соединённых последовательно; параллельно?

Дано:

Показания вольтметра без нагрузки (ЭДС источника) $ \mathcal{E} = 6 \text{ В} $
Показания вольтметра при подключении одного резистора $ U_1 = 3 \text{ В} $

Все данные в системе СИ.

Найти:

Напряжение на зажимах при последовательном соединении двух резисторов $ U_{посл} $ - ?
Напряжение на зажимах при параллельном соединении двух резисторов $ U_{пар} $ - ?

Решение:

Показания вольтметра, подключенного к зажимам источника тока без внешней нагрузки, равны его электродвижущей силе (ЭДС). Это происходит потому, что сопротивление идеального вольтметра бесконечно велико, ток через источник не течет, и, следовательно, падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника равно нулю. Таким образом, ЭДС источника $ \mathcal{E} = 6 \text{ В} $.

Когда к зажимам источника подключают резистор с сопротивлением $ R $, вольтметр, подключенный параллельно резистору, показывает напряжение на зажимах источника $ U_1 = 3 \text{ В} $.

Согласно закону Ома для полной цепи, ток $ I_1 $ в цепи равен: $$ I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R + r} $$ где $ r $ — внутреннее сопротивление источника.

Напряжение на зажимах источника $ U_1 $ можно выразить через ЭДС и падение напряжения на внутреннем сопротивлении: $$ U_1 = \mathcal{E} - I_1 r $$ Подставив известные значения, найдем падение напряжения на внутреннем сопротивлении: $$ 3 \text{ В} = 6 \text{ В} - I_1 r \implies I_1 r = 3 \text{ В} $$

Также напряжение на зажимах равно напряжению на внешнем резисторе $ R $: $$ U_1 = I_1 R = 3 \text{ В} $$

Сравнивая два выражения, $ I_1 r = 3 \text{ В} $ и $ I_1 R = 3 \text{ В} $, приходим к выводу, что внутреннее сопротивление источника равно сопротивлению подключенного резистора: $$ r = R $$

соединённых последовательно

При последовательном соединении двух таких же резисторов их общее внешнее сопротивление $ R_{посл} $ становится равным: $$ R_{посл} = R + R = 2R $$ Поскольку $ R = r $, то $ R_{посл} = 2r $.

Новый ток в цепи $ I_{посл} $ будет: $$ I_{посл} = \frac{\mathcal{E}}{R_{посл} + r} = \frac{\mathcal{E}}{2r + r} = \frac{\mathcal{E}}{3r} $$

Вольтметр покажет напряжение на зажимах $ U_{посл} $, которое равно напряжению на внешнем участке цепи: $$ U_{посл} = I_{посл} \cdot R_{посл} = \frac{\mathcal{E}}{3r} \cdot 2r = \frac{2\mathcal{E}}{3} $$ Подставим значение ЭДС: $$ U_{посл} = \frac{2 \cdot 6 \text{ В}}{3} = 4 \text{ В} $$

Ответ: 4 В.

параллельно

При параллельном соединении двух таких же резисторов их общее внешнее сопротивление $ R_{пар} $ рассчитывается по формуле: $$ \frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R} \implies R_{пар} = \frac{R}{2} $$ Поскольку $ R = r $, то $ R_{пар} = \frac{r}{2} $.

Новый ток в цепи $ I_{пар} $ будет: $$ I_{пар} = \frac{\mathcal{E}}{R_{пар} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{r}{2} + r} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{3r}{2}} = \frac{2\mathcal{E}}{3r} $$

Вольтметр покажет напряжение на зажимах $ U_{пар} $: $$ U_{пар} = I_{пар} \cdot R_{пар} = \frac{2\mathcal{E}}{3r} \cdot \frac{r}{2} = \frac{\mathcal{E}}{3} $$ Подставим значение ЭДС: $$ U_{пар} = \frac{6 \text{ В}}{3} = 2 \text{ В} $$

Ответ: 2 В.