Страница 113 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

855. Электрон, влетающий в однородное магнитное поле под углом 60° к направлению поля, движется по винтовой линии радиусом 5 см с периодом обращения 60 мкс. Какова скорость электрона, индукция магнитного поля и шаг винтовой линии?

Дано:

Угол влета электрона, $\alpha = 60^\circ$
Радиус винтовой линии, $R = 5$ см
Период обращения, $T = 60$ мкс
Справочные данные:
Заряд электрона (по модулю), $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл
Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Перевод в систему СИ:
$R = 0.05$ м
$T = 60 \times 10^{-6}$ с $= 6 \times 10^{-5}$ с

Найти:

$v$ — скорость электрона
$B$ — индукция магнитного поля
$h$ — шаг винтовой линии

Решение:

Движение электрона, влетающего в однородное магнитное поле под углом $\alpha$ к линиям индукции, является суперпозицией двух движений: равномерного движения вдоль линий поля и равномерного вращения в плоскости, перпендикулярной им. Скорость электрона $\vec{v}$ можно разложить на две составляющие:

1. Параллельная составляющая $v_{\parallel} = v \cos\alpha$, направленная вдоль поля $\vec{B}$. Она отвечает за поступательное движение винтовой линии.
2. Перпендикулярная составляющая $v_{\perp} = v \sin\alpha$, направленная перпендикулярно полю $\vec{B}$. Она отвечает за вращательное движение по окружности радиусом $R$.

Скорость электрона

Перпендикулярная составляющая скорости $v_{\perp}$ связана с радиусом $R$ и периодом обращения $T$ как скорость движения по окружности: $v_{\perp} = \frac{2\pi R}{T}$

Полная скорость электрона $v$ находится из соотношения $v_{\perp} = v \sin\alpha$: $v = \frac{v_{\perp}}{\sin\alpha} = \frac{2\pi R}{T \sin\alpha}$

Подставим числовые значения: $v = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 0.05 \text{ м}}{6 \times 10^{-5} \text{ с} \cdot \sin(60^\circ)} \approx \frac{0.31416}{6 \times 10^{-5} \cdot 0.866} \approx 6.05 \times 10^3$ м/с.

Ответ: Скорость электрона составляет примерно $6.05 \times 10^3$ м/с.

Индукция магнитного поля

Период вращения заряженной частицы в магнитном поле не зависит от скорости и определяется формулой: $T = \frac{2\pi m_e}{eB}$

Из этой формулы выразим величину индукции магнитного поля $B$: $B = \frac{2\pi m_e}{eT}$

Подставим числовые значения: $B = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 6 \times 10^{-5} \text{ с}} \approx \frac{5.72 \times 10^{-30}}{9.6 \times 10^{-24}} \approx 5.96 \times 10^{-7}$ Тл.

Ответ: Индукция магнитного поля равна примерно $5.96 \times 10^{-7}$ Тл (или 0.596 мкТл).

Шаг винтовой линии

Шаг винтовой линии $h$ — это расстояние, на которое электрон смещается вдоль линий поля за один период обращения $T$. Он равен произведению параллельной составляющей скорости $v_{\parallel}$ на период $T$. $h = v_{\parallel} \cdot T = (v \cos\alpha) \cdot T$

Подставим выражение для скорости $v$, которое мы нашли ранее: $h = \left(\frac{2\pi R}{T \sin\alpha}\right) \cos\alpha \cdot T = \frac{2\pi R \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\pi R}{\tan\alpha}$

Теперь вычислим шаг $h$: $h = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 0.05 \text{ м}}{\tan(60^\circ)} \approx \frac{0.31416}{1.732} \approx 0.181$ м.

Ответ: Шаг винтовой линии составляет примерно 0.181 м (или 18.1 см).

856. По графику (рис. 96) определить магнитную проницаемость стали при индукции $B_0$ намагничивающего поля 0,4 и 1,2 мТл.

Рис. 96

Дано:

Найти:

Решение:

Магнитная проницаемость вещества $\mu$ — это безразмерная величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция $B$ в веществе отличается от магнитной индукции $B_0$ намагничивающего поля в вакууме. Она вычисляется по формуле:

$\mu = \frac{B}{B_0}$

Значения магнитной индукции $B$ в стали для заданных значений $B_0$ определим по представленному графику, используя кривую с пометкой "Сталь".

При индукции $B_0 = 0,4$ мТл

Находим на горизонтальной оси (оси $B_0$) значение 0,4 мТл. Восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком для стали. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к вертикальной оси (оси $B$) и определяем соответствующее значение индукции в стали.

Из графика видно, что при $B_{0_1} = 0,4$ мТл индукция в стали составляет $B_1 = 0,8$ Тл.

Рассчитаем магнитную проницаемость $\mu_1$:

$\mu_1 = \frac{B_1}{B_{0_1}} = \frac{0,8 \text{ Тл}}{0,4 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{0,8}{0,4} \cdot 10^3 = 2 \cdot 10^3 = 2000$

Ответ: при индукции намагничивающего поля 0,4 мТл магнитная проницаемость стали равна 2000.

При индукции $B_0 = 1,2$ мТл

Аналогично находим на горизонтальной оси значение $B_0 = 1,2$ мТл. Восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком для стали. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси $B$.

Из графика видно, что при $B_{0_2} = 1,2$ мТл индукция в стали составляет $B_2 = 1,2$ Тл.

Рассчитаем магнитную проницаемость $\mu_2$:

$\mu_2 = \frac{B_2}{B_{0_2}} = \frac{1,2 \text{ Тл}}{1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = 1 \cdot 10^3 = 1000$

Ответ: при индукции намагничивающего поля 1,2 мТл магнитная проницаемость стали равна 1000.

857. Во сколько раз изменится магнитный поток, если чугунный сердечник в соленоиде заменить стальным таких же размеров? Индукция намагничивающего поля $B_0 = 2,2 \text{ мТл}$. Использовать рисунок 96.

Дано:

Индукция намагничивающего поля $B_0 = 2,2$ мТл
Начальный сердечник: чугунный
Конечный сердечник: стальной
Размеры сердечников одинаковы.

$B_0 = 2,2 \cdot 10^{-3}$ Тл

Найти:

Отношение магнитных потоков $\frac{\Phi_2}{\Phi_1}$.

Решение:

Магнитный поток $\Phi$ через поперечное сечение сердечника соленоида определяется по формуле: $ \Phi = B \cdot S $ где $B$ — индукция магнитного поля внутри сердечника, а $S$ — площадь поперечного сечения сердечника.

Для соленоида с чугунным сердечником (начальное состояние) магнитный поток равен: $ \Phi_1 = B_1 \cdot S $ где $B_1$ — индукция магнитного поля в чугуне.

После замены сердечника на стальной (конечное состояние) магнитный поток станет равен: $ \Phi_2 = B_2 \cdot S $ где $B_2$ — индукция магнитного поля в стали.

Поскольку по условию задачи сердечники имеют одинаковые размеры, площади их поперечных сечений $S$ равны. Следовательно, отношение магнитных потоков будет равно отношению индукций магнитного поля в сердечниках: $ \frac{\Phi_2}{\Phi_1} = \frac{B_2 \cdot S}{B_1 \cdot S} = \frac{B_2}{B_1} $

Значения индукций $B_1$ и $B_2$ зависят от материала сердечника и индукции намагничивающего поля $B_0$. Эти значения необходимо найти по графикам кривых намагничивания для чугуна и стали (рисунок 96, не приведен в условии, но является стандартным графиком для подобных задач).

По условию, индукция намагничивающего поля $B_0 = 2,2$ мТл. С помощью графика находим соответствующие значения индукции поля в материалах.

Для чугунного сердечника при $B_0 = 2,2$ мТл индукция поля составляет примерно: $ B_1 \approx 0,64 $ Тл

Для стального сердечника при $B_0 = 2,2$ мТл индукция поля составляет примерно: $ B_2 \approx 1,4 $ Тл

Теперь можно вычислить, во сколько раз изменится магнитный поток при замене сердечника: $ \frac{\Phi_2}{\Phi_1} = \frac{1,4 \text{ Тл}}{0,64 \text{ Тл}} = \frac{140}{64} = \frac{35}{16} = 2,1875 $

Округляя результат, получаем, что магнитный поток увеличится примерно в 2,19 раза.

Ответ: магнитный поток увеличится примерно в 2,19 раза.

858. Сила тока в медной ленте $I = 50 \, \text{А}$. Направление тока перпендикулярно сечению пластинки. Ленту помещают в однородное магнитное поле индукцией $B = 2 \, \text{Тл}$, направленной так, как показано на рисунке 97. Определить напряжённость электрического поля, возникающего в проводнике. Ширина ленты $a = 0,1 \, \text{см}$ и высота $h = 2 \, \text{см}$.

Рис. 97

Дано:

Сила тока в медной ленте, $I = 50 \text{ А}$
Индукция магнитного поля, $B = 2 \text{ Тл}$
Ширина ленты, $a = 0,1 \text{ см}$
Высота ленты, $h = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$a = 0,1 \text{ см} = 0.1 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$h = 2 \text{ см} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Напряжённость электрического поля, $E - ?$

Решение:

Явление, возникающее в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, называется эффектом Холла. На носители заряда (в меди это электроны) действует сила Лоренца, которая отклоняет их к одной из граней проводника. Направление тока на рисунке указано перпендикулярно плоскости чертежа (от нас). Электроны, имеющие отрицательный заряд, движутся в противоположном направлении (на нас).

Сила Лоренца $\vec{F}_L$, действующая на каждый электрон, определяется формулой: $ \vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B}) $, где $q = -e$ – заряд электрона, $\vec{v}$ – скорость его упорядоченного движения, $\vec{B}$ – вектор магнитной индукции.

Вектор скорости электронов $\vec{v}$ направлен на нас, а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ – вправо. По правилу левой руки (или правилу векторного произведения для отрицательного заряда), сила Лоренца $\vec{F}_L$ будет направлена вниз, вдоль высоты $h$.

Под действием силы Лоренца электроны смещаются к нижней грани ленты. В результате на нижней грани возникает избыток отрицательного заряда, а на верхней – недостаток, то есть избыток положительного заряда. Это приводит к возникновению поперечного электрического поля (холловского поля) $\vec{E}$, направленного от верхней грани к нижней.

Это поле создает электрическую силу $\vec{F}_E$, действующую на электроны в направлении, противоположном силе Лоренца: $ \vec{F}_E = q\vec{E} = -e\vec{E} $

Накопление заряда на гранях прекращается, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца. В установившемся режиме: $ |\vec{F}_L| = |\vec{F}_E| $

Поскольку векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, модуль силы Лоренца равен: $ F_L = evB $

Модуль электрической силы: $ F_E = eE $

Приравнивая модули сил, получаем: $ evB = eE \implies E = vB $

Скорость упорядоченного движения электронов $v$ можно выразить через силу тока $I$. Сила тока определяется как: $ I = n e v A $, где $n$ – концентрация свободных электронов в меди, $A$ – площадь поперечного сечения проводника.

Площадь поперечного сечения, перпендикулярная направлению тока, равна $A = a \cdot h$. Отсюда выразим скорость $v$: $ v = \frac{I}{neah} $

Подставим выражение для скорости в формулу для напряженности поля $E$: $ E = vB = \frac{IB}{neah} $

Для расчета нам необходимы константы: элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ и концентрация свободных электронов в меди. Концентрацию $n$ для меди можно найти в справочниках или рассчитать, зная, что на каждый атом меди приходится примерно один свободный электрон: $ n = \frac{\rho N_A}{M} $, где $\rho \approx 8960 \text{ кг/м}^3$ – плотность меди, $M \approx 0.0635 \text{ кг/моль}$ – молярная масса меди, $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ – число Авогадро. $ n = \frac{8960 \cdot 6.022 \cdot 10^{23}}{0.0635} \approx 8.5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3} $

Теперь выполним вычисления: $ E = \frac{50 \text{ А} \cdot 2 \text{ Тл}}{(8.5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot (2 \cdot 10^{-2} \text{ м})} $

$ E = \frac{100}{(8.5 \cdot 1.6 \cdot 2) \cdot 10^{28-19-3-2}} \frac{\text{В}}{\text{м}} = \frac{100}{27.2 \cdot 10^4} \frac{\text{В}}{\text{м}} $

$ E \approx 3.676 \cdot 10^{-4} \frac{\text{В}}{\text{м}} $

Ответ: $E \approx 3.7 \cdot 10^{-4} \text{ В/м}$.