Номер 855, страница 113 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

855. Электрон, влетающий в однородное магнитное поле под углом 60° к направлению поля, движется по винтовой линии радиусом 5 см с периодом обращения 60 мкс. Какова скорость электрона, индукция магнитного поля и шаг винтовой линии?

Дано:

Угол влета электрона, $\alpha = 60^\circ$
Радиус винтовой линии, $R = 5$ см
Период обращения, $T = 60$ мкс
Справочные данные:
Заряд электрона (по модулю), $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл
Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Перевод в систему СИ:
$R = 0.05$ м
$T = 60 \times 10^{-6}$ с $= 6 \times 10^{-5}$ с

Найти:

$v$ — скорость электрона
$B$ — индукция магнитного поля
$h$ — шаг винтовой линии

Решение:

Движение электрона, влетающего в однородное магнитное поле под углом $\alpha$ к линиям индукции, является суперпозицией двух движений: равномерного движения вдоль линий поля и равномерного вращения в плоскости, перпендикулярной им. Скорость электрона $\vec{v}$ можно разложить на две составляющие:

1. Параллельная составляющая $v_{\parallel} = v \cos\alpha$, направленная вдоль поля $\vec{B}$. Она отвечает за поступательное движение винтовой линии.
2. Перпендикулярная составляющая $v_{\perp} = v \sin\alpha$, направленная перпендикулярно полю $\vec{B}$. Она отвечает за вращательное движение по окружности радиусом $R$.

Скорость электрона

Перпендикулярная составляющая скорости $v_{\perp}$ связана с радиусом $R$ и периодом обращения $T$ как скорость движения по окружности: $v_{\perp} = \frac{2\pi R}{T}$

Полная скорость электрона $v$ находится из соотношения $v_{\perp} = v \sin\alpha$: $v = \frac{v_{\perp}}{\sin\alpha} = \frac{2\pi R}{T \sin\alpha}$

Подставим числовые значения: $v = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 0.05 \text{ м}}{6 \times 10^{-5} \text{ с} \cdot \sin(60^\circ)} \approx \frac{0.31416}{6 \times 10^{-5} \cdot 0.866} \approx 6.05 \times 10^3$ м/с.

Ответ: Скорость электрона составляет примерно $6.05 \times 10^3$ м/с.

Индукция магнитного поля

Период вращения заряженной частицы в магнитном поле не зависит от скорости и определяется формулой: $T = \frac{2\pi m_e}{eB}$

Из этой формулы выразим величину индукции магнитного поля $B$: $B = \frac{2\pi m_e}{eT}$

Подставим числовые значения: $B = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 6 \times 10^{-5} \text{ с}} \approx \frac{5.72 \times 10^{-30}}{9.6 \times 10^{-24}} \approx 5.96 \times 10^{-7}$ Тл.

Ответ: Индукция магнитного поля равна примерно $5.96 \times 10^{-7}$ Тл (или 0.596 мкТл).

Шаг винтовой линии

Шаг винтовой линии $h$ — это расстояние, на которое электрон смещается вдоль линий поля за один период обращения $T$. Он равен произведению параллельной составляющей скорости $v_{\parallel}$ на период $T$. $h = v_{\parallel} \cdot T = (v \cos\alpha) \cdot T$

Подставим выражение для скорости $v$, которое мы нашли ранее: $h = \left(\frac{2\pi R}{T \sin\alpha}\right) \cos\alpha \cdot T = \frac{2\pi R \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\pi R}{\tan\alpha}$

Теперь вычислим шаг $h$: $h = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 0.05 \text{ м}}{\tan(60^\circ)} \approx \frac{0.31416}{1.732} \approx 0.181$ м.

Ответ: Шаг винтовой линии составляет примерно 0.181 м (или 18.1 см).