Номер 851, страница 112 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

851. Протон и $\alpha$-частица$^1$ влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Сравнить радиусы окружностей, которые описывают частицы, если у них одинаковы:

а) скорости;

б) энергии.

Дано:

Протон (p): масса $m_p$, заряд $q_p = e$.
$\alpha$-частица: масса $m_\alpha \approx 4m_p$, заряд $q_\alpha = 2e$.
Частицы влетают в однородное магнитное поле с индукцией $B$ перпендикулярно линиям индукции.

Найти:

Сравнить радиусы траекторий $R_p$ и $R_\alpha$ в случаях:
a) $v_p = v_\alpha$
б) $K_p = K_\alpha$

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как частица влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, величина этой силы равна $F_Л = qvB$. Эта сила перпендикулярна скорости частицы и сообщает ей центростремительное ускорение, заставляя двигаться по окружности. Второй закон Ньютона для движения по окружности: $F_ц = \frac{mv^2}{R}$.

Приравнивая силу Лоренца и центростремительную силу, получаем:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда можем выразить радиус окружности, по которой движется частица:

$R = \frac{mv}{qB}$

Рассмотрим два случая.

а) скорости одинаковы

Пусть скорости протона и $\alpha$-частицы равны: $v_p = v_\alpha = v$.

Найдем радиус траектории для протона:

$R_p = \frac{m_p v_p}{q_p B} = \frac{m_p v}{eB}$

Найдем радиус траектории для $\alpha$-частицы, учитывая, что ее масса $m_\alpha \approx 4m_p$ и заряд $q_\alpha = 2e$:

$R_\alpha = \frac{m_\alpha v_\alpha}{q_\alpha B} = \frac{4m_p v}{2eB} = 2 \frac{m_p v}{eB}$

Теперь сравним радиусы, найдя их отношение:

$\frac{R_\alpha}{R_p} = \frac{2 \frac{m_p v}{eB}}{\frac{m_p v}{eB}} = 2$

Следовательно, $R_\alpha = 2R_p$.

Ответ: радиус окружности, описываемой $\alpha$-частицей, в 2 раза больше радиуса окружности, описываемой протоном.

б) энергии одинаковы

Пусть кинетические энергии протона и $\alpha$-частицы равны: $K_p = K_\alpha = K$.

Кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом $p = mv$ соотношением $K = \frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$. Отсюда импульс $p = \sqrt{2mK}$.

Подставим выражение для импульса в формулу для радиуса:

$R = \frac{p}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$

Найдем радиус траектории для протона:

$R_p = \frac{\sqrt{2m_p K_p}}{q_p B} = \frac{\sqrt{2m_p K}}{eB}$

Найдем радиус траектории для $\alpha$-частицы:

$R_\alpha = \frac{\sqrt{2m_\alpha K_\alpha}}{q_\alpha B} = \frac{\sqrt{2(4m_p)K}}{2eB} = \frac{\sqrt{8m_p K}}{2eB} = \frac{2\sqrt{2m_p K}}{2eB} = \frac{\sqrt{2m_p K}}{eB}$

Сравнивая выражения для $R_p$ и $R_\alpha$, видим, что они равны:

$R_p = R_\alpha$

Ответ: радиусы окружностей, описываемых частицами, одинаковы.