Номер 858, страница 113 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

858. Сила тока в медной ленте $I = 50 \, \text{А}$. Направление тока перпендикулярно сечению пластинки. Ленту помещают в однородное магнитное поле индукцией $B = 2 \, \text{Тл}$, направленной так, как показано на рисунке 97. Определить напряжённость электрического поля, возникающего в проводнике. Ширина ленты $a = 0,1 \, \text{см}$ и высота $h = 2 \, \text{см}$.

Рис. 97

Дано:

Сила тока в медной ленте, $I = 50 \text{ А}$
Индукция магнитного поля, $B = 2 \text{ Тл}$
Ширина ленты, $a = 0,1 \text{ см}$
Высота ленты, $h = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$a = 0,1 \text{ см} = 0.1 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$h = 2 \text{ см} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Напряжённость электрического поля, $E - ?$

Решение:

Явление, возникающее в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, называется эффектом Холла. На носители заряда (в меди это электроны) действует сила Лоренца, которая отклоняет их к одной из граней проводника. Направление тока на рисунке указано перпендикулярно плоскости чертежа (от нас). Электроны, имеющие отрицательный заряд, движутся в противоположном направлении (на нас).

Сила Лоренца $\vec{F}_L$, действующая на каждый электрон, определяется формулой: $ \vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B}) $, где $q = -e$ – заряд электрона, $\vec{v}$ – скорость его упорядоченного движения, $\vec{B}$ – вектор магнитной индукции.

Вектор скорости электронов $\vec{v}$ направлен на нас, а вектор магнитной индукции $\vec{B}$ – вправо. По правилу левой руки (или правилу векторного произведения для отрицательного заряда), сила Лоренца $\vec{F}_L$ будет направлена вниз, вдоль высоты $h$.

Под действием силы Лоренца электроны смещаются к нижней грани ленты. В результате на нижней грани возникает избыток отрицательного заряда, а на верхней – недостаток, то есть избыток положительного заряда. Это приводит к возникновению поперечного электрического поля (холловского поля) $\vec{E}$, направленного от верхней грани к нижней.

Это поле создает электрическую силу $\vec{F}_E$, действующую на электроны в направлении, противоположном силе Лоренца: $ \vec{F}_E = q\vec{E} = -e\vec{E} $

Накопление заряда на гранях прекращается, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца. В установившемся режиме: $ |\vec{F}_L| = |\vec{F}_E| $

Поскольку векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, модуль силы Лоренца равен: $ F_L = evB $

Модуль электрической силы: $ F_E = eE $

Приравнивая модули сил, получаем: $ evB = eE \implies E = vB $

Скорость упорядоченного движения электронов $v$ можно выразить через силу тока $I$. Сила тока определяется как: $ I = n e v A $, где $n$ – концентрация свободных электронов в меди, $A$ – площадь поперечного сечения проводника.

Площадь поперечного сечения, перпендикулярная направлению тока, равна $A = a \cdot h$. Отсюда выразим скорость $v$: $ v = \frac{I}{neah} $

Подставим выражение для скорости в формулу для напряженности поля $E$: $ E = vB = \frac{IB}{neah} $

Для расчета нам необходимы константы: элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ и концентрация свободных электронов в меди. Концентрацию $n$ для меди можно найти в справочниках или рассчитать, зная, что на каждый атом меди приходится примерно один свободный электрон: $ n = \frac{\rho N_A}{M} $, где $\rho \approx 8960 \text{ кг/м}^3$ – плотность меди, $M \approx 0.0635 \text{ кг/моль}$ – молярная масса меди, $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ – число Авогадро. $ n = \frac{8960 \cdot 6.022 \cdot 10^{23}}{0.0635} \approx 8.5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3} $

Теперь выполним вычисления: $ E = \frac{50 \text{ А} \cdot 2 \text{ Тл}}{(8.5 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot (2 \cdot 10^{-2} \text{ м})} $

$ E = \frac{100}{(8.5 \cdot 1.6 \cdot 2) \cdot 10^{28-19-3-2}} \frac{\text{В}}{\text{м}} = \frac{100}{27.2 \cdot 10^4} \frac{\text{В}}{\text{м}} $

$ E \approx 3.676 \cdot 10^{-4} \frac{\text{В}}{\text{м}} $

Ответ: $E \approx 3.7 \cdot 10^{-4} \text{ В/м}$.