Номер 865, страница 114 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

865. Для определения температурного коэффициента сопротивления меди на катушку медной проволоки подавали одно и то же напряжение. При погружении этой катушки в тающий лёд сила тока была 14 мА, а при опускании в кипяток сила тока стала 10 мА. Найти по этим данным температурный коэффициент сопротивления меди.

Дано:

Температура в тающем льду, $t_1 = 0 \text{ °C}$
Сила тока при температуре $t_1$, $I_1 = 14 \text{ мА}$
Температура в кипятке, $t_2 = 100 \text{ °C}$
Сила тока при температуре $t_2$, $I_2 = 10 \text{ мА}$
Напряжение $U$ постоянно.

$I_1 = 14 \cdot 10^{-3} \text{ А}$
$I_2 = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Найти:

Температурный коэффициент сопротивления меди $\alpha$.

Решение:

Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается линейной формулой:

$R = R_0(1 + \alpha \Delta t)$

где $R$ — сопротивление при конечной температуре, $R_0$ — сопротивление при начальной температуре, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta t$ — изменение температуры.

В качестве начального состояния выберем состояние катушки в тающем льду. Тогда начальная температура $t_1 = 0 \text{ °C}$, а начальное сопротивление равно $R_1$. Так как начальная температура равна $0 \text{ °C}$, то $R_1 = R_0$.

Конечным состоянием будет состояние катушки в кипятке. Температура $t_2 = 100 \text{ °C}$, а сопротивление равно $R_2$. Формула для $R_2$ примет вид:

$R_2 = R_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$

Так как $t_1 = 0 \text{ °C}$, то $t_2 - t_1 = t_2 = 100 \text{ °C}$.

$R_2 = R_1(1 + \alpha t_2)$

По закону Ома для участка цепи, сопротивление можно выразить через напряжение $U$ и силу тока $I$: $R = U/I$. Поскольку по условию задачи напряжение на катушке было постоянным, мы можем записать:

$R_1 = \frac{U}{I_1}$

$R_2 = \frac{U}{I_2}$

Подставим эти выражения для сопротивлений в формулу температурной зависимости:

$\frac{U}{I_2} = \frac{U}{I_1}(1 + \alpha t_2)$

Сократим напряжение $U$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{I_2} = \frac{1}{I_1}(1 + \alpha t_2)$

Теперь выразим из этого уравнения искомый коэффициент $\alpha$:

$\frac{I_1}{I_2} = 1 + \alpha t_2$

$\alpha t_2 = \frac{I_1}{I_2} - 1$

$\alpha = \frac{\frac{I_1}{I_2} - 1}{t_2} = \frac{I_1 - I_2}{I_2 t_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Обратите внимание, что единицы измерения силы тока (мА) сокращаются, поэтому для расчета их можно не переводить в Амперы.

$\alpha = \frac{14 \text{ мА} - 10 \text{ мА}}{10 \text{ мА} \cdot 100 \text{ °C}} = \frac{4}{1000} \text{ °C}^{-1} = 0.004 \text{ °C}^{-1}$

Поскольку изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению на 1 Кельвин, то единица измерения температурного коэффициента сопротивления $\text{°C}^{-1}$ эквивалентна $\text{К}^{-1}$.

$\alpha = 0.004 \text{ К}^{-1} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$

Ответ: температурный коэффициент сопротивления меди равен $4 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$.