Номер 869, страница 115 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

869. На баллоне электрической лампы написано 220 В, 100 Вт. Для измерения сопротивления нити накала в холодном состоянии на лампу подали напряжение 2 В, при этом сила тока была 54 мА. Найти приблизительно температуру накала вольфрамовой нити.

Дано:

Номинальное напряжение лампы (в горячем состоянии), $U_1 = 220$ В
Номинальная мощность лампы (в горячем состоянии), $P_1 = 100$ Вт
Напряжение для измерения (в холодном состоянии), $U_2 = 2$ В
Сила тока (в холодном состоянии), $I_2 = 54$ мА
Примем температуру холодного состояния нити $t_2 = 20$ °C.
Температурный коэффициент сопротивления вольфрама $\alpha \approx 4.5 \times 10^{-3}$ К⁻¹ (справочное значение).

Переведем силу тока в систему СИ:
$I_2 = 54 \text{ мА} = 54 \times 10^{-3} \text{ А} = 0.054 \text{ А}$

Найти:

Приблизительную температуру накала вольфрамовой нити $t_1$.

Решение:

1. Сначала найдем сопротивление нити накала в рабочем (горячем) состоянии. Мощность электрического тока связана с напряжением и сопротивлением формулой: $P_1 = \frac{U_1^2}{R_1}$

Выразим из этой формулы сопротивление в горячем состоянии $R_1$ и подставим значения: $R_1 = \frac{U_1^2}{P_1} = \frac{(220 \text{ В})^2}{100 \text{ Вт}} = \frac{48400}{100} \text{ Ом} = 484 \text{ Ом}$

2. Далее найдем сопротивление нити накала в холодном состоянии, используя закон Ома для участка цепи: $R_2 = \frac{U_2}{I_2}$

Подставим значения, полученные при измерении: $R_2 = \frac{2 \text{ В}}{0.054 \text{ А}} \approx 37.04 \text{ Ом}$

3. Сопротивление проводника зависит от его температуры. Эта зависимость для не очень больших изменений температуры описывается линейной формулой: $R_1 = R_2(1 + \alpha (t_1 - t_2))$ где $R_1$ — сопротивление при искомой температуре накала $t_1$, $R_2$ — сопротивление при холодной температуре $t_2$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления материала (в данном случае вольфрама).

Выразим из этой формулы температуру накала $t_1$: $\frac{R_1}{R_2} = 1 + \alpha (t_1 - t_2)$
$\frac{R_1}{R_2} - 1 = \alpha (t_1 - t_2)$
$t_1 - t_2 = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R_1}{R_2} - 1 \right)$
$t_1 = t_2 + \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R_1}{R_2} - 1 \right)$

4. Теперь подставим все известные и вычисленные значения в полученную формулу: $t_1 = 20 \text{ °C} + \frac{1}{4.5 \times 10^{-3} \text{ К⁻¹}} \left( \frac{484 \text{ Ом}}{37.04 \text{ Ом}} - 1 \right)$
$t_1 \approx 20 + \frac{1}{0.0045} \left( 13.067 - 1 \right)$
$t_1 \approx 20 + \frac{12.067}{0.0045}$
$t_1 \approx 20 + 2681.5$
$t_1 \approx 2701.5 \text{ °C}$

Так как в условии просят найти приблизительную температуру, а также учитывая, что температурный коэффициент сопротивления сам является усредненной величиной, округлим полученный результат.

Ответ: приблизительная температура накала вольфрамовой нити составляет около $2700$ °C.