Страница 115 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

868. На сколько процентов изменится мощность, потребляемая электромагнитом, обмотка которого выполнена из медной проволоки, при изменении температуры от 0 до 30 °C?

Дано:

начальная температура, $t_1 = 0$ °c

конечная температура, $t_2 = 30$ °c

материал обмотки – медь

температурный коэффициент сопротивления меди, $\alpha \approx 0,004$ к⁻¹

Найти:

процентное изменение мощности, $\frac{\Delta P}{P_1} \cdot 100\%$

Решение:

Мощность, потребляемая электромагнитом, подключенным к источнику с постоянным напряжением $U$, определяется формулой: $P = \frac{U^2}{R}$. При изменении температуры меняется сопротивление $R$ обмотки, что приводит к изменению потребляемой мощности. Будем считать, что напряжение $U$ на обмотке электромагнита остается постоянным.

Зависимость сопротивления медной обмотки от температуры описывается линейным законом: $R_2 = R_1(1 + \alpha \cdot \Delta t)$, где $R_1$ – сопротивление при начальной температуре $t_1=0$ °c, $R_2$ – сопротивление при конечной температуре $t_2=30$ °c, $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления меди, а $\Delta t = t_2 - t_1$ – изменение температуры.

Изменение температуры составляет: $\Delta t = 30 \text{ °c} - 0 \text{ °c} = 30 \text{ °c}$. Поскольку шкалы цельсия и кельвина имеют одинаковую цену деления, изменение температуры в кельвинах будет таким же: $\Delta T = 30$ к.

Найдем, как изменится сопротивление обмотки. Отношение конечного сопротивления к начальному: $\frac{R_2}{R_1} = 1 + \alpha \cdot \Delta t = 1 + 0,004 \text{ к⁻¹} \cdot 30 \text{ к} = 1 + 0,12 = 1,12$. Таким образом, сопротивление обмотки увеличится в 1,12 раза (на 12%).

Мощность при начальной температуре $t_1$ равна $P_1 = \frac{U^2}{R_1}$. Мощность при конечной температуре $t_2$ равна $P_2 = \frac{U^2}{R_2}$.

Процентное изменение мощности можно найти как: $\frac{\Delta P}{P_1} \cdot 100\% = \frac{P_2 - P_1}{P_1} \cdot 100\% = \left(\frac{P_2}{P_1} - 1\right) \cdot 100\%$.

Найдем отношение мощностей, подставив выражения для $P_1$ и $P_2$: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{U^2/R_2}{U^2/R_1} = \frac{R_1}{R_2}$.

Так как мы нашли, что $\frac{R_2}{R_1} = 1,12$, то $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{1,12}$. Следовательно, $\frac{P_2}{P_1} = \frac{1}{1,12}$.

Теперь вычислим процентное изменение мощности: $\left(\frac{1}{1,12} - 1\right) \cdot 100\% = \left(\frac{1 - 1,12}{1,12}\right) \cdot 100\% = \frac{-0,12}{1,12} \cdot 100\% \approx -0,10714 \cdot 100\% \approx -10,7\%$.

Знак "минус" указывает на то, что мощность уменьшилась.

Ответ: мощность, потребляемая электромагнитом, уменьшится на 10,7%.

869. На баллоне электрической лампы написано 220 В, 100 Вт. Для измерения сопротивления нити накала в холодном состоянии на лампу подали напряжение 2 В, при этом сила тока была 54 мА. Найти приблизительно температуру накала вольфрамовой нити.

Дано:

Номинальное напряжение лампы (в горячем состоянии), $U_1 = 220$ В
Номинальная мощность лампы (в горячем состоянии), $P_1 = 100$ Вт
Напряжение для измерения (в холодном состоянии), $U_2 = 2$ В
Сила тока (в холодном состоянии), $I_2 = 54$ мА
Примем температуру холодного состояния нити $t_2 = 20$ °C.
Температурный коэффициент сопротивления вольфрама $\alpha \approx 4.5 \times 10^{-3}$ К⁻¹ (справочное значение).

Переведем силу тока в систему СИ:
$I_2 = 54 \text{ мА} = 54 \times 10^{-3} \text{ А} = 0.054 \text{ А}$

Найти:

Приблизительную температуру накала вольфрамовой нити $t_1$.

Решение:

1. Сначала найдем сопротивление нити накала в рабочем (горячем) состоянии. Мощность электрического тока связана с напряжением и сопротивлением формулой: $P_1 = \frac{U_1^2}{R_1}$

Выразим из этой формулы сопротивление в горячем состоянии $R_1$ и подставим значения: $R_1 = \frac{U_1^2}{P_1} = \frac{(220 \text{ В})^2}{100 \text{ Вт}} = \frac{48400}{100} \text{ Ом} = 484 \text{ Ом}$

2. Далее найдем сопротивление нити накала в холодном состоянии, используя закон Ома для участка цепи: $R_2 = \frac{U_2}{I_2}$

Подставим значения, полученные при измерении: $R_2 = \frac{2 \text{ В}}{0.054 \text{ А}} \approx 37.04 \text{ Ом}$

3. Сопротивление проводника зависит от его температуры. Эта зависимость для не очень больших изменений температуры описывается линейной формулой: $R_1 = R_2(1 + \alpha (t_1 - t_2))$ где $R_1$ — сопротивление при искомой температуре накала $t_1$, $R_2$ — сопротивление при холодной температуре $t_2$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления материала (в данном случае вольфрама).

Выразим из этой формулы температуру накала $t_1$: $\frac{R_1}{R_2} = 1 + \alpha (t_1 - t_2)$
$\frac{R_1}{R_2} - 1 = \alpha (t_1 - t_2)$
$t_1 - t_2 = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R_1}{R_2} - 1 \right)$
$t_1 = t_2 + \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R_1}{R_2} - 1 \right)$

4. Теперь подставим все известные и вычисленные значения в полученную формулу: $t_1 = 20 \text{ °C} + \frac{1}{4.5 \times 10^{-3} \text{ К⁻¹}} \left( \frac{484 \text{ Ом}}{37.04 \text{ Ом}} - 1 \right)$
$t_1 \approx 20 + \frac{1}{0.0045} \left( 13.067 - 1 \right)$
$t_1 \approx 20 + \frac{12.067}{0.0045}$
$t_1 \approx 20 + 2681.5$
$t_1 \approx 2701.5 \text{ °C}$

Так как в условии просят найти приблизительную температуру, а также учитывая, что температурный коэффициент сопротивления сам является усредненной величиной, округлим полученный результат.

Ответ: приблизительная температура накала вольфрамовой нити составляет около $2700$ °C.

870. Найти удельное сопротивление стали при 50 °С. Учтите, что в таблице 9 приложений приведены удельные сопротивления при 20 °С.

Дано:

Конечная температура стали: $t = 50$ °C

Начальная температура (из условия о таблице 9): $t_0 = 20$ °C

Удельное сопротивление стали при $t_0$ (табличное значение): $ρ_0 = 0,12 \cdot 10^{-6}$ Ом·м

Температурный коэффициент сопротивления стали (табличное значение): $α = 0,006$ К⁻¹

Перевод в СИ:

Для расчетов необходимо использовать разность температур $Δt = t - t_0$. Разность температур одинакова как в шкале Цельсия, так и в шкале Кельвина:

$Δt = 50 \text{ °C} - 20 \text{ °C} = 30 \text{ °C} = 30 \text{ К}$

Все остальные величины уже представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$ρ$ — удельное сопротивление стали при 50 °C.

Решение:

Зависимость удельного сопротивления проводников от температуры в большинстве случаев является линейной и описывается следующей формулой:

$ρ = ρ_0(1 + α \cdot (t - t_0))$

где $ρ$ — искомое удельное сопротивление при температуре $t$, $ρ_0$ — удельное сопротивление при начальной температуре $t_0$, а $α$ — температурный коэффициент сопротивления материала.

Значения $ρ_0$ и $α$ для стали являются справочными. Подставим известные данные в формулу.

Сначала рассчитаем множитель, учитывающий изменение температуры:

$1 + α \cdot (t - t_0) = 1 + 0,006 \text{ К}^{-1} \cdot (50 \text{ °C} - 20 \text{ °C}) = 1 + 0,006 \cdot 30 = 1 + 0,18 = 1,18$

Теперь вычислим искомое удельное сопротивление:

$ρ = 0,12 \cdot 10^{-6} \text{ Ом·м} \cdot 1,18$

$ρ = 0,1416 \cdot 10^{-6}$ Ом·м

Округлим результат до трех значащих цифр, что соответствует точности табличных данных.

$ρ \approx 0,142 \cdot 10^{-6}$ Ом·м

Ответ: удельное сопротивление стали при 50 °C равно примерно $0,142 \cdot 10^{-6}$ Ом·м.

871. Концентрация электронов проводимости в германии при комнатной температуре $n = 3 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3}$. Какую часть составляет число электронов проводимости от общего числа атомов?

Дано:

Найти:

Решение:

Чтобы определить, какую часть составляет число электронов проводимости от общего числа атомов в германии, нужно найти отношение их концентраций. Концентрация — это количество частиц в единице объема. Отношение концентраций в одном и том же объеме будет равно отношению общего числа частиц.

Концентрация электронов проводимости $n$ известна из условия задачи.

Концентрацию атомов германия $n_a$ можно рассчитать, зная его плотность $\rho$, молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$. Формула для расчета концентрации атомов:

$n_a = \frac{\rho \cdot N_A}{M}$

Подставим в формулу справочные значения для германия, используя молярную массу в системе СИ (кг/моль):

$n_a = \frac{5323 \text{ кг/м}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{0,07263 \text{ кг/моль}} \approx 4,414 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}$

Теперь, зная концентрацию атомов $n_a$ и концентрацию электронов проводимости $n$, мы можем найти их отношение:

$\frac{n}{n_a} = \frac{3 \cdot 10^{19} \text{ м}^{-3}}{4,414 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}}$

Выполним вычисления:

$\frac{n}{n_a} \approx 0,6796 \cdot 10^{19-28} = 0,6796 \cdot 10^{-9} \approx 6,8 \cdot 10^{-10}$

Таким образом, на каждый атом германия приходится $6,8 \cdot 10^{-10}$ свободных электронов. Иначе говоря, один свободный электрон приходится примерно на $1,47$ миллиарда атомов германия ($1 / (6,8 \cdot 10^{-10}) \approx 1,47 \cdot 10^9$).

Ответ: число электронов проводимости составляет $6,8 \cdot 10^{-10}$ от общего числа атомов.

872. Доказать рассуждением, что соединение InAs (арсенид индия), в котором количества (в молях) индия и мышьяка одинаковы, обладает проводимостью типа собственной проводимости элементов четвёртой группы (Ge, Si). Какого типа будет проводимость при увеличении концентрации индия; мышьяка?

Решение

Доказать рассуждением, что соединение InAs (арсенид индия), в котором количества (в молях) индия и мышьяка одинаковы, обладает проводимостью типа собственной проводимости элементов четвёртой группы (Ge, Si).

Собственная проводимость полупроводников, таких как элементы четвёртой группы кремний (Si) и германий (Ge), обусловлена тем, что в их кристаллической решётке все валентные электроны (по 4 у каждого атома) участвуют в образовании ковалентных связей. Проводимость возникает только при разрыве этих связей (например, из-за теплового возбуждения), что приводит к появлению равного количества свободных носителей заряда — электронов и дырок ($n=p$).

Рассмотрим соединение InAs (арсенид индия).

• Атом индия (In) находится в 13-й (III-A) группе периодической системы и имеет 3 валентных электрона.
• Атом мышьяка (As) находится в 15-й (V-A) группе периодической системы и имеет 5 валентных электронов.

В стехиометрическом соединении InAs, где количества индия и мышьяка одинаковы, на каждую пару атомов (In-As) приходится $3 + 5 = 8$ валентных электронов. Следовательно, среднее число валентных электронов на один атом в соединении составляет $8 / 2 = 4$. Это значение совпадает с числом валентных электронов у атомов элементов IV группы (Ge, Si).

Арсенид индия кристаллизуется в структуре типа цинковой обманки, которая является аналогом алмазной структуры кремния и германия. В этой решётке каждый атом образует четыре ковалентные связи со своими ближайшими соседями (каждый атом In окружен четырьмя атомами As, и наоборот). Для формирования этих четырёх связей как раз и используются все 8 валентных электронов пары In-As.

Таким образом, в идеальном кристалле InAs при температуре, близкой к абсолютному нулю, все валентные электроны задействованы в связях, валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости пуста. Проводимость возникает только при термической генерации электронно-дырочных пар. Концентрация электронов в зоне проводимости оказывается равной концентрации дырок в валентной зоне, что и определяет собственную проводимость материала, аналогичную проводимости чистых Ge и Si.

Ответ: Соединение InAs с равным количеством атомов индия и мышьяка имеет в среднем 4 валентных электрона на атом, как и элементы IV группы. Все эти электроны участвуют в формировании ковалентных связей в кристаллической решётке, аналогичной решётке Ge и Si. Поэтому проводимость чистого InAs является собственной, где носители заряда (электроны и дырки) генерируются парами и их концентрации равны.

Какого типа будет проводимость при увеличении концентрации индия?

Индий (In) — элемент III группы. Если его концентрация в кристалле InAs превышает концентрацию мышьяка, то избыточные атомы индия выступают в роли примеси. Атом индия, имея 3 валентных электрона, для образования четырёх полноценных ковалентных связей с окружающими атомами мышьяка должен "принять" один электрон из уже существующей связи в кристалле. Этот процесс приводит к образованию в валентной зоне свободного места с положительным зарядом — дырки.

Таким образом, избыточные атомы индия являются акцепторной примесью. Они создают в запрещенной зоне акцепторные уровни, расположенные близко к потолку валентной зоны. Электроны из валентной зоны легко переходят на эти уровни, оставляя после себя подвижные дырки, которые становятся основными носителями заряда. Концентрация дырок ($p$) становится значительно больше концентрации электронов ($n$).

Ответ: При увеличении концентрации индия проводимость будет дырочной, или p-типа.

Какого типа будет проводимость при увеличении концентрации мышьяка?

Мышьяк (As) — элемент V группы. Если его концентрация в кристалле InAs превышает концентрацию индия, то избыточные атомы мышьяка также действуют как примесь. Атом мышьяка имеет 5 валентных электронов. Четыре из них используются для образования ковалентных связей с окружающими атомами индия.

Пятый валентный электрон оказывается слабо связанным с атомом и при небольшой затрате энергии (например, тепловой) легко отрывается и переходит в зону проводимости, становясь свободным носителем заряда — электроном.

Таким образом, избыточные атомы мышьяка являются донорной примесью. Они создают в запрещенной зоне донорные уровни, расположенные близко ко дну зоны проводимости. В результате концентрация свободных электронов ($n$) становится значительно больше концентрации дырок ($p$). Электроны становятся основными носителями заряда.

Ответ: При увеличении концентрации мышьяка проводимость будет электронной, или n-типа.

873. Для получения примесной проводимости нужного типа в полупроводниковой технике часто применяют фосфор, галлий, мышьяк, индий, сурьму. Какие из этих элементов можно ввести в качестве примеси в германий, чтобы получить электронную проводимость?

Решение

Для создания примесной проводимости в полупроводниках используется процесс легирования, то есть введения в кристалл основного полупроводника атомов примеси. В данной задаче основным полупроводником является германий (Ge).

Германий — это элемент IV группы периодической таблицы Д. И. Менделеева. Атомы германия имеют по четыре валентных электрона, которые образуют ковалентные связи в кристаллической решетке.

Электронная проводимость (или проводимость n-типа) обусловлена наличием свободных электронов в кристалле, которые становятся основными носителями заряда. Чтобы создать такие свободные электроны, в кристалл германия необходимо добавить примесь, атомы которой имеют валентность больше, чем у германия. Такие примеси называются донорными.

Донорными примесями для германия являются элементы V группы, так как они имеют по пять валентных электронов. Когда атом такой примеси замещает атом германия в кристаллической решетке, четыре из пяти его валентных электронов образуют ковалентные связи с соседними атомами германия, а пятый электрон оказывается избыточным, слабо связанным с атомом, и легко становится свободным носителем заряда.

Примеси элементов III группы (с тремя валентными электронами) являются акцепторными. Они создают недостаток электрона для образования связи («дырку»), что приводит к дырочной проводимости (p-типа).

Рассмотрим элементы, перечисленные в задаче:

• Фосфор (P) — элемент V группы. Имеет 5 валентных электронов. Является донором.
• Галлий (Ga) — элемент III группы. Имеет 3 валентных электрона. Является акцептором.
• Мышьяк (As) — элемент V группы. Имеет 5 валентных электронов. Является донором.
• Индий (In) — элемент III группы. Имеет 3 валентных электрона. Является акцептором.
• Сурьма (Sb) — элемент V группы. Имеет 5 валентных электронов. Является донором.

Таким образом, чтобы получить электронную проводимость, в германий необходимо ввести донорные примеси, которыми из перечисленных являются фосфор, мышьяк и сурьма.

Ответ: фосфор, мышьяк, сурьма.

874. К концам цепи, состоящей из последовательно включённых термистора и резистора сопротивлением $1 \text{ кОм}$, подано напряжение $20 \text{ В}$. При комнатной температуре сила тока в цепи была $5 \text{ мА}$. Когда термистор опустили в горячую воду, сила тока в цепи стала $10 \text{ мА}$. Во сколько раз изменилось в результате нагрева сопротивление термистора?

Дано:

Сопротивление резистора, $R = 1$ кОм
Напряжение в цепи, $U = 20$ В
Сила тока при комнатной температуре, $I_1 = 5$ мА
Сила тока в горячей воде, $I_2 = 10$ мА

$R = 1 \text{ кОм} = 1 \cdot 10^3 \text{ Ом} = 1000 \text{ Ом}$
$U = 20 \text{ В}$
$I_1 = 5 \text{ мА} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.005 \text{ А}$
$I_2 = 10 \text{ мА} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.01 \text{ А}$

Найти:

Во сколько раз изменилось сопротивление термистора, т.е. найти отношение $k = \frac{R_{Т1}}{R_{Т2}}$.

Решение:

Термистор и резистор соединены последовательно. Общее сопротивление цепи $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений резистора $R$ и термистора $R_Т$:
$R_{общ} = R + R_Т$

Согласно закону Ома для полной цепи, напряжение $U$ связано с силой тока $I$ и общим сопротивлением $R_{общ}$ соотношением:
$U = I \cdot R_{общ} = I \cdot (R + R_Т)$

Из этой формулы можно выразить сопротивление термистора $R_Т$:
$R_Т = \frac{U}{I} - R$

1. Найдем сопротивление термистора при комнатной температуре ($R_{Т1}$), когда сила тока была $I_1 = 5$ мА:
$R_{Т1} = \frac{U}{I_1} - R = \frac{20 \text{ В}}{0.005 \text{ А}} - 1000 \text{ Ом} = 4000 \text{ Ом} - 1000 \text{ Ом} = 3000 \text{ Ом}$

2. Найдем сопротивление термистора в горячей воде ($R_{Т2}$), когда сила тока стала $I_2 = 10$ мА:
$R_{Т2} = \frac{U}{I_2} - R = \frac{20 \text{ В}}{0.01 \text{ А}} - 1000 \text{ Ом} = 2000 \text{ Ом} - 1000 \text{ Ом} = 1000 \text{ Ом}$

3. Найдем, во сколько раз изменилось сопротивление. Поскольку сопротивление уменьшилось (с 3000 Ом до 1000 Ом), найдем отношение начального сопротивления к конечному:
$k = \frac{R_{Т1}}{R_{Т2}} = \frac{3000 \text{ Ом}}{1000 \text{ Ом}} = 3$

Таким образом, в результате нагрева сопротивление термистора уменьшилось в 3 раза.

Ответ: сопротивление термистора уменьшилось в 3 раза.

875. На рисунке 98 приведены графики зависимости силы тока, идущего через фоторезистор, от приложенного напряжения. Какой график относится к освещённому фоторезистору и какой к находящемуся в темноте? Применим ли закон Ома к данному фоторезистору и при каких условиях? Во сколько раз сопротивление освещённого фоторезистора меньше затемнённого?

Рис. 98

Какой график относится к освещённому фоторезистору и какой к находящемуся в темноте?

Сопротивление фоторезистора — полупроводникового прибора — уменьшается при увеличении интенсивности падающего на него света. Согласно закону Ома для участка цепи, сопротивление $R$ можно выразить через напряжение $U$ и силу тока $I$ как $R = U/I$.
На графике зависимости силы тока от напряжения $I(U)$ сопротивление обратно пропорционально тангенсу угла наклона графика к оси напряжения. Чем больше угол наклона (чем круче идет график), тем больше сила тока при одном и том же напряжении, и, следовательно, тем меньше сопротивление.
График 2 имеет больший угол наклона по сравнению с графиком 1. Это означает, что сопротивление, соответствующее графику 2 ($R_2$), меньше сопротивления, соответствующего графику 1 ($R_1$).
Таким образом, так как при освещении сопротивление фоторезистора уменьшается, график 2 соответствует освещённому фоторезистору, а график 1 — фоторезистору в темноте.

Ответ: график 2 относится к освещённому фоторезистору, а график 1 — к находящемуся в темноте.

Применим ли закон Ома к данному фоторезистору и при каких условиях?

Закон Ома для участка цепи ($I = U/R$) гласит, что сила тока прямо пропорциональна напряжению при постоянном сопротивлении. Графически эта зависимость представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.
На представленном рисунке обе вольт-амперные характеристики (графики 1 и 2) являются прямыми линиями, выходящими из начала координат. Это означает, что для каждого конкретного состояния (в темноте или на свету) сопротивление фоторезистора остается постоянным и не зависит от приложенного напряжения.
Следовательно, закон Ома для данного фоторезистора применим, но при условии, что его освещённость не изменяется.

Ответ: да, закон Ома применим при условии постоянной освещённости фоторезистора.

Во сколько раз сопротивление освещённого фоторезистора меньше затемнённого?

Дано:

Найти:

Решение:

Сопротивление проводника определяется по закону Ома: $R = U/I$.
Для определения сопротивлений $R_1$ и $R_2$ выберем на графиках удобную точку по напряжению. Пусть одно деление (клетка) по оси напряжения $U$ равно $U_0$, а по оси тока $I$ — $I_0$.
Возьмём на оси напряжений значение $U = 4U_0$.
Для графика 1 (в темноте) этому напряжению соответствует сила тока $I_1 = 1I_0$.
Тогда сопротивление затемнённого фоторезистора:
$R_1 = \frac{U}{I_1} = \frac{4U_0}{1I_0} = 4 \frac{U_0}{I_0}$
Для графика 2 (освещённый) напряжению $U = 4U_0$ соответствует сила тока $I_2 = 2I_0$.
Тогда сопротивление освещённого фоторезистора:
$R_2 = \frac{U}{I_2} = \frac{4U_0}{2I_0} = 2 \frac{U_0}{I_0}$
Теперь найдём искомое отношение сопротивлений:
$k = \frac{R_1}{R_2} = \frac{4 \frac{U_0}{I_0}}{2 \frac{U_0}{I_0}} = \frac{4}{2} = 2$
Это означает, что сопротивление затемнённого фоторезистора в 2 раза больше сопротивления освещённого, или, что то же самое, сопротивление освещённого в 2 раза меньше затемнённого.

Ответ: сопротивление освещённого фоторезистора в 2 раза меньше, чем сопротивление затемнённого.