Страница 118 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

890. При проведении опыта по определению электрохимического эквивалента меди были получены следующие данные: время прохождения тока 20 мин, сила тока 0,5 А, масса катода до опыта 70,4 г, масса после опыта 70,58 г. Какое значение электрохимического эквивалента меди было получено по этим данным?

Дано:

$t = 20 \text{ мин}$

$I = 0,5 \text{ А}$

$m_1 = 70,4 \text{ г}$

$m_2 = 70,58 \text{ г}$

Найти:

$k$

Решение:

Согласно закону электролиза Фарадея, масса вещества $m$, выделившегося на электроде, определяется формулой:

$m = k \cdot I \cdot t$

где $k$ — электрохимический эквивалент вещества, $I$ — сила тока, $t$ — время прохождения тока.

Из данной формулы выразим искомый электрохимический эквивалент $k$:

$k = \frac{m}{I \cdot t}$

Масса меди $m$, выделившейся на катоде, представляет собой разность между массой катода после опыта $m_2$ и до опыта $m_1$:

$m = m_2 - m_1 = 70,58 \text{ г} - 70,4 \text{ г} = 0,18 \text{ г}$

Для проведения расчетов в системе СИ переведем массу меди в килограммы:

$m = 0,18 \text{ г} = 0,18 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Теперь подставим числовые значения (в системе СИ) в формулу для расчета электрохимического эквивалента:

$k = \frac{0,18 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{0,5 \text{ А} \cdot 1200 \text{ с}} = \frac{0,18 \cdot 10^{-3}}{600} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}}$

Выполним вычисления:

$k = \frac{0,18}{600} \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} = 0,0003 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} = 0,3 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} = 3 \cdot 10^{-7} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}}$

Ответ: полученное значение электрохимического эквивалента меди было $3 \cdot 10^{-7}$ кг/Кл.

891. Последовательно с электролитической ванной, заполненной солью никеля, включена ванна, в которой находится соль хрома. После размыкания цепи в первой ванне выделилось 10 г никеля. Сколько хрома выделилось во второй ванне?

Дано:

Масса выделившегося никеля, $m_{Ni} = 10$ г

Для решения задачи также используются справочные данные:

Молярная масса никеля, $M_{Ni} \approx 59$ г/моль

Молярная масса хрома, $M_{Cr} \approx 52$ г/моль

Валентность никеля в солях, $n_{Ni} = 2$

Валентность хрома в солях, $n_{Cr} = 3$

Перевод в СИ:

$m_{Ni} = 0.01$ кг

$M_{Ni} \approx 59 \times 10^{-3}$ кг/моль

$M_{Cr} \approx 52 \times 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Массу выделившегося хрома, $m_{Cr}$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся объединенным законом Фарадея для электролиза. Согласно этому закону, масса вещества ($m$), выделившегося на электроде, прямо пропорциональна заряду ($Q$), прошедшему через электролит, и электрохимическому эквиваленту вещества ($k$):

$m = k \cdot Q$

Электрохимический эквивалент, в свою очередь, равен отношению молярной массы вещества ($M$) к произведению его валентности ($n$) и постоянной Фарадея ($F$):

$k = \frac{M}{nF}$

Таким образом, формула для массы приобретает вид:

$m = \frac{M}{nF}Q$

По условию задачи, две электролитические ванны соединены последовательно. Это означает, что через них за одно и то же время протекает один и тот же электрический заряд $Q$. Запишем закон Фарадея для никеля и хрома:

$m_{Ni} = \frac{M_{Ni}}{n_{Ni}F}Q$

$m_{Cr} = \frac{M_{Cr}}{n_{Cr}F}Q$

Разделим второе уравнение на первое. При этом заряд $Q$ и постоянная Фарадея $F$ сократятся:

$\frac{m_{Cr}}{m_{Ni}} = \frac{k_{Cr}}{k_{Ni}} = \frac{M_{Cr}/n_{Cr}}{M_{Ni}/n_{Ni}}$

Это соотношение является математическим выражением второго закона Фарадея. Из него выразим искомую массу хрома $m_{Cr}$:

$m_{Cr} = m_{Ni} \cdot \frac{M_{Cr}}{M_{Ni}} \cdot \frac{n_{Ni}}{n_{Cr}}$

Подставим числовые значения. Валентность никеля в его солях, как правило, равна 2 (ионы $Ni^{2+}$), а хрома — 3 (ионы $Cr^{3+}$), что является наиболее распространенным случаем. Для удобства будем производить вычисления в граммах.

$m_{Cr} = 10 \text{ г} \cdot \frac{52 \text{ г/моль}}{59 \text{ г/моль}} \cdot \frac{2}{3} \approx 10 \cdot 0.8813 \cdot 0.6667 \approx 5.876$ г

Округлим результат до сотых.

Ответ: во второй ванне выделилось 5,88 г хрома.

892. Электролитическое серебрение изделия протекало при плотности тока $0,5 \text{ А/дм}^2$. Сколько времени потребуется для того, чтобы на изделии образовался слой серебра толщиной 70 мкм, если выход по току равен 85% ?

Дано:

Найти:

Решение:

Массу серебра, которая выделилась на изделии, можно определить двумя способами.

1. С помощью объединенного закона Фарадея, учитывая выход по току $\eta$:
$m = \eta \cdot k \cdot I \cdot t$, где $k$ - электрохимический эквивалент серебра.
Электрохимический эквивалент равен $k = \frac{M}{z \cdot F}$.
Таким образом, масса $m = \eta \cdot \frac{M}{z \cdot F} \cdot I \cdot t$.

2. Через геометрические параметры и плотность вещества:
Масса слоя серебра $m$ равна произведению его плотности $\rho$ на объем $V$: $m = \rho \cdot V$.
Объем слоя равен произведению площади поверхности изделия $S$ на толщину слоя $h$: $V = S \cdot h$.
Значит, $m = \rho \cdot S \cdot h$.

Сила тока $I$ связана с плотностью тока $j$ и площадью поверхности $S$ соотношением: $I = j \cdot S$.
Подставим это выражение в формулу Фарадея: $m = \eta \cdot \frac{M}{z \cdot F} \cdot (j \cdot S) \cdot t$.

Теперь приравняем два выражения для массы $m$:
$\rho \cdot S \cdot h = \eta \cdot \frac{M}{z \cdot F} \cdot j \cdot S \cdot t$

Площадь поверхности $S$ сокращается, и мы можем выразить время $t$:
$\rho \cdot h = \eta \cdot \frac{M}{z \cdot F} \cdot j \cdot t$
$t = \frac{\rho \cdot h \cdot z \cdot F}{\eta \cdot M \cdot j}$

Подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу:
$t = \frac{10490 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 70 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot 1 \cdot 96485 \frac{\text{Кл}}{\text{моль}}}{0.85 \cdot 0.10787 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 50 \frac{\text{А}}{\text{м}^2}}$
$t = \frac{70,85}{4,584} \approx 15454 \text{ с}$

Для удобства переведем секунды в часы:
$t = \frac{15454 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 4,3 \text{ ч}$

Ответ: для образования слоя серебра потребуется примерно 15454 секунды или 4,3 часа.

893. Зная электрохимический эквивалент серебра, вычислить электрохимический эквивалент золота.

Дано:

Найти:

$k_{Au}$ - электрохимический эквивалент золота

Решение:

Электрохимический эквивалент вещества ($k$) определяется по объединенному закону Фарадея, который связывает его с молярной массой ($M$) и валентностью ($z$) иона:

$k = \frac{1}{F} \cdot \frac{M}{z}$

где $F$ – постоянная Фарадея (приблизительно $96485 \text{ Кл/моль}$).

Мы можем записать это соотношение для серебра (Ag) и золота (Au):

$k_{Ag} = \frac{1}{F} \cdot \frac{M_{Ag}}{z_{Ag}}$

$k_{Au} = \frac{1}{F} \cdot \frac{M_{Au}}{z_{Au}}$

Чтобы найти $k_{Au}$, зная $k_{Ag}$, составим пропорцию, разделив второе уравнение на первое. Это позволит нам исключить постоянную Фарадея $F$ из расчетов.

$\frac{k_{Au}}{k_{Ag}} = \frac{\frac{1}{F} \cdot \frac{M_{Au}}{z_{Au}}}{\frac{1}{F} \cdot \frac{M_{Ag}}{z_{Ag}}} = \frac{M_{Au} \cdot z_{Ag}}{M_{Ag} \cdot z_{Au}}$

Отсюда выразим искомый электрохимический эквивалент золота:

$k_{Au} = k_{Ag} \cdot \frac{M_{Au}}{M_{Ag}} \cdot \frac{z_{Ag}}{z_{Au}}$

Поскольку в условии задачи не указана валентность золота, будем считать его трехвалентным ($z_{Au} = 3$), так как это наиболее распространенный случай в солях, используемых для электролиза (например, хлорид золота(III) AuCl₃). Валентность серебра в его солях, как правило, равна единице ($z_{Ag} = 1$).

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$k_{Au} = 1.118 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} \cdot \frac{0.197 \text{ кг/моль}}{0.108 \text{ кг/моль}} \cdot \frac{1}{3}$

Выполним вычисления:

$k_{Au} = 1.118 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{197}{108 \cdot 3} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} = 1.118 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{197}{324} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}}$

$k_{Au} \approx 1.118 \cdot 10^{-6} \cdot 0.608 \frac{\text{кг}}{\text{Кл}} \approx 0.6799 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}}$

Округлив результат, получаем:

$k_{Au} \approx 0.68 \cdot 10^{-6} \frac{\text{кг}}{\text{Кл}}$

Ответ: электрохимический эквивалент золота (при валентности 3) равен приблизительно $0.68 \cdot 10^{-6} \text{ кг/Кл}$ или $0.68 \text{ мг/Кл}$.

894. Сравнить массы трёхвалентного железа и двухвалентного магния, выделенные на катодах при последовательном соединении электролитических ванн.

Дано:

Валентность железа (Fe), $n_1 = 3$

Валентность магния (Mg), $n_2 = 2$

Молярная масса железа, $M_1 = 56 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Молярная масса магния, $M_2 = 24 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Отношение массы выделившегося железа $m_1$ к массе выделившегося магния $m_2$, то есть $\frac{m_1}{m_2}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся объединенным законом Фарадея для электролиза, который устанавливает связь между массой вещества, выделившегося на электроде, и прошедшим через электролит зарядом. Масса $m$ вещества, выделившегося при электролизе, определяется по формуле:

$m = k \cdot q$, где $k$ - электрохимический эквивалент вещества, а $q$ - заряд, прошедший через электролит.

Электрохимический эквивалент $k$ можно выразить через молярную массу $M$, валентность $n$ и постоянную Фарадея $F$:

$k = \frac{M}{F \cdot n}$

Таким образом, масса выделившегося вещества равна:

$m = \frac{M}{F \cdot n} \cdot q$

Согласно условию задачи, электролитические ванны соединены последовательно. При последовательном соединении сила тока $I$ и время его прохождения $t$ одинаковы для обеих ванн. Следовательно, через каждую ванну проходит одинаковый электрический заряд $q = I \cdot t$.

Запишем формулу для массы выделившегося железа ($m_1$) и магния ($m_2$):

$m_1 = \frac{M_1}{F \cdot n_1} \cdot q$

$m_2 = \frac{M_2}{F \cdot n_2} \cdot q$

Чтобы сравнить массы, найдем их отношение, разделив первое уравнение на второе:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\frac{M_1}{F \cdot n_1} \cdot q}{\frac{M_2}{F \cdot n_2} \cdot q}$

Сократив одинаковые величины $F$ и $q$, получим:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{M_1 / n_1}{M_2 / n_2} = \frac{M_1 \cdot n_2}{M_2 \cdot n_1}$

Теперь подставим числовые значения. Молярную массу железа примем равной $56 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, а магния — $24 \cdot 10^{-3}$ кг/моль.

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{56 \cdot 10^{-3} \cdot 2}{24 \cdot 10^{-3} \cdot 3} = \frac{56 \cdot 2}{24 \cdot 3} = \frac{112}{72}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{112}{72} = \frac{14 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{14}{9} \approx 1.56$

Это означает, что масса выделившегося трёхвалентного железа примерно в 1,56 раза больше массы выделившегося двухвалентного магния.

Ответ: масса выделившегося трёхвалентного железа в $\frac{14}{9}$ (приблизительно в 1,56) раза больше массы двухвалентного магния.

895. Какое количество вещества осядет на катоде из соли любого двухвалентного металла за 40 мин при силе тока 4 А? Проверить решение на примере меди, электрохимический эквивалент которой найти в таблице 10.

Дано:

Найти:

Решение:

Расчет количества вещества

Для нахождения количества вещества, выделившегося на катоде, воспользуемся объединенным законом Фарадея для электролиза. Масса вещества $m$, выделившегося на электроде, определяется по формуле:

$m = \frac{1}{F} \frac{M}{z} I t$

где $M$ – молярная масса вещества, $I$ – сила тока, $t$ – время электролиза, $z$ – валентность ионов металла, $F$ – постоянная Фарадея.

Количество вещества (число молей) $\nu$ связано с массой $m$ и молярной массой $M$ соотношением:

$\nu = \frac{m}{M}$

Подставив выражение для массы из закона Фарадея, получим формулу для количества вещества:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{1}{M} \left( \frac{M \cdot I \cdot t}{F \cdot z} \right) = \frac{I \cdot t}{F \cdot z}$

Эта формула показывает, что количество вещества зависит только от общего заряда, прошедшего через электролит ($q = I \cdot t$), валентности ионов и постоянной Фарадея, но не от природы самого металла (его молярной массы).

Подставим известные значения:

$\nu = \frac{4 \text{ А} \cdot 2400 \text{ с}}{96485 \text{ Кл/моль} \cdot 2} = \frac{9600 \text{ Кл}}{192970 \text{ Кл/моль}} \approx 0.04975 \text{ моль}$

Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $\nu \approx 0.050 \text{ моль}$.

Ответ: количество вещества, которое осядет на катоде, составляет примерно $0.050 \text{ моль}$.

Проверка решения на примере меди

Для проверки используем первый закон Фарадея, который связывает массу выделившегося вещества с его электрохимическим эквивалентом $k$:

$m = k \cdot I \cdot t$

Электрохимический эквивалент для двухвалентной меди $Cu^{2+}$ составляет $k_{Cu} \approx 0.329 \cdot 10^{-6} \text{ кг/Кл}$.

Рассчитаем массу меди, которая осядет на катоде:

$m_{Cu} = (0.329 \cdot 10^{-6} \text{ кг/Кл}) \cdot (4 \text{ А}) \cdot (2400 \text{ с}) = 0.329 \cdot 10^{-6} \cdot 9600 \text{ кг} \approx 0.003158 \text{ кг}$

Теперь найдем количество вещества меди, используя ее молярную массу $M_{Cu} \approx 0.0635 \text{ кг/моль}$.

$\nu_{Cu} = \frac{m_{Cu}}{M_{Cu}} = \frac{0.003158 \text{ кг}}{0.0635 \text{ кг/моль}} \approx 0.04973 \text{ моль}$

Полученное значение $\nu_{Cu} \approx 0.0497 \text{ моль}$ практически совпадает с результатом, вычисленным в первой части ($\nu \approx 0.0498 \text{ моль}$). Небольшое расхождение объясняется округлением используемых констант ($k_{Cu}$, $M_{Cu}$, $F$). Таким образом, проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: расчет на примере меди дает результат $\nu_{Cu} \approx 0.050 \text{ моль}$, что подтверждает первоначальное решение.

896. При электролитическом способе получения алюминия используются ванны, работающие под напряжением 5 В при силе тока 40 кА. Сколько времени потребуется для получения 1 т алюминия и каков при этом расход энергии?

Дано:

Напряжение, $U = 5$ В
Сила тока, $I = 40$ кА
Масса алюминия, $m = 1$ т
Молярная масса алюминия, $M = 27 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Валентность алюминия, $n = 3$
Постоянная Фарадея, $F \approx 96485$ Кл/моль

Найти:

Время, $t$ - ?
Расход энергии, $W$ - ?

Решение:

Время для получения 1 т алюминия

Для нахождения времени, необходимого для получения заданной массы алюминия, воспользуемся объединенным законом Фарадея для электролиза: $m = kIt$, где $k$ – электрохимический эквивалент вещества.

Электрохимический эквивалент $k$ можно выразить через молярную массу $M$, валентность иона $n$ и постоянную Фарадея $F$: $k = \frac{1}{F} \frac{M}{n}$

Подставим это выражение в закон Фарадея: $m = \frac{1}{F} \frac{M}{n} I t$

Выразим из этой формулы время $t$: $t = \frac{m \cdot n \cdot F}{M \cdot I}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $t = \frac{1000 \text{ кг} \cdot 3 \cdot 96485 \text{ Кл/моль}}{27 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} \cdot 40 \cdot 10^3 \text{ А}} = \frac{289455000}{1080} \approx 268014 \text{ с}$

Переведем время в более удобные единицы, например, в часы: $t \approx \frac{268014 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 74.45 \text{ ч}$

Ответ: $t \approx 268014 \text{ с}$ (около 74.5 часов).

Расход энергии

Расход электрической энергии $W$ (или работа тока) вычисляется по формуле: $W = U \cdot I \cdot t$

Подставим известные значения и найденное ранее время $t$: $W = 5 \text{ В} \cdot 40 \cdot 10^3 \text{ А} \cdot 268014 \text{ с} \approx 5.36 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$

Энергию также можно выразить в киловатт-часах ($1 \text{ кВт}\cdot\text{ч} = 3.6 \cdot 10^6 \text{ Дж}$): $W \approx \frac{5.36 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{3.6 \cdot 10^6 \text{ Дж/(кВт}\cdot\text{ч)}} \approx 14889 \text{ кВт}\cdot\text{ч} \approx 14.9 \text{ МВт}\cdot\text{ч}$

Ответ: $W \approx 5.36 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$ (или $14.9 \text{ МВт}\cdot\text{ч}$).

897. Сравнить затраты электроэнергии на получение электролитическим путём одинаковых масс алюминия и меди, если по нормам напряжение на ванне при получении алюминия в 14 раз больше, чем при рафинировании меди.

Дано:

$m_{Al} = m_{Cu} = m$
$\frac{U_{Al}}{U_{Cu}} = 14$
Молярная масса алюминия, $M_{Al} = 27 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$
Молярная масса меди, $M_{Cu} = 64 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$
Валентность ионов алюминия, $z_{Al} = 3$
Валентность ионов меди, $z_{Cu} = 2$

Найти:

$\frac{W_{Al}}{W_{Cu}}$

Решение:

Затраты электроэнергии $W$ на процесс электролиза вычисляются по формуле: $W = U \cdot q$, где $U$ – это напряжение на электролитической ванне, а $q$ – электрический заряд, который прошел через электролит.

Для алюминия и меди мы можем записать: $W_{Al} = U_{Al} \cdot q_{Al}$ $W_{Cu} = U_{Cu} \cdot q_{Cu}$

Согласно объединенному закону Фарадея для электролиза, масса $m$ вещества, которое выделилось на электроде, пропорциональна прошедшему заряду $q$: $m = k \cdot q$, где $k$ - электрохимический эквивалент.

Электрохимический эквивалент $k$ определяется через молярную массу $M$, валентность ионов $z$ и постоянную Фарадея $F$ ($F \approx 96485 \text{ Кл/моль}$): $k = \frac{M}{z \cdot F}$

Тогда массу выделившегося вещества можно выразить как: $m = \frac{M}{z \cdot F} \cdot q$

Отсюда можно выразить заряд $q$, необходимый для получения вещества массой $m$: $q = \frac{m \cdot z \cdot F}{M}$

Теперь найдем отношение затрат энергии: $\frac{W_{Al}}{W_{Cu}} = \frac{U_{Al} \cdot q_{Al}}{U_{Cu} \cdot q_{Cu}} = \frac{U_{Al}}{U_{Cu}} \cdot \frac{q_{Al}}{q_{Cu}}$

Найдем отношение зарядов, необходимых для получения одинаковой массы $m$ алюминия и меди: $\frac{q_{Al}}{q_{Cu}} = \frac{\frac{m \cdot z_{Al} \cdot F}{M_{Al}}}{\frac{m \cdot z_{Cu} \cdot F}{M_{Cu}}} = \frac{z_{Al}}{z_{Cu}} \cdot \frac{M_{Cu}}{M_{Al}}$

Подставим это отношение в формулу для отношения энергий: $\frac{W_{Al}}{W_{Cu}} = \frac{U_{Al}}{U_{Cu}} \cdot \frac{z_{Al}}{z_{Cu}} \cdot \frac{M_{Cu}}{M_{Al}}$

Теперь подставим все известные числовые значения в полученную формулу: $\frac{W_{Al}}{W_{Cu}} = 14 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{64 \cdot 10^{-3}}{27 \cdot 10^{-3}} = 14 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{64}{27}$

Произведем вычисления: $\frac{W_{Al}}{W_{Cu}} = 7 \cdot 3 \cdot \frac{64}{27} = 21 \cdot \frac{64}{27} = 7 \cdot \frac{64}{9} = \frac{448}{9} \approx 49.8$

Ответ: Затраты электроэнергии на получение алюминия электролитическим путем примерно в 49.8 раз больше, чем на получение такой же массы меди.

898. Каков расход энергии на рафинирование 1 т меди, если напряжение на электролитической ванне по техническим нормам равно 0,4 В?

Дано:

Масса меди, $m = 1$ т
Напряжение на ванне, $U = 0,4$ В

Найти:

Расход энергии, $W$ - ?

Решение:

Расход энергии при прохождении электрического тока определяется как работа тока. Работа тока $A$ (в данном случае, энергия $W$) вычисляется по формуле: $W = U \cdot q$ где $U$ – напряжение на зажимах потребителя (электролитической ванны), а $q$ – электрический заряд, прошедший через электролит.

Масса вещества, выделяющегося на электроде в процессе электролиза, определяется по первому закону Фарадея: $m = k \cdot q$ где $m$ – масса выделившегося вещества (меди), а $k$ – его электрохимический эквивалент.

Электрохимический эквивалент для меди (при рафинировании используется раствор сульфата меди $CuSO_4$, где медь двухвалентна, $Cu^{2+}$) является справочной величиной. Примем его значение равным $k \approx 0,33 \cdot 10^{-6} \text{ кг/Кл}$.

Из закона Фарадея выразим заряд $q$, необходимый для выделения массы $m$: $q = \frac{m}{k}$

Теперь подставим это выражение для заряда в формулу для расчета энергии: $W = U \cdot \frac{m}{k}$

Подставим числовые значения из условия задачи и справочные данные в систему СИ: $W = 0,4 \text{ В} \cdot \frac{10^3 \text{ кг}}{0,33 \cdot 10^{-6} \text{ кг/Кл}}$

Выполним вычисления: $W = \frac{0,4 \cdot 10^3}{0,33 \cdot 10^{-6}} \text{ Дж} = \frac{0,4}{0,33} \cdot 10^{9} \text{ Дж} \approx 1,212 \cdot 10^9 \text{ Дж}$

Округлим результат и представим его в гигаджоулях (ГДж): $W \approx 1,21 \cdot 10^9 \text{ Дж} = 1,21 \text{ ГДж}$

Ответ: расход энергии на рафинирование 1 т меди составляет примерно $1,21 \cdot 10^9$ Дж.

899. Сколько электроэнергии надо затратить для получения $2,5 \text{ л}$ водорода при температуре $25^\circ \text{C}$ и давлении $100 \text{ кПа}$, если электролиз ведётся при напряжении $5 \text{ В}$ и КПД установки $75\%$?

Дано:

Объем водорода, $V = 2,5 \text{ л} = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Температура, $t = 25 \text{ °C}$, что в абсолютной шкале $T = 25 + 273 = 298 \text{ К}$
Давление, $P = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}$
Напряжение, $U = 5 \text{ В}$
КПД, $\eta = 75\% = 0,75$

Найти:

Затраченную электроэнергию $W_{\text{затр}}$.

Решение:

Затраченная электроэнергия $W_{\text{затр}}$ связана с полезной энергией $W_{\text{полез}}$, пошедшей непосредственно на электролиз для получения водорода, через коэффициент полезного действия $\eta$:

$ \eta = \frac{W_{\text{полез}}}{W_{\text{затр}}} \implies W_{\text{затр}} = \frac{W_{\text{полез}}}{\eta} $

Полезная энергия, в свою очередь, равна работе электрического тока:

$ W_{\text{полез}} = U \cdot q $

где $q$ — это электрический заряд, который прошел через электролит. Чтобы найти этот заряд, воспользуемся уравнением состояния идеального газа и объединенным законом Фарадея.

Сначала найдем количество вещества (число молей) водорода $n$ с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона:

$ PV = nRT \implies n = \frac{PV}{RT} $

где $R$ — универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}$).

Реакция выделения водорода при электролизе: $2\text{H}^+ + 2\text{e}^- \to \text{H}_2$. Из уравнения видно, что для получения одной молекулы водорода H₂ требуется 2 электрона. Таким образом, для получения $n$ молей водорода потребуется $2n$ молей электронов.

Общий заряд $q$ связан с количеством молей электронов через постоянную Фарадея $F$ ($F \approx 96485 \text{ Кл/моль}$), которая представляет собой заряд одного моля электронов:

$ q = n \cdot z \cdot F $

где $z=2$ — число электронов на одну молекулу водорода.

Теперь объединим все формулы в одну для расчета затраченной энергии:

$ W_{\text{затр}} = \frac{W_{\text{полез}}}{\eta} = \frac{U \cdot q}{\eta} = \frac{U \cdot (n \cdot z \cdot F)}{\eta} = \frac{U \cdot (\frac{PV}{RT}) \cdot z \cdot F}{\eta} = \frac{UPVzF}{\eta RT} $

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$ W_{\text{затр}} = \frac{5 \text{ В} \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 \cdot 2 \cdot 96485 \frac{\text{Кл}}{\text{моль}}}{0,75 \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} \cdot 298 \text{ К}} $

$ W_{\text{затр}} = \frac{241212500}{1858,995} \approx 129754 \text{ Дж} $

Округлим результат, учитывая точность исходных данных (2-3 значащие цифры):

$ W_{\text{затр}} \approx 1,3 \cdot 10^5 \text{ Дж} = 130 \text{ кДж} $

Ответ: необходимо затратить примерно $1,3 \cdot 10^5$ Дж (или 130 кДж) электроэнергии.