Страница 125 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

937. В катушке индуктивностью 0,6 Гн сила тока равна 20 А. Какова энергия магнитного поля этой катушки? Как изменится энергия поля, если сила тока уменьшится вдвое?

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 0,6$ Гн

Начальная сила тока, $I_1 = 20$ А

Конечная сила тока, $I_2 = I_1 / 2$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Начальная энергия магнитного поля, $W_1 - ?$

Отношение энергий, $\frac{W_1}{W_2} - ?$

Решение:

Какова энергия магнитного поля этой катушки?

Энергия магнитного поля катушки с током вычисляется по формуле:

$W = \frac{L \cdot I^2}{2}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $I$ — сила тока в ней.

Подставим в формулу значения для начального состояния:

$W_1 = \frac{0,6 \text{ Гн} \cdot (20 \text{ А})^2}{2} = \frac{0,6 \cdot 400}{2} \text{ Дж} = \frac{240}{2} \text{ Дж} = 120 \text{ Дж}$

Ответ: энергия магнитного поля катушки равна 120 Дж.

Как изменится энергия поля, если сила тока уменьшится вдвое?

Найдем, как изменится энергия. Пусть начальная энергия была $W_1 = \frac{L I_1^2}{2}$.

Новая сила тока $I_2 = \frac{I_1}{2}$.

Новая энергия поля $W_2$ будет равна:

$W_2 = \frac{L I_2^2}{2} = \frac{L \cdot (\frac{I_1}{2})^2}{2} = \frac{L \cdot \frac{I_1^2}{4}}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{L I_1^2}{2}$

Так как $W_1 = \frac{L I_1^2}{2}$, то получаем соотношение:

$W_2 = \frac{1}{4} W_1$

Это означает, что при уменьшении силы тока вдвое энергия магнитного поля уменьшится в четыре раза.

Можно также рассчитать числовое значение новой энергии:

$W_2 = \frac{1}{4} \cdot 120 \text{ Дж} = 30 \text{ Дж}$

Ответ: энергия поля уменьшится в 4 раза.

938. Какой должна быть сила тока в обмотке дросселя индуктивностью 0,5 Гн, чтобы энергия поля оказалась равной 1 Дж?

Дано:

Индуктивность дросселя, $L = 0,5$ Гн
Энергия магнитного поля, $W = 1$ Дж

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силу тока, $I$

Решение:

Энергия магнитного поля, запасенная в катушке индуктивности (дросселе), определяется формулой: $$W = \frac{L I^2}{2}$$ где $W$ — это энергия поля, $L$ — индуктивность катушки, а $I$ — сила тока, протекающего через нее.

Для нахождения силы тока $I$ необходимо выразить ее из этой формулы. Умножим обе части уравнения на 2: $$2W = L I^2$$ Затем разделим обе части на индуктивность $L$: $$I^2 = \frac{2W}{L}$$ И, наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $I$: $$I = \sqrt{\frac{2W}{L}}$$

Теперь можно подставить данные из условия задачи в полученное выражение для вычисления силы тока: $$I = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ Дж}}{0,5 \text{ Гн}}} = \sqrt{\frac{2}{0,5}} \text{ А} = \sqrt{4} \text{ А} = 2 \text{ А}$$

Ответ: сила тока в обмотке дросселя должна быть равна 2 А.

939. Найти энергию магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 0,5 Вб.

Дано:

Сила тока: $I = 10 \text{ А}$
Магнитный поток: $\Phi = 0,5 \text{ Вб}$

Указанные значения уже представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Энергию магнитного поля соленоида $W_m$.

Решение:

Энергия магнитного поля $W_m$, запасенная в катушке индуктивности (соленоиде), вычисляется по формуле:

$W_m = \frac{LI^2}{2}$

где $L$ – это индуктивность катушки, а $I$ – сила тока в ней.

Индуктивность $L$ по определению связана с магнитным потоком $\Phi$ и силой тока $I$ следующим соотношением:

$L = \frac{\Phi}{I}$

Чтобы найти энергию, можно подставить выражение для индуктивности $L$ в формулу для энергии. Это позволит нам вычислить искомую величину, используя только данные из условия задачи:

$W_m = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\Phi}{I}\right) \cdot I^2 = \frac{1}{2} \Phi I$

Теперь подставим числовые значения в полученную расчетную формулу:

$W_m = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \text{ Вб} \cdot 10 \text{ А} = \frac{5}{2} \text{ Дж} = 2,5 \text{ Дж}$

Ответ: энергия магнитного поля соленоида равна 2,5 Дж.

940. На катушке сопротивлением $8,2 \text{ Ом}$ и индуктивностью $25 \text{ мГн}$ поддерживается постоянное напряжение $55 \text{ В}$. Сколько энергии выделится при размыкании цепи? Какая средняя ЭДС самоиндукции появится при этом в катушке, если энергия будет выделяться в течение $12 \text{ мс}$?

Дано:

Сопротивление катушки: $R = 8,2 \, Ом$
Индуктивность катушки: $L = 25 \, мГн$
Напряжение на катушке: $U = 55 \, В$
Время выделения энергии: $\Delta t = 12 \, мс$

Перевод в систему СИ:
$L = 25 \times 10^{-3} \, Гн = 0.025 \, Гн$
$\Delta t = 12 \times 10^{-3} \, с = 0.012 \, с$

Найти:

Выделившаяся энергия: $W - ?$
Средняя ЭДС самоиндукции: $\langle\mathcal{E}_{si}\rangle - ?$

Решение:

Сколько энергии выделится при размыкании цепи?

Когда по катушке течет постоянный ток, в ее магнитном поле запасается энергия. При размыкании цепи этот ток исчезает, и вся запасенная энергия выделяется (например, в виде искры). Энергия магнитного поля катушки с током рассчитывается по формуле: $$ W = \frac{L I^2}{2} $$ где $L$ — индуктивность катушки, а $I$ — сила тока в цепи в установившемся режиме.

Поскольку на катушку подается постоянное напряжение $U$, установившийся ток $I$ можно найти по закону Ома для участка цепи, так как в режиме постоянного тока катушка ведет себя как резистор с сопротивлением $R$: $$ I = \frac{U}{R} $$

Подставив выражение для тока в формулу для энергии, получим: $$ W = \frac{L}{2} \left(\frac{U}{R}\right)^2 = \frac{L U^2}{2 R^2} $$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчеты: $$ W = \frac{0.025 \, Гн \times (55 \, В)^2}{2 \times (8,2 \, Ом)^2} = \frac{0.025 \times 3025}{2 \times 67.24} = \frac{75.625}{134.48} \approx 0.562 \, Дж $$ С учетом точности исходных данных (2 значащие цифры), округляем результат.

Ответ: при размыкании цепи выделится энергия около $0.56 \, Дж$.

Какая средняя ЭДС самоиндукции появится при этом в катушке, если энергия будет выделяться в течение 12 мс?

Средняя ЭДС самоиндукции $\langle\mathcal{E}_{si}\rangle$ возникает из-за изменения тока в катушке и, согласно закону Фарадея, определяется как: $$ \langle\mathcal{E}_{si}\rangle = \left| -L \frac{\Delta I}{\Delta t} \right| = L \frac{|\Delta I|}{\Delta t} $$ где $\Delta I$ — изменение силы тока, а $\Delta t$ — промежуток времени, за который это изменение произошло.

При размыкании цепи ток уменьшается от своего установившегося значения $I$ до нуля. Следовательно, модуль изменения тока $|\Delta I| = |0 - I| = I$. $$ I = \frac{U}{R} = \frac{55 \, В}{8,2 \, Ом} \approx 6.707 \, А $$

Теперь можем рассчитать среднюю ЭДС самоиндукции: $$ \langle\mathcal{E}_{si}\rangle = L \frac{I}{\Delta t} = \frac{L}{ \Delta t} \frac{U}{R} $$

Подставим числовые значения: $$ \langle\mathcal{E}_{si}\rangle = \frac{0.025 \, Гн}{0.012 \, с} \times \frac{55 \, В}{8,2 \, Ом} \approx 2.083 \times 6.707 \approx 13.97 \, В $$ Округляя до двух значащих цифр, получаем: $$ \langle\mathcal{E}_{si}\rangle \approx 14 \, В $$

Ответ: средняя ЭДС самоиндукции составит примерно $14 \, В$.

941. За какое время в катушке с индуктивностью 240 мГн происходит возрастание силы тока от 0 до 11,4 А, если при этом возникает средняя ЭДС самоиндукции, равная 30 В? Сколько энергии выделяется за это время в катушке?

Дано:

Индуктивность катушки $L = 240 \text{ мГн}$

Начальная сила тока $I_1 = 0 \text{ А}$

Конечная сила тока $I_2 = 11.4 \text{ А}$

Средняя ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{ср} = 30 \text{ В}$

$L = 240 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0.24 \text{ Гн}$

Найти:

Время возрастания тока $\Delta t - ?$

Энергия, выделившаяся в катушке $W - ?$

Решение:

За какое время в катушке происходит возрастание силы тока

ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при изменении силы тока, определяется формулой Фарадея для самоиндукции:
$\mathcal{E}_{с} = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$
где $L$ — индуктивность катушки, $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ — скорость изменения силы тока.
В условии дана средняя ЭДС самоиндукции, поэтому можно использовать модули величин:
$|\mathcal{E}_{ср}| = L \frac{|\Delta I|}{\Delta t}$
Изменение силы тока равно:
$\Delta I = I_2 - I_1 = 11.4 \text{ А} - 0 \text{ А} = 11.4 \text{ А}$
Выразим из формулы искомый промежуток времени $\Delta t$:
$\Delta t = L \frac{|\Delta I|}{|\mathcal{E}_{ср}|}$
Подставим числовые значения и произведем вычисления:
$\Delta t = 0.24 \text{ Гн} \cdot \frac{11.4 \text{ А}}{30 \text{ В}} = 0.24 \cdot 0.38 \text{ с} = 0.0912 \text{ с}$

Ответ: время возрастания тока составляет 0.0912 с.

Сколько энергии выделяется за это время в катушке

Энергия, которая "выделяется" в катушке при увеличении тока, на самом деле не рассеивается в виде тепла (если пренебречь омическим сопротивлением), а запасается в её магнитном поле. Энергия магнитного поля катушки, по которой течет ток $I$, вычисляется по формуле:
$W = \frac{L I^2}{2}$
Поскольку начальный ток $I_1 = 0$, начальная энергия магнитного поля также равна нулю ($W_1 = 0$). Нас интересует энергия, которая будет запасена в катушке, когда сила тока достигнет своего конечного значения $I_2 = 11.4 \text{ А}$.
$W = W_2 = \frac{L I_2^2}{2}$
Подставим числовые значения в формулу:
$W = \frac{0.24 \text{ Гн} \cdot (11.4 \text{ А})^2}{2} = \frac{0.24 \cdot 129.96}{2} \text{ Дж} = 0.12 \cdot 129.96 \text{ Дж} \approx 15.6 \text{ Дж}$

Ответ: за это время в катушке запасается 15.6 Дж энергии.