Страница 126 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

942. Начальный заряд, сообщенный конденсатору колебательного контура, уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменились:

а) амплитуда напряжения;

б) амплитуда силы тока;

в) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки?

Дано:

Пусть начальная амплитуда заряда конденсатора была $q_{m1}$.

Новая амплитуда заряда конденсатора стала $q_{m2}$.

По условию задачи, начальный заряд уменьшили в 2 раза, следовательно:

$q_{m2} = \frac{q_{m1}}{2}$

Найти:

Во сколько раз изменились:

а) амплитуда напряжения ($U_m$);

б) амплитуда силы тока ($I_m$);

в) суммарная энергия колебательного контура ($W$).

Решение:

а) амплитуда напряжения

Амплитуда напряжения на конденсаторе связана с амплитудой заряда и ёмкостью конденсатора $C$ формулой:

$U_m = \frac{q_m}{C}$

Для начального состояния: $U_{m1} = \frac{q_{m1}}{C}$.

Для конечного состояния: $U_{m2} = \frac{q_{m2}}{C}$.

Подставим известное соотношение для зарядов:

$U_{m2} = \frac{q_{m1}/2}{C} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_{m1}}{C} = \frac{1}{2} U_{m1}$

Таким образом, амплитуда напряжения уменьшилась в 2 раза.

Ответ: амплитуда напряжения уменьшилась в 2 раза.

б) амплитуда силы тока

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется. Максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки:

$W_{E,max} = W_{M,max}$

$\frac{q_m^2}{2C} = \frac{L I_m^2}{2}$

где $L$ - индуктивность катушки, $I_m$ - амплитуда силы тока.

Выразим амплитуду силы тока:

$I_m = \frac{q_m}{\sqrt{LC}}$

Для начального состояния: $I_{m1} = \frac{q_{m1}}{\sqrt{LC}}$.

Для конечного состояния: $I_{m2} = \frac{q_{m2}}{\sqrt{LC}}$.

Подставим соотношение для зарядов:

$I_{m2} = \frac{q_{m1}/2}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{q_{m1}}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{2} I_{m1}$

Следовательно, амплитуда силы тока уменьшилась в 2 раза.

Ответ: амплитуда силы тока уменьшилась в 2 раза.

в) суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки

Суммарная (полная) энергия колебательного контура постоянна и равна максимальной энергии, запасенной в конденсаторе:

$W = \frac{q_m^2}{2C}$

Для начального состояния: $W_1 = \frac{q_{m1}^2}{2C}$.

Для конечного состояния: $W_2 = \frac{q_{m2}^2}{2C}$.

Подставим соотношение для зарядов:

$W_2 = \frac{(q_{m1}/2)^2}{2C} = \frac{q_{m1}^2/4}{2C} = \frac{1}{4} \cdot \frac{q_{m1}^2}{2C} = \frac{1}{4} W_1$

Значит, суммарная энергия контура уменьшилась в 4 раза.

Ответ: суммарная энергия уменьшилась в 4 раза.

943. При увеличении напряжения на конденсаторе колебательного контура на 20 В амплитуда силы тока увеличилась в 2 раза. Найти начальное напряжение.

Дано:

Увеличение напряжения: $\Delta U = 20$ В
Отношение конечной и начальной амплитуд силы тока: $\frac{I_{m2}}{I_{m1}} = 2$

Найти:

Начальное напряжение $U_{m1}$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется. Это означает, что максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивности.

Полная энергия колебательного контура $W$ может быть выражена через амплитуду напряжения на конденсаторе $U_m$ или через амплитуду силы тока в катушке $I_m$: $W = \frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$ где $C$ — электроемкость конденсатора, а $L$ — индуктивность катушки.

Из этого равенства энергий следует, что амплитуды напряжения и силы тока связаны соотношением: $C U_m^2 = L I_m^2$

Обозначим начальные параметры контура индексом 1, а конечные — индексом 2.
Для начального состояния: $C U_{m1}^2 = L I_{m1}^2$
Для конечного состояния: $C U_{m2}^2 = L I_{m2}^2$

Согласно условию задачи, конечное напряжение $U_{m2} = U_{m1} + \Delta U = U_{m1} + 20$, а конечная амплитуда тока $I_{m2} = 2 I_{m1}$.

Подставим эти выражения в уравнение для конечного состояния: $C (U_{m1} + 20)^2 = L (2 I_{m1})^2$ $C (U_{m1} + 20)^2 = 4 L I_{m1}^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $C U_{m1}^2 = L I_{m1}^2$
2) $C (U_{m1} + 20)^2 = 4 L I_{m1}^2$

Подставим выражение для $L I_{m1}^2$ из первого уравнения во второе: $C (U_{m1} + 20)^2 = 4 (C U_{m1}^2)$

Сократим на емкость $C$ (она не равна нулю): $(U_{m1} + 20)^2 = 4 U_{m1}^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку амплитуда напряжения $U_{m1}$ является положительной величиной, мы берем положительные значения корней: $U_{m1} + 20 = \sqrt{4 U_{m1}^2}$ $U_{m1} + 20 = 2 U_{m1}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $U_{m1}$: $20 = 2 U_{m1} - U_{m1}$ $U_{m1} = 20$ В

Ответ: начальное напряжение равно 20 В.

944. В колебательном контуре индуктивность катушки равна $0,2 \text{ Гн}$, а амплитуда колебаний силы тока $40 \text{ мА}$. Найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент, когда мгновенное значение силы тока в 2 раза меньше амплитудного значения.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 0,2$ Гн
Амплитуда силы тока, $I_m = 40$ мА $= 40 \cdot 10^{-3}$ А $= 0,04$ А
Соотношение мгновенного и амплитудного тока, $i = \frac{I_m}{2}$

Найти:

Энергию электрического поля конденсатора, $W_E$ - ?
Энергию магнитного поля катушки, $W_B$ - ?

Решение:

Полная энергия $W$ в идеальном колебательном контуре является постоянной величиной. Она равна максимальной энергии магнитного поля катушки, которая достигается, когда сила тока в контуре максимальна (равна амплитуде $I_m$): $W = W_{B,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Рассчитаем полную энергию контура: $W = \frac{0,2 \text{ Гн} \cdot (0,04 \text{ А})^2}{2} = \frac{0,2 \cdot 0,0016}{2} = 0,1 \cdot 0,0016 = 0,00016 \text{ Дж} = 1,6 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

В любой момент времени, согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура равна сумме энергии магнитного поля катушки $W_B$ и энергии электрического поля конденсатора $W_E$: $W = W_B + W_E$.

Найдем энергии в момент, когда мгновенное значение силы тока $i$ в 2 раза меньше амплитудного: $i = \frac{I_m}{2} = \frac{0,04 \text{ А}}{2} = 0,02 \text{ А}$.

Энергия магнитного поля катушки

Энергия магнитного поля катушки в данный момент времени вычисляется по формуле: $W_B = \frac{L i^2}{2}$

Подставим значения: $W_B = \frac{0,2 \text{ Гн} \cdot (0,02 \text{ А})^2}{2} = \frac{0,2 \cdot 0,0004}{2} = 0,1 \cdot 0,0004 = 0,00004 \text{ Дж} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$.

Ответ: $4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ (или 40 мкДж).

Энергия электрического поля конденсатора

Энергию электрического поля конденсатора найдем из закона сохранения энергии: $W_E = W - W_B$

Подставим вычисленные значения: $W_E = 1,6 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} - 4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = 16 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} - 4 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = 12 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

Ответ: $1,2 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$ (или 120 мкДж).

945. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью $C = 400 \text{ пФ}$ и катушки индуктивностью $L = 10 \text{ мГн}$. Найти амплитуду колебаний силы тока $I_m$, если амплитуда колебаний напряжения $U_m = 500 \text{ В}$.

Дано:

Емкость конденсатора $C = 400 \text{ пФ}$
Индуктивность катушки $L = 10 \text{ мГн}$
Амплитуда напряжения $U_m = 500 \text{ В}$

Переведем данные в систему СИ:
$C = 400 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$
$L = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 10^{-2} \text{ Гн}$

Найти:

Амплитуду колебаний силы тока $I_m$.

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная электромагнитная энергия сохраняется. Эта энергия периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно.

Максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{C,max}$ достигается в момент, когда напряжение на нем максимально (равно амплитуде $U_m$), а ток в контуре равен нулю. Она вычисляется по формуле: $W_{C,max} = \frac{C U_m^2}{2}$

Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{L,max}$ достигается в момент, когда сила тока в ней максимальна (равна амплитуде $I_m$), а напряжение на конденсаторе равно нулю. Она вычисляется по формуле: $W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для колебательного контура, максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки: $W_{C,max} = W_{L,max}$

Приравниваем выражения для энергий: $\frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2 и выразим амплитуду силы тока $I_m$: $C U_m^2 = L I_m^2$ $I_m^2 = \frac{C U_m^2}{L}$ $I_m = \sqrt{\frac{C U_m^2}{L}} = U_m \sqrt{\frac{C}{L}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $I_m = 500 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}{10^{-2} \text{ Гн}}} = 500 \cdot \sqrt{4 \cdot 10^{-8}} = 500 \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 1000 \cdot 10^{-4} = 0.1 \text{ А}$

Ответ: амплитуда колебаний силы тока $I_m = 0.1 \text{ А}$.

946. Амплитуда силы тока в контуре 1,4 мА, а амплитуда напряжения 280 В. Найти силу тока и напряжение в тот момент времени, когда энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора.

Дано:

Амплитуда силы тока $I_m = 1,4 \text{ мА}$

Амплитуда напряжения $U_m = 280 \text{ В}$

Условие: $W_L = W_C$

Найти:

Мгновенное значение силы тока $i$

Мгновенное значение напряжения $u$

Решение:

Закон сохранения энергии для идеального колебательного контура гласит, что полная энергия электромагнитного поля в контуре является постоянной величиной. Она равна сумме энергии магнитного поля катушки ($W_L$) и энергии электрического поля конденсатора ($W_C$):

$W_{полная} = W_L + W_C = \text{const}$

Энергия магнитного поля и энергия электрического поля в любой момент времени выражаются формулами:

$W_L = \frac{Li^2}{2}$

$W_C = \frac{Cu^2}{2}$

где $L$ и $C$ — индуктивность и ёмкость контура, а $i$ и $u$ — мгновенные значения силы тока и напряжения.

Полная энергия контура также может быть выражена через амплитудные (максимальные) значения силы тока ($I_m$) и напряжения ($U_m$):

$W_{полная} = \frac{LI_m^2}{2} = \frac{CU_m^2}{2}$

Согласно условию задачи, мы ищем значения $i$ и $u$ в тот момент, когда энергия магнитного поля равна энергии электрического поля: $W_L = W_C$.

Подставим это условие в уравнение для полной энергии:

$W_{полная} = W_L + W_L = 2W_L = 2 \cdot \frac{Li^2}{2} = Li^2$

Теперь приравняем это выражение для полной энергии к её максимальному значению, выраженному через амплитуду тока:

$Li^2 = \frac{LI_m^2}{2}$

Сократив индуктивность $L$ (которая не равна нулю), получаем:

$i^2 = \frac{I_m^2}{2}$

Отсюда, мгновенное значение силы тока (по модулю) равно:

$|i| = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Подставим числовое значение $I_m = 1,4 \text{ мА}$:

$|i| = \frac{1,4 \text{ мА}}{\sqrt{2}} \approx \frac{1,4}{1,414} \text{ мА} \approx 0,99 \text{ мА}$

Аналогично поступим для напряжения. Подставим условие $W_L = W_C$ в уравнение полной энергии:

$W_{полная} = W_C + W_C = 2W_C = 2 \cdot \frac{Cu^2}{2} = Cu^2$

Приравняем это выражение для полной энергии к её максимальному значению, выраженному через амплитуду напряжения:

$Cu^2 = \frac{CU_m^2}{2}$

Сократив ёмкость $C$ (которая не равна нулю), получаем:

$u^2 = \frac{U_m^2}{2}$

Отсюда, мгновенное значение напряжения (по модулю) равно:

$|u| = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

Подставим числовое значение $U_m = 280 \text{ В}$:

$|u| = \frac{280 \text{ В}}{\sqrt{2}} \approx \frac{280}{1,414} \text{ В} \approx 198 \text{ В}$

Ответ:

сила тока $i \approx 0,99 \text{ мА}$; напряжение $u \approx 198 \text{ В}$.

947. Катушка индуктивностью $31 \text{ мГн}$ присоединена к плоскому конденсатору с площадью каждой пластины $20 \text{ см}^2$ и расстоянием между ними $1 \text{ см}$. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора, если амплитуда силы тока в контуре $0,2 \text{ мА}$ и амплитуда напряжения $10 \text{ В}$?

Дано:

Индуктивность катушки $L = 31 \text{ мГн} = 31 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$
Площадь пластин конденсатора $S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$
Расстояние между пластинами $d = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
Амплитуда силы тока $I_m = 0.2 \text{ мА} = 0.2 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ А}$
Амплитуда напряжения $U_m = 10 \text{ В}$
Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Диэлектрическая проницаемость среды $\varepsilon$

Решение:

Рассматриваемая система представляет собой колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора. В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется, переходя из энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора и обратно.

Максимальная энергия, запасенная в магнитном поле катушки, определяется по формуле: $W_{Lmax} = \frac{L I_m^2}{2}$

Максимальная энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, определяется по формуле: $W_{Cmax} = \frac{C U_m^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для колебательного контура, максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля: $W_{Lmax} = W_{Cmax}$ $\frac{L I_m^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2}$

Из этого равенства мы можем выразить электроемкость конденсатора $C$: $C = L \frac{I_m^2}{U_m^2}$

Подставим числовые значения: $C = 31 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot \frac{(2 \cdot 10^{-4} \text{ А})^2}{(10 \text{ В})^2} = 31 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{4 \cdot 10^{-8}}{100} = 31 \cdot 4 \cdot 10^{-13} = 124 \cdot 10^{-13} \text{ Ф} = 1.24 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

С другой стороны, емкость плоского конденсатора связана с его геометрическими параметрами и диэлектрической проницаемостью среды между пластинами формулой: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

Выразим из этой формулы искомую диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$: $\varepsilon = \frac{C d}{\varepsilon_0 S}$

Подставим известные и вычисленные значения: $\varepsilon = \frac{1.24 \cdot 10^{-11} \text{ Ф} \cdot 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = \frac{1.24 \cdot 10^{-13}}{17.7 \cdot 10^{-15}} = \frac{124}{17.7} \approx 7.0056$

Округляя до целого числа, получаем $\varepsilon \approx 7$.

Ответ: диэлектрическая проницаемость среды равна 7.

948. Емкость конденсатора колебательного контура $C = 1 \text{ мкФ}$, индуктивность катушки $L = 0,04 \text{ Гн}$, амплитуда колебаний напряжения $U_m = 100 \text{ В}$. В данный момент време ни напряжение на конденсаторе $u = 80 \text{ В}$. Найти амплитуду колебаний силы тока $I_m$, полную энергию $W$, энергию элект рического поля $W_{\text{эл}}$, энергию магнитного поля $W_M$, мгновен ное значение сила тока $i$.

Дано:

Найти:

Решение:

I_m

Амплитуду силы тока $I_m$ можно найти из закона сохранения энергии в колебательном контуре. Максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки:

$W_{эл, max} = W_{м, max}$

$\frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$

Отсюда выражаем амплитуду тока $I_m$:

$I_m^2 = \frac{C U_m^2}{L}$

$I_m = U_m \sqrt{\frac{C}{L}}$

Подставим числовые значения:

$I_m = 100 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{0,04 \text{ Гн}}} = 100 \cdot \sqrt{25 \cdot 10^{-6}} = 100 \cdot 5 \cdot 10^{-3} = 0,5 \text{ А}$

Ответ: $I_m = 0,5 \text{ А}$.

W

Полная энергия колебательного контура $W$ равна максимальной энергии электрического поля (когда напряжение на конденсаторе максимально) или максимальной энергии магнитного поля (когда ток в катушке максимален). Вычислим ее через максимальную энергию конденсатора:

$W = \frac{C U_m^2}{2}$

Подставим значения:

$W = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot (100 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-6} \cdot 10000}{2} = \frac{10^{-2}}{2} = 0,005 \text{ Дж}$

Ответ: $W = 0,005 \text{ Дж}$.

W_эл

Энергия электрического поля $W_{эл}$ в данный момент времени определяется мгновенным значением напряжения на конденсаторе $u$:

$W_{эл} = \frac{C u^2}{2}$

Подставим значения:

$W_{эл} = \frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot (80 \text{ В})^2}{2} = \frac{10^{-6} \cdot 6400}{2} = 3200 \cdot 10^{-6} = 0,0032 \text{ Дж}$

Ответ: $W_{эл} = 0,0032 \text{ Дж}$.

W_м

Согласно закону сохранения энергии для колебательного контура, полная энергия $W$ равна сумме энергий электрического и магнитного полей в любой момент времени:

$W = W_{эл} + W_м$

Отсюда энергия магнитного поля $W_м$ равна:

$W_м = W - W_{эл}$

Подставим уже найденные значения:

$W_м = 0,005 \text{ Дж} - 0,0032 \text{ Дж} = 0,0018 \text{ Дж}$

Ответ: $W_м = 0,0018 \text{ Дж}$.

i

Мгновенное значение силы тока $i$ можно найти из формулы для энергии магнитного поля катушки:

$W_м = \frac{L i^2}{2}$

Выразим отсюда ток $i$:

$i^2 = \frac{2 W_м}{L}$

$i = \sqrt{\frac{2 W_м}{L}}$

Подставим значения:

$i = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,0018 \text{ Дж}}{0,04 \text{ Гн}}} = \sqrt{\frac{0,0036}{0,04}} = \sqrt{0,09} = 0,3 \text{ А}$

Ответ: $i = 0,3 \text{ А}$.