Номер 947, страница 126 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 947, страница 126.

Условие.

947. Катушка индуктивностью $31 \text{ мГн}$ присоединена к плоскому конденсатору с площадью каждой пластины $20 \text{ см}^2$ и расстоянием между ними $1 \text{ см}$. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора, если амплитуда силы тока в контуре $0,2 \text{ мА}$ и амплитуда напряжения $10 \text{ В}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Индуктивность катушки $L = 31 \text{ мГн} = 31 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$
Площадь пластин конденсатора $S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$
Расстояние между пластинами $d = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
Амплитуда силы тока $I_m = 0.2 \text{ мА} = 0.2 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ А}$
Амплитуда напряжения $U_m = 10 \text{ В}$
Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Найти:

Диэлектрическая проницаемость среды $\varepsilon$

Решение:

Рассматриваемая система представляет собой колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора. В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется, переходя из энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора и обратно.

Максимальная энергия, запасенная в магнитном поле катушки, определяется по формуле: $W_{Lmax} = \frac{L I_m^2}{2}$

Максимальная энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, определяется по формуле: $W_{Cmax} = \frac{C U_m^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для колебательного контура, максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля: $W_{Lmax} = W_{Cmax}$ $\frac{L I_m^2}{2} = \frac{C U_m^2}{2}$

Из этого равенства мы можем выразить электроемкость конденсатора $C$: $C = L \frac{I_m^2}{U_m^2}$

Подставим числовые значения: $C = 31 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot \frac{(2 \cdot 10^{-4} \text{ А})^2}{(10 \text{ В})^2} = 31 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{4 \cdot 10^{-8}}{100} = 31 \cdot 4 \cdot 10^{-13} = 124 \cdot 10^{-13} \text{ Ф} = 1.24 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

С другой стороны, емкость плоского конденсатора связана с его геометрическими параметрами и диэлектрической проницаемостью среды между пластинами формулой: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

Выразим из этой формулы искомую диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$: $\varepsilon = \frac{C d}{\varepsilon_0 S}$

Подставим известные и вычисленные значения: $\varepsilon = \frac{1.24 \cdot 10^{-11} \text{ Ф} \cdot 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = \frac{1.24 \cdot 10^{-13}}{17.7 \cdot 10^{-15}} = \frac{124}{17.7} \approx 7.0056$

Округляя до целого числа, получаем $\varepsilon \approx 7$.

Ответ: диэлектрическая проницаемость среды равна 7.