Номер 949, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 949, страница 127.

Условие.

949. Заряд $q$ на пластинах конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени $t$ в соответствии с уравнением $q = 10^{-6}\cos 10^{4}\pi t$. Записать уравнение зависимости силы тока от времени $i = i(t)$. Найти период и частоту колебаний в контуре, амплитуду колебаний заряда и амплитуду колебаний силы тока.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Уравнение изменения заряда со временем: $q = 10^{-6}\cos(10^4\pi t)$

Все данные представлены в системе СИ (заряд в Кулонах, время в секундах).

Найти:

$i(t)$ — уравнение зависимости силы тока от времени

$T$ — период колебаний

$\nu$ — частота колебаний

$q_m$ — амплитуда колебаний заряда

$I_m$ — амплитуда колебаний силы тока

Решение:

Общий вид уравнения колебаний заряда в контуре: $q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $q_m$ — амплитуда колебаний заряда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая общее уравнение с данным в условии $q(t) = 10^{-6}\cos(10^4\pi t)$, находим:

• амплитуду колебаний заряда $q_m = 10^{-6}$ Кл;
• циклическую частоту $\omega = 10^4\pi$ рад/с;
• начальную фазу $\phi_0 = 0$.

Уравнение зависимости силы тока от времени $i = i(t)$

Сила тока $i$ является первой производной заряда $q$ по времени $t$: $i(t) = q'(t)$.

Найдем производную от заданного уравнения заряда:

$i(t) = \frac{d}{dt}(10^{-6}\cos(10^4\pi t)) = 10^{-6} \cdot (-\sin(10^4\pi t)) \cdot (10^4\pi)$

$i(t) = -10^{-6} \cdot 10^4\pi \cdot \sin(10^4\pi t) = -10^{-2}\pi \sin(10^4\pi t)$

Чтобы выразить уравнение тока через косинус, как и заряд, используем формулу приведения $\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$ или $-\sin(x) = \cos(x + \frac{\pi}{2})$:

$i(t) = 10^{-2}\pi \cos(10^4\pi t + \frac{\pi}{2})$

Таким образом, колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $i(t) = -10^{-2}\pi \sin(10^4\pi t)$ (в Амперах) или $i(t) = 10^{-2}\pi \cos(10^4\pi t + \frac{\pi}{2})$ (в Амперах).

Период и частота колебаний в контуре

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим значение $\omega = 10^4\pi$ рад/с:

$T = \frac{2\pi}{10^4\pi} = 2 \cdot 10^{-4}$ с = 0,2 мс.

Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.

$\nu = \frac{1}{2 \cdot 10^{-4}} = 0,5 \cdot 10^4$ Гц = 5000 Гц = 5 кГц.

Также частоту можно найти из формулы $\omega = 2\pi\nu$, откуда $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10^4\pi}{2\pi} = 5000$ Гц.

Ответ: Период колебаний $T = 2 \cdot 10^{-4}$ с, частота колебаний $\nu = 5000$ Гц.

Амплитуда колебаний заряда

Амплитуда колебаний заряда $q_m$ — это максимальное значение заряда, которое определяется коэффициентом перед функцией косинуса в уравнении $q(t)$.

Из уравнения $q = 10^{-6}\cos(10^4\pi t)$ следует, что $q_m = 10^{-6}$ Кл = 1 мкКл.

Ответ: Амплитуда колебаний заряда $q_m = 10^{-6}$ Кл.

Амплитуда колебаний силы тока

Амплитуда колебаний силы тока $I_m$ — это максимальное значение силы тока. Его можно найти из уравнения для $i(t) = -10^{-2}\pi \sin(10^4\pi t)$. Амплитудное значение — это коэффициент перед синусом (по модулю).

$I_m = 10^{-2}\pi$ А.

Также амплитуду тока можно вычислить по формуле $I_m = q_m \cdot \omega$.

$I_m = 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^4\pi \text{ рад/с} = 10^{-2}\pi$ А.

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$I_m \approx 3,14 \cdot 10^{-2}$ А = 31,4 мА.

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 10^{-2}\pi$ А $\approx 0,0314$ А.