Номер 955, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 955, страница 127.

Условие.

955. Найти период $T$ и частоту $v$ колебаний в контуре, состоящем из конденсатора ёмкостью $C = 800 \text{ пФ}$ и катушки индуктивностью $L = 2 \text{ мкГн}$. Во сколько раз изменится период колебаний, если в конденсатор ввести диэлектрик с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 9$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Ёмкость конденсатора $C = 800 \text{ пФ}$

Индуктивность катушки $L = 2 \text{ мкГн}$

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика $\varepsilon = 9$

Перевод в систему СИ:

$C = 800 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 8 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

$L = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Найти:

$T$, $\nu$, $\frac{T'}{T}$

Решение:

1. Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Подставим числовые значения из данных задачи:

$T = 2\pi\sqrt{2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 8 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{16 \cdot 10^{-16} \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 4 \cdot 10^{-8} \text{ с} = 8\pi \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Вычислим приближенное значение периода, приняв $\pi \approx 3.1416$:

$T \approx 8 \cdot 3.1416 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 25.13 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 2.51 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Переведем в микросекунды: $2.51 \cdot 10^{-7} \text{ с} = 0.251 \text{ мкс}$.

2. Частота колебаний $\nu$ является величиной, обратной периоду $T$:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим значение периода:

$\nu = \frac{1}{8\pi \cdot 10^{-8} \text{ с}} \approx \frac{1}{2.51 \cdot 10^{-7} \text{ с}} \approx 0.398 \cdot 10^7 \text{ Гц} = 3.98 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Переведем в мегагерцы: $3.98 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 3.98 \text{ МГц}$.

3. Теперь рассмотрим, как изменится период, если в конденсатор ввести диэлектрик. При внесении диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ в пространство между обкладками конденсатора, его ёмкость увеличивается в $\varepsilon$ раз:

$C' = \varepsilon C$

Новый период колебаний $T'$ будет равен:

$T' = 2\pi\sqrt{LC'} = 2\pi\sqrt{L(\varepsilon C)} = (2\pi\sqrt{LC})\sqrt{\varepsilon} = T\sqrt{\varepsilon}$

Чтобы найти, во сколько раз изменится период, необходимо найти отношение нового периода $T'$ к первоначальному $T$:

$\frac{T'}{T} = \frac{T\sqrt{\varepsilon}}{T} = \sqrt{\varepsilon}$

Подставим значение $\varepsilon = 9$:

$\frac{T'}{T} = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, период колебаний увеличится в 3 раза.

Ответ: период колебаний $T \approx 0.251 \text{ мкс}$, частота колебаний $\nu \approx 3.98 \text{ МГц}$. При введении в конденсатор диэлектрика период колебаний увеличится в 3 раза.