Номер 957, страница 128 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 957, страница 128.

Условие.

957. Катушку какой индуктивности надо включить в колебательный контур, чтобы при ёмкости конденсатора 50 пФ получить частоту свободных колебаний 10 МГц?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 50 \text{ пФ} = 50 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Частота свободных колебаний, $f = 10 \text{ МГц} = 10 \cdot 10^{6} \text{ Гц} = 10^{7} \text{ Гц}$

Найти:

Индуктивность катушки, $L$

Решение:

Для нахождения индуктивности катушки воспользуемся формулой для частоты свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре, которая является следствием формулы Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Чтобы выразить индуктивность $L$ из этой формулы, необходимо сначала возвести обе части уравнения в квадрат:

$f^2 = \frac{1}{(2\pi)^2LC} = \frac{1}{4\pi^2LC}$

Теперь из полученного соотношения выразим искомую индуктивность $L$:

$L = \frac{1}{4\pi^2f^2C}$

Подставим числовые значения из условия задачи, предварительно переведенные в систему СИ:

$L = \frac{1}{4\pi^2(10^7 \text{ Гц})^2 \cdot 50 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^{14} \text{ Гц}^2 \cdot 50 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}$

Упростим выражение:

$L = \frac{1}{200\pi^2 \cdot 10^{14} \cdot 10^{-12}} \text{ Гн} = \frac{1}{200\pi^2 \cdot 10^2} \text{ Гн} = \frac{1}{20000\pi^2} \text{ Гн}$

Для вычисления численного значения примем $\pi^2 \approx 9,87$:

$L \approx \frac{1}{20000 \cdot 9,87} \text{ Гн} = \frac{1}{197400} \text{ Гн} \approx 0,000005066 \text{ Гн}$

Результат удобно представить в микрогенри (мкГн), учитывая, что $1 \text{ мкГн} = 10^{-6} \text{ Гн}$:

$L \approx 5,066 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \approx 5,1 \text{ мкГн}$

Ответ: для получения заданной частоты колебаний в контур необходимо включить катушку индуктивностью примерно $5,1 \text{ мкГн}$.