Номер 950, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 950, страница 127.

Условие.

950. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 1 мкФ и катушки индуктивностью 4 Гн. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе 100 мкКл. Написать уравнения $q = q(t)$, $i = i(t)$, $u = u(t)$. Найти амплитуду колебаний силы тока и напряжения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Ёмкость конденсатора $C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
Индуктивность катушки $L = 4 \text{ Гн}$
Амплитуда заряда $q_m = 100 \text{ мкКл} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-4} \text{ Кл}$

Найти:

1. Уравнения $q(t)$, $i(t)$, $u(t)$.
2. Амплитуду силы тока $I_m$ и напряжения $U_m$.

Решение:

Вначале определим циклическую (угловую) частоту свободных электромагнитных колебаний в контуре по формуле Томсона:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим данные из условия задачи:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{4 \text{ Гн} \cdot 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 10^{-6} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 500 \text{ рад/с}$

Теперь можем приступить к нахождению уравнений и амплитуд.

Написать уравнения q = q(t), i = i(t), u = u(t)

Колебания заряда в контуре описываются гармоническим законом. Предположим, что в начальный момент времени $t=0$ заряд на конденсаторе был максимальным, следовательно, начальная фаза колебаний $\phi_0 = 0$. Уравнение изменения заряда со временем имеет вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

Подставив числовые значения, получаем:

$q(t) = 10^{-4} \cos(500t) \text{ (Кл)}$

Напряжение на конденсаторе в любой момент времени связано с зарядом соотношением $u = q/C$. Таким образом, уравнение для напряжения:

$u(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{q_m}{C} \cos(\omega t)$

Подставляя значения, получаем:

$u(t) = \frac{10^{-4} \text{ Кл}}{1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} \cos(500t) = 100 \cos(500t) \text{ (В)}$

Сила тока в контуре — это первая производная от заряда по времени, $i(t) = q'(t)$.

$i(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos(\omega t)) = -q_m \omega \sin(\omega t)$

Подставляя значения, получаем:

$i(t) = -10^{-4} \text{ Кл} \cdot 500 \text{ рад/с} \cdot \sin(500t) = -0.05 \sin(500t) \text{ (А)}$

Это уравнение показывает, что колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на $\pi/2$. Его можно также записать через косинус, используя формулу приведения $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \pi/2)$:

$i(t) = 0.05 \cos(500t + \frac{\pi}{2}) \text{ (А)}$

Ответ: $q(t) = 10^{-4} \cos(500t)$ (Кл), $i(t) = -0.05 \sin(500t)$ (А), $u(t) = 100 \cos(500t)$ (В).

Найти амплитуду колебаний силы тока и напряжения

Амплитуда — это максимальное значение колеблющейся величины (коэффициент перед синусом или косинусом).

Амплитуда напряжения $U_m$ определяется из уравнения для $u(t)$ или по формуле:

$U_m = \frac{q_m}{C} = \frac{10^{-4} \text{ Кл}}{10^{-6} \text{ Ф}} = 100 \text{ В}$

Амплитуда силы тока $I_m$ определяется из уравнения для $i(t)$ или по формуле:

$I_m = q_m \omega = 10^{-4} \text{ Кл} \cdot 500 \text{ рад/с} = 0.05 \text{ А}$

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 0.05 \text{ А}$, амплитуда колебаний напряжения $U_m = 100 \text{ В}$.