Номер 951, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 951, страница 127.

Условие.

951. Ёмкость конденсатора колебательного контура 0,4 мкФ, частота собственных колебаний 50 кГц, амплитуда колебаний заряда 8 мкКл. Написать уравнения $q = q(t)$, $u = u(t)$, $i = i(t)$. Найти амплитуду колебаний напряжения, амплитуду колебаний силы тока и индуктивность катушки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 0,4$ мкФ

Частота собственных колебаний, $\nu = 50$ кГц

Амплитуда колебаний заряда, $q_m = 8$ мкКл

$C = 0,4 \cdot 10^{-6}$ Ф
$\nu = 50 \cdot 10^{3}$ Гц
$q_m = 8 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

Амплитуду колебаний напряжения $U_m$, амплитуду колебаний силы тока $I_m$, индуктивность катушки $L$, уравнения $q = q(t)$, $u = u(t)$, $i = i(t)$.

Решение:

Вначале найдем циклическую (круговую) частоту колебаний $\omega$:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 10^5\pi$ рад/с.

Амплитуда колебаний напряжения

Амплитуда напряжения $U_m$ на конденсаторе связана с амплитудой заряда $q_m$ и ёмкостью $C$ формулой $q_m = C \cdot U_m$. Отсюда выразим $U_m$:

$U_m = \frac{q_m}{C} = \frac{8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 20$ В.

Ответ: Амплитуда колебаний напряжения $U_m = 20$ В.

Амплитуда колебаний силы тока

Сила тока $i$ является первой производной от заряда $q$ по времени: $i(t) = q'(t)$.

Если колебания заряда происходят по закону $q(t) = q_m \cos(\omega t)$, то сила тока изменяется по закону $i(t) = (q_m \cos(\omega t))' = -q_m \omega \sin(\omega t)$.

Амплитуда силы тока $I_m$ — это максимальное значение модуля силы тока:

$I_m = q_m \omega = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^5\pi \text{ рад/с} = 0,8\pi \text{ А} \approx 2,51$ А.

Ответ: Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 0,8\pi$ А.

Индуктивность катушки

Для определения индуктивности $L$ воспользуемся формулой Томсона для циклической частоты собственных колебаний в LC-контуре:

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим индуктивность $L$:

$\omega^2 = \frac{1}{LC} \implies L = \frac{1}{\omega^2 C}$

$L = \frac{1}{(10^5\pi)^2 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{10^{10}\pi^2 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0,4\pi^2 \cdot 10^4} = \frac{1}{4000\pi^2}$ Гн.

Приближенное значение: $L \approx \frac{1}{4000 \cdot 9,87} \approx 2,53 \cdot 10^{-5}$ Гн = 25,3 мкГн.

Ответ: Индуктивность катушки $L = \frac{1}{4000\pi^2}$ Гн (что примерно равно 25,3 мкГн).

Уравнения $q = q(t)$, $u = u(t)$, $i = i(t)$

Запишем уравнения колебаний, приняв, что начальная фаза равна нулю (в момент $t=0$ заряд на конденсаторе максимален).

1. Уравнение колебаний заряда:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

Подставляя числовые значения (в СИ):

$q(t) = 8 \cdot 10^{-6} \cos(10^5\pi t)$

2. Уравнение колебаний напряжения. Напряжение на конденсаторе изменяется синфазно с зарядом: $u(t) = q(t)/C = U_m \cos(\omega t)$.

$u(t) = 20 \cos(10^5\pi t)$

3. Уравнение колебаний силы тока. Сила тока опережает заряд по фазе на $\pi/2$. Так как $i(t) = q'(t)$, то:

$i(t) = -q_m \omega \sin(\omega t) = -I_m \sin(\omega t)$

$i(t) = -0,8\pi \sin(10^5\pi t)$

Ответ: Уравнения колебаний (все величины в СИ):

$q(t) = 8 \cdot 10^{-6} \cos(10^5\pi t)$

$u(t) = 20 \cos(10^5\pi t)$

$i(t) = -0,8\pi \sin(10^5\pi t)$