Номер 953, страница 127 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 953, страница 127.

Условие.

953. Амплитуда колебаний напряжения в контуре 100 В, частота колебаний 5 МГц. Через какое время напряжение впервые будет 71 В?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Амплитуда напряжения, $U_m = 100$ В

Частота колебаний, $f = 5$ МГц

Мгновенное значение напряжения, $u = 71$ В

Перевод в систему СИ:

$f = 5 \text{ МГц} = 5 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Найти:

Время $t$, через которое напряжение впервые достигнет значения $u$.

Решение:

Колебания напряжения в колебательном контуре являются гармоническими. Зависимость мгновенного значения напряжения $u$ от времени $t$ можно описать уравнением: $u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$ или $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $U_m$ — амплитуда напряжения, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Чтобы найти наименьшее время, за которое напряжение достигнет заданного значения, будем считать, что колебания начинаются из состояния равновесия, то есть при $t=0$ напряжение $u=0$. Это соответствует уравнению с синусом и нулевой начальной фазой ($\phi_0=0$): $u(t) = U_m \sin(\omega t)$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $f$ следующим соотношением: $\omega = 2\pi f$ Подставим в эту формулу значение частоты из условия задачи: $\omega = 2\pi \cdot 5 \cdot 10^6 \text{ рад/с} = 10\pi \cdot 10^6 \text{ рад/с} = \pi \cdot 10^7 \text{ рад/с}$

Теперь подставим известные значения в уравнение для мгновенного напряжения: $71 = 100 \sin(\omega t)$

Из этого уравнения выразим синус фазы колебаний $\omega t$: $\sin(\omega t) = \frac{71}{100} = 0.71$

Следует заметить, что значение $0.71$ очень близко к теоретическому значению $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071$. В физических задачах часто используются величины, которые упрощают расчеты. Предположим, что имеется в виду именно это значение, которое соответствует фазе $\frac{\pi}{4}$. $\sin(\omega t) \approx \frac{\sqrt{2}}{2}$

Мы ищем наименьшее положительное время $t$, поэтому нас интересует наименьший положительный угол (фаза), синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$ радиан. $\omega t = \frac{\pi}{4}$

Выразим время $t$: $t = \frac{\pi}{4\omega}$ Подставим ранее вычисленное значение циклической частоты $\omega$: $t = \frac{\pi}{4 \cdot (\pi \cdot 10^7)} = \frac{1}{4 \cdot 10^7} = 0.25 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

Полученное значение времени можно также выразить в микросекундах (мкс) или наносекундах (нс): $t = 0.025 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 0.025 \text{ мкс}$

Ответ: $t = 0.25 \cdot 10^{-7} \text{ с}$ (или $0.025$ мкс).