Номер 958, страница 128 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

43. Превращение энергии в колебательном контуре. Гармонические колебания. Собственная частота и период колебаний. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 958, страница 128.

Условие.

958. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в колебательном контуре, если ёмкость конденсатора увеличить в 25 раз, а индуктивность катушки уменьшить в 16 раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Обозначим начальные ёмкость и индуктивность колебательного контура как $C_1$ и $L_1$, а их конечные значения — как $C_2$ и $L_2$. Начальную частоту колебаний обозначим как $\nu_1$, а конечную — как $\nu_2$.

По условию задачи, ёмкость увеличили в 25 раз, а индуктивность уменьшили в 16 раз:

$C_2 = 25 C_1$

$L_2 = \frac{L_1}{16}$

Найти:

Отношение частот, чтобы определить, во сколько раз изменилась частота. То есть, найти значение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$.

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется формулой Томсона для частоты:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\nu$ — циклическая частота колебаний, $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Запишем выражения для начальной и конечной частот колебаний в контуре.

Начальная частота:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}}$

Конечная частота после изменения параметров контура:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась частота, найдём отношение конечной частоты $\nu_2$ к начальной $\nu_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}}} = \frac{2\pi\sqrt{L_1C_1}}{2\pi\sqrt{L_2C_2}} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{L_2C_2}}$

Теперь подставим в полученное соотношение данные из условия задачи: $C_2 = 25 C_1$ и $L_2 = \frac{L_1}{16}$.

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{L_1C_1}{(\frac{L_1}{16}) \cdot (25C_1)}}$

Сократим одинаковые величины $L_1$ и $C_1$ в числителе и знаменателе дроби под корнем:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{16}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

Полученное отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{4}{5} = 0.8$ показывает, что конечная частота $\nu_2$ составляет 0.8 от начальной частоты $\nu_1$.

Поскольку это отношение меньше единицы, частота уменьшилась. Чтобы ответить на вопрос "во сколько раз уменьшилась частота", найдем обратное отношение:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{5}{4} = 1.25$

Таким образом, частота собственных колебаний в контуре уменьшилась в 1,25 раза.

Ответ: частота уменьшится в 1,25 раза.