Номер 962, страница 128 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

44. Переменный ток. Глава XII. Электромагнитные колебания. Электродинамика - номер 962, страница 128.

Условие.

962. Рамка площадью 200 $\text{см}^2$ вращается с частотой 8 $\text{с}^{-1}$ в магнитном поле индукцией 0,4 Тл. Написать уравнения $ \Phi = \Phi(t) $ и $ e = e(t) $, если при $ t = 0 $ нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Найти амплитуду ЭДС индукции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Площадь рамки $S = 200 \text{ см}^2$

Частота вращения $ \nu = 8 \text{ с}^{-1}$

Индукция магнитного поля $B = 0,4 \text{ Тл}$

При $t=0$ нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям индукции, т.е. начальный угол $ \alpha_0 = \frac{\pi}{2} $.

Перевод в систему СИ:

$S = 200 \text{ см}^2 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,02 \text{ м}^2$

$\nu = 8 \text{ Гц}$

Найти:

1. Уравнение $ \Phi = \Phi(t) $.

2. Уравнение $ e = e(t) $.

3. Амплитуду ЭДС индукции $ E_{max} $.

Решение:

Магнитный поток $ \Phi $, пронизывающий рамку, определяется по формуле:

$ \Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha) $

где $ \alpha $ - угол между вектором магнитной индукции $ \vec{B} $ и вектором нормали к плоскости рамки $ \vec{n} $.

Так как рамка вращается с постоянной частотой $ \nu $, угол $ \alpha $ изменяется со временем по линейному закону:

$ \alpha(t) = \omega t + \alpha_0 $

Здесь $ \omega $ — циклическая частота, а $ \alpha_0 $ — начальный угол в момент времени $ t=0 $.

Циклическая частота связана с линейной частотой $ \nu $ следующим соотношением:

$ \omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 8 \text{ с}^{-1} = 16\pi \text{ рад/с} $

Согласно условию, в начальный момент времени $ t=0 $ нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям индукции, это означает, что начальный угол $ \alpha_0 = \frac{\pi}{2} $ радиан.

Тогда зависимость угла от времени имеет вид:

$ \alpha(t) = 16\pi t + \frac{\pi}{2} $

Подставим это выражение в формулу для магнитного потока, чтобы получить его зависимость от времени $ \Phi(t) $:

$ \Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(16\pi t + \frac{\pi}{2}) $

Воспользуемся формулой приведения $ \cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x) $:

$ \Phi(t) = -B \cdot S \cdot \sin(16\pi t) $

Теперь подставим числовые значения для $ B $ и $ S $:

$ \Phi(t) = -0,4 \text{ Тл} \cdot 0,02 \text{ м}^2 \cdot \sin(16\pi t) = -0,008 \sin(16\pi t) $

Таким образом, уравнение для магнитного потока: $ \Phi(t) = -0,008 \sin(16\pi t) \text{ (Вб)} $.

Для нахождения ЭДС индукции $ e(t) $ воспользуемся законом Фарадея, согласно которому ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$ e(t) = -\frac{d\Phi}{dt} $

Продифференцируем полученное выражение для $ \Phi(t) $ по времени:

$ e(t) = - \frac{d}{dt}(-0,008 \sin(16\pi t)) = 0,008 \cdot \frac{d}{dt}(\sin(16\pi t)) $

Производная синуса равна косинусу, и, по правилу дифференцирования сложной функции, умножаем на производную аргумента:

$ e(t) = 0,008 \cdot 16\pi \cdot \cos(16\pi t) = 0,128\pi \cos(16\pi t) $

Следовательно, уравнение для ЭДС индукции: $ e(t) = 0,128\pi \cos(16\pi t) \text{ (В)} $.

Амплитуда ЭДС индукции $ E_{max} $ — это максимальное значение $ e(t) $, которое равно коэффициенту перед функцией косинуса:

$ E_{max} = 0,128\pi \text{ В} $

Рассчитаем приближенное численное значение:

$ E_{max} \approx 0,128 \cdot 3,14159 \approx 0,402 \text{ В} $

Ответ:

Уравнение зависимости магнитного потока от времени: $ \Phi(t) = -0,008 \sin(16\pi t) \text{ (Вб)} $.

Уравнение зависимости ЭДС индукции от времени: $ e(t) = 0,128\pi \cos(16\pi t) \text{ (В)} $.

Амплитуда ЭДС индукции: $ E_{max} = 0,128\pi \text{ В} \approx 0,402 \text{ В} $.