Номер 968, страница 129 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

968¹. Какое значение принимает напряжение через 10, 15 и 30 мс, если амплитуда напряжения 200 В и период 60 мс?

Дано:

Амплитуда напряжения, $U_m = 200 \text{ В}$
Период, $T = 60 \text{ мс} = 60 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.06 \text{ с}$
Моменты времени:
$t_1 = 10 \text{ мс} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.01 \text{ с}$
$t_2 = 15 \text{ мс} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.015 \text{ с}$
$t_3 = 30 \text{ мс} = 30 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.03 \text{ с}$

Найти:

$u_1, u_2, u_3$ - мгновенные значения напряжения в моменты времени $t_1, t_2, t_3$.

Решение:

Зависимость мгновенного значения напряжения от времени при гармонических колебаниях описывается по закону синуса или косинуса. Так как в условии не указана начальная фаза, по умолчанию принимаем, что колебания начинаются из положения равновесия ($u=0$ при $t=0$), что соответствует закону синуса:

$u(t) = U_m \sin(\omega t)$

Здесь $u(t)$ – мгновенное значение напряжения, $U_m$ – амплитудное значение напряжения, $\omega$ – циклическая частота, $t$ – время.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставив это выражение в формулу для напряжения, получим рабочую формулу для расчетов:

$u(t) = U_m \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$

Теперь последовательно вычислим значения напряжения для заданных моментов времени.

Значение напряжения через 10 мс

Подставим в формулу $t_1 = 10 \text{ мс}$. Для удобства вычислений в аргументе синуса можно использовать значения периода и времени в миллисекундах, так как единицы измерения сократятся.

$u_1 = u(t_1) = 200 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{60 \text{ мс}} \cdot 10 \text{ мс}\right) = 200 \cdot \sin\left(\frac{20\pi}{60}\right) = 200 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ радиан (60°) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$u_1 = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3} \text{ В}$

Вычислим приближенное значение, принимая $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$u_1 \approx 100 \cdot 1.732 = 173.2 \text{ В}$

Ответ: Напряжение через 10 мс составит $100\sqrt{3} \text{ В}$, что приблизительно равно $173.2 \text{ В}$.

Значение напряжения через 15 мс

Подставим в формулу $t_2 = 15 \text{ мс}$.

$u_2 = u(t_2) = 200 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{60 \text{ мс}} \cdot 15 \text{ мс}\right) = 200 \cdot \sin\left(\frac{30\pi}{60}\right) = 200 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{2}$ радиан (90°) равно $1$.

$u_2 = 200 \cdot 1 = 200 \text{ В}$

Ответ: Напряжение через 15 мс достигнет своего амплитудного значения и будет равно $200 \text{ В}$.

Значение напряжения через 30 мс

Подставим в формулу $t_3 = 30 \text{ мс}$.

$u_3 = u(t_3) = 200 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{60 \text{ мс}} \cdot 30 \text{ мс}\right) = 200 \cdot \sin\left(\frac{60\pi}{60}\right) = 200 \cdot \sin(\pi)$

Значение синуса для угла $\pi$ радиан (180°) равно $0$.

$u_3 = 200 \cdot 0 = 0 \text{ В}$

Ответ: Напряжение через 30 мс будет равно $0 \text{ В}$.