Номер 973, страница 129 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

973*. Неоновая лампа начинает светить, когда напряжение на её электродах достигает строго определённого значения. Какую часть периода будет светить лампа, если её включить в сеть, действующее значение напряжения в которой равно этому напряжению? Считать, что напряжение, при котором лампа гаснет, равно напряжению зажигания.

Дано:

Напряжение зажигания лампы: $U_з$

Напряжение гашения лампы: $U_г = U_з$

Действующее значение напряжения в сети: $U_д = U_з$

Найти:

Часть периода $\frac{\Delta t}{T}$, в течение которой лампа светит.

Решение:

Напряжение в сети переменного тока изменяется по синусоидальному закону: $U(t) = U_m \sin(\omega t)$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота, а $T = \frac{2\pi}{\omega}$ — период колебаний.

Действующее (или среднеквадратичное) значение синусоидального напряжения $U_д$ связано с его амплитудным значением $U_m$ следующим соотношением:

$U_д = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$

По условию задачи, действующее напряжение сети равно напряжению зажигания лампы, то есть $U_д = U_з$.

Из этого соотношения мы можем выразить амплитудное значение напряжения в сети:

$U_m = U_д \sqrt{2} = U_з \sqrt{2}$

Таким образом, мгновенное значение напряжения в сети описывается формулой:

$U(t) = U_з \sqrt{2} \sin(\omega t)$

Неоновая лампа зажигается, когда напряжение на ее электродах достигает значения $U_з$, и, по условию, гаснет при этом же значении напряжения. Так как лампа является неполярным прибором, она будет светиться, когда модуль мгновенного напряжения $|U(t)|$ будет равен или превышать напряжение зажигания $U_з$.

Запишем условие свечения лампы в виде неравенства:

$|U(t)| \ge U_з$

Подставим в него выражение для $U(t)$:

$|U_з \sqrt{2} \sin(\omega t)| \ge U_з$

Поскольку напряжение зажигания $U_з$ является положительной величиной, мы можем разделить обе части неравенства на $U_з$, не меняя знака неравенства:

$|\sqrt{2} \sin(\omega t)| \ge 1$

Это неравенство равносильно следующему:

$|\sin(\omega t)| \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы найти, какую часть периода лампа светится, найдем временные интервалы в течение одного периода $T$, когда это неравенство выполняется. Рассмотрим изменение фазы $\phi = \omega t$ от $0$ до $2\pi$.

Неравенство $|\sin(\phi)| \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ выполняется в двух случаях:

1. $\sin(\phi) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это соответствует интервалу фаз от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$.

2. $\sin(\phi) \le -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Это соответствует интервалу фаз от $\frac{5\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$.

Найдем длительность временного интервала для первого случая. Фазам $\phi_1 = \frac{\pi}{4}$ и $\phi_2 = \frac{3\pi}{4}$ соответствуют моменты времени $t_1 = \frac{\phi_1}{\omega} = \frac{\pi}{4\omega}$ и $t_2 = \frac{\phi_2}{\omega} = \frac{3\pi}{4\omega}$.

Длительность первого интервала свечения: $\Delta t_1 = t_2 - t_1 = \frac{3\pi}{4\omega} - \frac{\pi}{4\omega} = \frac{2\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$.

Аналогично для второго случая. Фазам $\phi_3 = \frac{5\pi}{4}$ и $\phi_4 = \frac{7\pi}{4}$ соответствуют моменты времени $t_3 = \frac{5\pi}{4\omega}$ и $t_4 = \frac{7\pi}{4\omega}$.

Длительность второго интервала свечения: $\Delta t_2 = t_4 - t_3 = \frac{7\pi}{4\omega} - \frac{5\pi}{4\omega} = \frac{2\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$.

Суммарное время $\Delta t$, в течение которого лампа светится за один полный период $T$, равно сумме длительностей этих двух интервалов:

$\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \frac{\pi}{2\omega} + \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$

Теперь найдем искомую часть периода. Вспомним, что период $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$\frac{\Delta t}{T} = \frac{\pi / \omega}{2\pi / \omega} = \frac{1}{2}$

Ответ: Лампа будет светить половину периода, то есть $1/2$.