Номер 972, страница 129 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

972. При каких фазах в пределах одного периода мгновенное значение напряжения равно по модулю половине амплитудного?

Дано:

Соотношение между мгновенным значением напряжения $u$ и амплитудным значением $U_m$: $|u| = \frac{1}{2}U_m$.

Найти:

Фазы $\phi$ в пределах одного периода ($0 \le \phi < 2\pi$), при которых выполняется данное условие.

Решение:

Мгновенное значение напряжения в цепи переменного тока изменяется по гармоническому закону. Его зависимость от фазы $\phi$ можно выразить формулой:

$u = U_m \sin(\phi)$

где $u$ – мгновенное значение напряжения, $U_m$ – амплитудное значение, а $\phi$ – фаза колебаний.

Согласно условию задачи, модуль мгновенного значения напряжения равен половине амплитудного:

$|u| = \frac{U_m}{2}$

Подставим в это соотношение выражение для $u$:

$|U_m \sin(\phi)| = \frac{U_m}{2}$

Поскольку амплитуда $U_m$ является положительной величиной, мы можем сократить ее в обеих частях уравнения:

$|\sin(\phi)| = \frac{1}{2}$

Это уравнение эквивалентно двум отдельным уравнениям:

1) $\sin(\phi) = \frac{1}{2}$

2) $\sin(\phi) = -\frac{1}{2}$

Найдем решения для каждого случая в пределах одного периода, то есть в интервале фаз от $0$ до $2\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $360^\circ$).

Для первого случая, $\sin(\phi) = \frac{1}{2}$, решениями на указанном интервале являются:

$\phi_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ рад, или $30^\circ$.

$\phi_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ рад, или $150^\circ$.

Для второго случая, $\sin(\phi) = -\frac{1}{2}$, решениями являются:

$\phi_3 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ рад, или $210^\circ$.

$\phi_4 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ рад, или $330^\circ$.

Таким образом, в пределах одного периода существует четыре значения фазы, при которых выполняется заданное условие.

Ответ: мгновенное значение напряжения равно по модулю половине амплитудного при фазах $\frac{\pi}{6}$ ($30^\circ$), $\frac{5\pi}{6}$ ($150^\circ$), $\frac{7\pi}{6}$ ($210^\circ$) и $\frac{11\pi}{6}$ ($330^\circ$).